Hchvxv zgvxdhbcgm

Câu 1: Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một cách chi tiết. Phần a: Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ Đường thẳng $\Delta$ có phương trình: \[ \frac{x-2024}{1} = \frac{y-2025}{-1} = \frac{z-2026}{\sqrt{3}} \] Vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ là: \[ \vec{u} = (1, -1, \sqrt{3}) \] Phần b: Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ Mặt phẳng $(P)$ có phương trình: \[ x + y - \sqrt{2}z - 2025 = 0 \] Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là: \[ \vec{n} = (1, 1, -\sqrt{2}) \] Phần c: Tính tích vô hướng của hai vectơ $\vec{u}(1, -1, \sqrt{2})$ và $\vec{v}(1, 2, \sqrt{2})$ Tích vô hướng của hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ là: \[ \vec{u} \cdot \vec{v} = 1 \cdot 1 + (-1) \cdot 2 + \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \] \[ = 1 - 2 + 2 \] \[ = 1 \] Phần d: Tính góc giữa đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng $(P)$ Gọi $\theta$ là góc giữa đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng $(P)$. Ta có: \[ \sin \theta = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{n}|}{|\vec{u}| |\vec{n}|} \] Tính $\vec{u} \cdot \vec{n}$: \[ \vec{u} \cdot \vec{n} = 1 \cdot 1 + (-1) \cdot 1 + \sqrt{3} \cdot (-\sqrt{2}) \] \[ = 1 - 1 - \sqrt{6} \] \[ = -\sqrt{6} \] Tính $|\vec{u}|$: \[ |\vec{u}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 1 + 3} = \sqrt{5} \] Tính $|\vec{n}|$: \[ |\vec{n}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-\sqrt{2})^2} = \sqrt{1 + 1 + 2} = \sqrt{4} = 2 \] Do đó: \[ \sin \theta = \frac{|-\sqrt{6}|}{\sqrt{5} \cdot 2} = \frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{30}}{10} \] Vậy góc $\theta$ là: \[ \theta = \arcsin \left(\frac{\sqrt{30}}{10}\right) \] Đáp án cuối cùng: a. Vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ là $(1, -1, \sqrt{3})$. b. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là $(1, 1, -\sqrt{2})$. c. Tích vô hướng của hai vectơ $\vec{u}(1, -1, \sqrt{2})$ và $\vec{v}(1, 2, \sqrt{2})$ là $1$. d. Góc giữa đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng $(P)$ là $\arcsin \left(\frac{\sqrt{30}}{10}\right)$. Câu 2: a. Đạo hàm của hàm số là: \[ f'(x) = 1 - \frac{1}{(x+2)^2} \] b. Xét dấu của đạo hàm: \[ f'(x) < 0 \Leftrightarrow 1 - \frac{1}{(x+2)^2} < 0 \] \[ \Leftrightarrow \frac{1}{(x+2)^2} > 1 \] \[ \Leftrightarrow (x+2)^2 < 1 \] \[ \Leftrightarrow -1 < x + 2 < 1 \] \[ \Leftrightarrow -3 < x < -1 \text{ và } x \neq -2 \] Do đó, \( f'(x) < 0 \) khi \( x \in (-3, -2) \cup (-2, -1) \). \[ f'(x) > 0 \Leftrightarrow 1 - \frac{1}{(x+2)^2} > 0 \] \[ \Leftrightarrow \frac{1}{(x+2)^2} < 1 \] \[ \Leftrightarrow (x+2)^2 > 1 \] \[ \Leftrightarrow x + 2 < -1 \text{ hoặc } x + 2 > 1 \] \[ \Leftrightarrow x < -3 \text{ hoặc } x > -1 \] Do đó, \( f'(x) > 0 \) khi \( x \in (-\infty, -3) \cup (-1, +\infty) \). c. Đồ thị hàm số có đường tiệm cận xiên là \( y = x \) và đường tiệm cận đứng là \( x = -2 \). d. Hàm số đã cho có đồ thị như sau: - Khi \( x \to -2^- \), \( f(x) \to -\infty \) - Khi \( x \to -2^+ \), \( f(x) \to +\infty \) - Khi \( x \to -\infty \), \( f(x) \to -\infty \) - Khi \( x \to +\infty \), \( f(x) \to +\infty \) Đồ thị hàm số sẽ có dạng như sau: markdown | | /\ | / \ | / \ | / \ | / \ | / \ | / \ | / \ ---|------------------|------------------|------------------|--- -3 -2 -1 0 Đồ thị hàm số \( f(x) = x + \frac{1}{x+2} \) có các đặc điểm như trên. Câu 3: Để giải quyết các câu hỏi về xác suất, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một. Bước 1: Tính tổng số học sinh Tổng số học sinh là: \[ 47 + 42 + 85 + 66 = 240 \] Bước 2: Xác suất của biến cố chọn được học sinh bị tật khúc xạ Số học sinh bị tật khúc xạ là: \[ 47 + 42 = 89 \] Xác suất của biến cố này là: \[ P(\text{Bị tật khúc xạ}) = \frac{89}{240} \] Bước 3: Xác suất của biến cố chọn được học sinh nữ Số học sinh nữ là: \[ 47 + 85 = 132 \] Xác suất của biến cố này là: \[ P(\text{Nữ}) = \frac{132}{240} \] Bước 4: Xác suất của biến cố chọn được học sinh bị tật khúc xạ, biết học sinh đó là nữ Số học sinh nữ bị tật khúc xạ là: \[ 47 \] Xác suất của biến cố này là: \[ P(\text{Bị tật khúc xạ} | \text{Nữ}) = \frac{47}{132} \] Bước 5: Xác suất của biến cố chọn được học sinh nữ, biết học sinh đó bị tật khúc xạ Số học sinh bị tật khúc xạ là: \[ 89 \] Số học sinh nữ bị tật khúc xạ là: \[ 47 \] Xác suất của biến cố này là: \[ P(\text{Nữ} | \text{Bị tật khúc xạ}) = \frac{47}{89} \] Kết luận - Xác suất của biến cố chọn được học sinh bị tật khúc xạ là $\frac{89}{240}.$ - Xác suất của biến cố chọn được học sinh nữ là $\frac{132}{240}.$ - Xác suất của biến cố chọn được học sinh bị tật khúc xạ, biết học sinh đó là nữ bằng $\frac{47}{132}.$ - Xác suất của biến cố chọn được học sinh nữ, biết học sinh đó bị tật khúc xạ bằng $\frac{47}{89}.$ Đáp số: a. $\frac{89}{240}$ b. $\frac{132}{240}$ c. $\frac{47}{132}$ d. $\frac{47}{89}$ Câu 4: a. Để tìm hoành độ giao điểm của parabol $(P): y = x^2 - 4$ với trục Ox, ta đặt $y = 0$: \[ x^2 - 4 = 0 \] \[ x^2 = 4 \] \[ x = \pm 2 \] Vậy hoành độ giao điểm của (P) và Ox là $-2$ và $2$. Đúng. b. Tích phân của hàm số $y = x^2 - 4$ là: \[ \int (x^2 - 4) \, dx = \frac{x^3}{3} - 4x + C \] Đáp án đã cho là $\frac{x^2}{3} + 4x + C$, nên sai. c. Ta xét dấu của biểu thức $x^2 - 4$ trên đoạn $[-2, 2]$: - Khi $x \in [-2, 2]$, ta có $x^2 \leq 4$, do đó $x^2 - 4 \leq 0$. - Vậy $|x^2 - 4| = -(x^2 - 4) = 4 - x^2$. Đáp án đã cho là $|x^2 - 4| = x^2 - 4$, nên sai. d. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol $(P)$ và trục Ox từ $x = -2$ đến $x = 2$ là: \[ S = 2 \int_{0}^{2} (4 - x^2) \, dx \] \[ S = 2 \left[ 4x - \frac{x^3}{3} \right]_0^2 \] \[ S = 2 \left( 4 \cdot 2 - \frac{2^3}{3} \right) \] \[ S = 2 \left( 8 - \frac{8}{3} \right) \] \[ S = 2 \left( \frac{24}{3} - \frac{8}{3} \right) \] \[ S = 2 \cdot \frac{16}{3} \] \[ S = \frac{32}{3} \] Đáp án đúng là $\frac{32}{3}$. Đúng. Kết luận: a. Đúng b. Sai c. Sai d. Đúng