Giải chi tiết giúp e với ạ

Câu 1: Để tìm điểm \( M \) trên mặt phẳng \( (P): x + y - z + 2 = 0 \) sao cho \( 2MA^2 + 3MB^2 \) đạt giá trị nhỏ nhất, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm tọa độ của điểm \( M \): Gọi \( M(x, y, z) \) là điểm thuộc mặt phẳng \( (P) \). Ta có: \[ x + y - z + 2 = 0 \quad \text{(1)} \] 2. Tính khoảng cách từ \( M \) đến \( A \) và \( B \): - Tọa độ của \( A \) là \( (2, 3, 1) \). - Tọa độ của \( B \) là \( (-3, 3, 1) \). Khoảng cách \( MA \) là: \[ MA^2 = (x - 2)^2 + (y - 3)^2 + (z - 1)^2 \] Khoảng cách \( MB \) là: \[ MB^2 = (x + 3)^2 + (y - 3)^2 + (z - 1)^2 \] 3. Tính biểu thức \( 2MA^2 + 3MB^2 \): \[ 2MA^2 + 3MB^2 = 2[(x - 2)^2 + (y - 3)^2 + (z - 1)^2] + 3[(x + 3)^2 + (y - 3)^2 + (z - 1)^2] \] Ta mở rộng biểu thức này: \[ 2MA^2 + 3MB^2 = 2(x^2 - 4x + 4 + y^2 - 6y + 9 + z^2 - 2z + 1) + 3(x^2 + 6x + 9 + y^2 - 6y + 9 + z^2 - 2z + 1) \] \[ = 2(x^2 + y^2 + z^2 - 4x - 6y - 2z + 14) + 3(x^2 + y^2 + z^2 + 6x - 6y - 2z + 19) \] \[ = 2x^2 + 2y^2 + 2z^2 - 8x - 12y - 4z + 28 + 3x^2 + 3y^2 + 3z^2 + 18x - 18y - 6z + 57 \] \[ = 5x^2 + 5y^2 + 5z^2 + 10x - 30y - 10z + 85 \] 4. Áp dụng điều kiện \( x + y - z + 2 = 0 \): Thay \( z = x + y + 2 \) vào biểu thức: \[ 5x^2 + 5y^2 + 5(x + y + 2)^2 + 10x - 30y - 10(x + y + 2) + 85 \] \[ = 5x^2 + 5y^2 + 5(x^2 + 2xy + y^2 + 4x + 4y + 4) + 10x - 30y - 10x - 10y - 20 + 85 \] \[ = 5x^2 + 5y^2 + 5x^2 + 10xy + 5y^2 + 20x + 20y + 20 + 10x - 30y - 10x - 10y - 20 + 85 \] \[ = 10x^2 + 10y^2 + 10xy + 20x - 20y + 85 \] 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( 10x^2 + 10y^2 + 10xy + 20x - 20y + 85 \), ta sử dụng đạo hàm: \[ f(x, y) = 10x^2 + 10y^2 + 10xy + 20x - 20y + 85 \] Đạo hàm riêng theo \( x \): \[ \frac{\partial f}{\partial x} = 20x + 10y + 20 \] Đạo hàm riêng theo \( y \): \[ \frac{\partial f}{\partial y} = 20y + 10x - 20 \] Đặt đạo hàm bằng 0 để tìm điểm cực tiểu: \[ 20x + 10y + 20 = 0 \quad \Rightarrow \quad 2x + y + 2 = 0 \quad \text{(2)} \] \[ 20y + 10x - 20 = 0 \quad \Rightarrow \quad 2y + x - 2 = 0 \quad \text{(3)} \] Giải hệ phương trình (2) và (3): \[ 2x + y + 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad y = -2x - 2 \] \[ 2(-2x - 2) + x - 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad -4x - 4 + x - 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad -3x - 6 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -2 \] \[ y = -2(-2) - 2 = 4 - 2 = 2 \] Thay \( x = -2 \) và \( y = 2 \) vào phương trình \( x + y - z + 2 = 0 \): \[ -2 + 2 - z + 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad z = 2 \] Vậy tọa độ của điểm \( M \) là \( (-2, 2, 2) \). 6. Tính \( x_M + y_M + z_M \): \[ x_M + y_M + z_M = -2 + 2 + 2 = 2 \] Đáp số: \( x_M + y_M + z_M = 2 \). Câu 2: Để tìm giá trị nhỏ nhất của \( MA + 2MB \) với \( M \in (S) \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu \( S \): Phương trình của mặt cầu \( S \) là: \[ x^2 + y^2 + z^2 - 6x - 4y + 9 = 0 \] Ta viết lại phương trình này dưới dạng chuẩn: \[ (x - 3)^2 + (y - 2)^2 + z^2 = 4 \] Từ đó, ta thấy tâm của mặt cầu \( S \) là \( I(3, 2, 0) \) và bán kính \( R = 2 \). 2. Tìm điểm \( B' \) sao cho \( IB' = 2IB \): Điểm \( B(2, 5, 0) \). Ta tính \( IB \): \[ IB = \sqrt{(3 - 2)^2 + (2 - 5)^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10} \] Điểm \( B' \) sao cho \( IB' = 2IB \): \[ IB' = 2 \times \sqrt{10} = 2\sqrt{10} \] Ta tìm tọa độ của \( B' \) trên đường thẳng đi qua \( I \) và \( B \): \[ B' = I + 2(B - I) = (3, 2, 0) + 2((2, 5, 0) - (3, 2, 0)) = (3, 2, 0) + 2(-1, 3, 0) = (1, 8, 0) \] 3. Tính khoảng cách từ \( A \) đến \( B' \): Điểm \( A(-2, 2, 0) \). Ta tính \( AB' \): \[ AB' = \sqrt{((-2) - 1)^2 + (2 - 8)^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-6)^2} = \sqrt{9 + 36} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \] 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của \( MA + 2MB \): Ta có: \[ MA + 2MB = MA + MB' - IB' \] Vì \( IB' = 2R = 4 \), nên: \[ MA + 2MB = MA + MB' - 4 \] Giá trị nhỏ nhất của \( MA + MB' \) là khoảng cách từ \( A \) đến \( B' \) trừ đi bán kính của mặt cầu: \[ MA + MB' \geq AB' - R = 3\sqrt{5} - 2 \] Do đó: \[ MA + 2MB \geq (3\sqrt{5} - 2) - 4 = 3\sqrt{5} - 6 \] Vậy giá trị nhỏ nhất của \( MA + 2MB \) là \( 3\sqrt{5} - 6 \). Đáp số: \( 3\sqrt{5} - 6 \)