Giải hết ra

Câu 5. Để tìm trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm, ta thực hiện các bước sau: 1. Tính tổng số học sinh: Tổng số học sinh = 1 + 5 + 12 + 20 + 5 = 43 học sinh. 2. Xác định vị trí của trung vị: Vì số lượng học sinh là 43 (số lẻ), trung vị sẽ nằm ở vị trí thứ $\frac{43 + 1}{2} = 22$. 3. Xác định nhóm chứa trung vị: - Nhóm [2;3,5) có 1 học sinh. - Nhóm [3,5;5) có 5 học sinh, tổng là 1 + 5 = 6 học sinh. - Nhóm [5;6,5) có 12 học sinh, tổng là 6 + 12 = 18 học sinh. - Nhóm [6,5;8) có 20 học sinh, tổng là 18 + 20 = 38 học sinh. - Nhóm [8;9,5) có 5 học sinh, tổng là 38 + 5 = 43 học sinh. Vị trí thứ 22 nằm trong khoảng từ 18 đến 38, do đó trung vị thuộc nhóm [6,5;8). Vậy trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm này thuộc nhóm $C.~[6,5;8)$. Câu 6. Để giải bất phương trình $\log_{\frac12}(x-2)>1$, chúng ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Đối với bất phương trình $\log_{\frac12}(x-2)$, ta cần $x-2 > 0$. Do đó: \[ x > 2 \] 2. Giải bất phương trình: - Ta có $\log_{\frac12}(x-2) > 1$. Điều này tương đương với: \[ x-2 < \left(\frac{1}{2}\right)^1 \] - Vì $\left(\frac{1}{2}\right)^1 = \frac{1}{2}$, nên ta có: \[ x-2 < \frac{1}{2} \] - Giải bất phương trình này: \[ x < \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2} \] 3. Tìm tập nghiệm: - Kết hợp điều kiện xác định $x > 2$ và kết quả từ bất phương trình $x < \frac{5}{2}$, ta có: \[ 2 < x < \frac{5}{2} \] Do đó, tập nghiệm của bất phương trình là $(2; \frac{5}{2})$. Đáp án đúng là: $\boxed{C.~(2;\frac{5}{2})}$. Câu 7. Để tìm đạo hàm của hàm số \( y = \ln(2x - 4) \) trên khoảng \((2; +\infty)\), ta áp dụng công thức đạo hàm của hàm số lôgarit tự nhiên và chuỗi đạo hàm. Bước 1: Xác định hàm số con bên trong lôgarit. \[ u = 2x - 4 \] Bước 2: Tính đạo hàm của hàm số con \( u \). \[ u' = 2 \] Bước 3: Áp dụng công thức đạo hàm của hàm số lôgarit tự nhiên: \[ y' = \frac{u'}{u} \] Thay \( u \) và \( u' \) vào công thức: \[ y' = \frac{2}{2x - 4} \] Bước 4: Rút gọn biểu thức: \[ y' = \frac{2}{2(x - 2)} = \frac{1}{x - 2} \] Vậy đạo hàm của hàm số \( y = \ln(2x - 4) \) là: \[ y' = \frac{1}{x - 2} \] Do đó, đáp án đúng là: \[ D.~y' = \frac{1}{x - 2} \] Câu 8. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số \( y = \frac{x^2 - 2x + 10}{x - 1} \). 2. Giải phương trình \( y' = 0 \). Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số Hàm số \( y = \frac{x^2 - 2x + 10}{x - 1} \). Áp dụng công thức đạo hàm của thương hai hàm số, ta có: \[ y' = \frac{(x^2 - 2x + 10)'(x - 1) - (x^2 - 2x + 10)(x - 1)'}{(x - 1)^2} \] Tính đạo hàm của tử số và mẫu số: \[ (x^2 - 2x + 10)' = 2x - 2 \] \[ (x - 1)' = 1 \] Thay vào công thức đạo hàm của thương: \[ y' = \frac{(2x - 2)(x - 1) - (x^2 - 2x + 10) \cdot 1}{(x - 1)^2} \] \[ y' = \frac{2x^2 - 2x - 2x + 2 - x^2 + 2x - 10}{(x - 1)^2} \] \[ y' = \frac{x^2 - 2x - 8}{(x - 1)^2} \] Bước 2: Giải phương trình \( y' = 0 \) Phương trình \( y' = 0 \) trở thành: \[ \frac{x^2 - 2x - 8}{(x - 1)^2} = 0 \] Để phân thức bằng 0 thì tử số phải bằng 0: \[ x^2 - 2x - 8 = 0 \] Giải phương trình bậc hai này: \[ x^2 - 2x - 8 = 0 \] \[ (x - 4)(x + 2) = 0 \] Vậy nghiệm của phương trình là: \[ x = 4 \quad \text{hoặc} \quad x = -2 \] Do đó, tập nghiệm của phương trình \( y' = 0 \) là: \[ S = \{-2, 4\} \] Vậy đáp án đúng là: \[ D.~S=\{-2;4\}. \] Câu 9. Để tính số đo góc giữa SB và mặt phẳng (ABCD), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định đường cao hạ từ S xuống đáy ABCD: - Vì SA vuông góc với đáy ABCD, nên SA là đường cao hạ từ đỉnh S xuống đáy ABCD. 2. Tìm điểm chính giữa của đáy ABCD: - Gọi O là tâm của hình vuông ABCD. Do ABCD là hình vuông cạnh a, nên O cũng là giao điểm của các đường chéo AC và BD, đồng thời là trung điểm của cả hai đường chéo này. 3. Tính khoảng cách từ S đến O: - Vì SA vuông góc với đáy ABCD, ta có tam giác SOA vuông tại A. - Độ dài OA là bán kính của đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD, tức là: \[ OA = \frac{a\sqrt{2}}{2} \] - Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác SOA: \[ SO = \sqrt{SA^2 - OA^2} = \sqrt{(a\sqrt{3})^2 - \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \sqrt{3a^2 - \frac{2a^2}{4}} = \sqrt{3a^2 - \frac{a^2}{2}} = \sqrt{\frac{6a^2 - a^2}{2}} = \sqrt{\frac{5a^2}{2}} = \frac{a\sqrt{10}}{2} \] 4. Tính khoảng cách từ S đến B: - Ta có tam giác SOB vuông tại O. - Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác SOB: \[ SB = \sqrt{SO^2 + OB^2} = \sqrt{\left(\frac{a\sqrt{10}}{2}\right)^2 + \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{10a^2}{4} + \frac{2a^2}{4}} = \sqrt{\frac{12a^2}{4}} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3} \] 5. Tính góc giữa SB và mặt phẳng (ABCD): - Gọi góc giữa SB và mặt phẳng (ABCD) là $\theta$. - Trong tam giác SOB vuông tại O, ta có: \[ \sin \theta = \frac{SO}{SB} = \frac{\frac{a\sqrt{10}}{2}}{a\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{10}}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{30}}{6} \] - Vậy góc $\theta$ là: \[ \theta = \arcsin \left( \frac{\sqrt{30}}{6} \right) \] Đáp số: Số đo góc giữa SB và mặt phẳng (ABCD) là $\arcsin \left( \frac{\sqrt{30}}{6} \right)$.