trả lời câu hỏi b) Cho phương trình $x^2-2mx+m^2-1=0$ (m là tham số) (1). Tìm tất cả giá trị của m để,phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ thỏa mãn $\frac1{x_1}+\frac{x^2_1-2mx_1+m^2+1}{x_1x_2}=1-\frac1{x_2}.$ Câ

Question

Accepted Answer

Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt, ta cần:
$$ \Delta = (-2m)^2 - 4(m^2 - 1) > 0 $$
$$ 4m^2 - 4m^2 + 4 > 0 $$
$$ 4 > 0 $$

Luôn đúng, do đó phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt.

Theo định lý Vi-et, ta có:
$$ x_1 + x_2 = 2m $$
$$ x_1 x_2 = m^2 - 1 $$

Ta cần thỏa mãn:
$$ \frac{1}{x_1} + \frac{x_1^2 - 2mx_1 + m^2 + 1}{x_1 x_2} = 1 - \frac{1}{x_2} $$

Nhân cả hai vế với $ x_1 x_2 $:
$$ x_2 + \frac{(x_1^2 - 2mx_1 + m^2 + 1)x_2}{x_1 x_2} = x_1 x_2 - x_1 $$
$$ x_2 + \frac{x_1^2 - 2mx_1 + m^2 + 1}{x_1} = x_1 x_2 - x_1 $$

Thay $ x_1 x_2 = m^2 - 1 $:
$$ x_2 + \frac{x_1^2 - 2mx_1 + m^2 + 1}{x_1} = m^2 - 1 - x_1 $$

Nhân cả hai vế với $ x_1 $:
$$ x_1 x_2 + x_1^2 - 2mx_1 + m^2 + 1 = x_1(m^2 - 1 - x_1) $$
$$ m^2 - 1 + x_1^2 - 2mx_1 + m^2 + 1 = x_1 m^2 - x_1 - x_1^2 $$
$$ 2m^2 + x_1^2 - 2mx_1 = x_1 m^2 - x_1 - x_1^2 $$

Gộp các hạng tử liên quan:
$$ 2m^2 + x_1^2 - 2mx_1 = x_1 m^2 - x_1 - x_1^2 $$
$$ 2m^2 + 2x_1^2 - 2mx_1 = x_1 m^2 - x_1 $$

Chuyển tất cả các hạng tử sang một vế:
$$ 2m^2 + 2x_1^2 - 2mx_1 - x_1 m^2 + x_1 = 0 $$
$$ 2m^2 - x_1 m^2 + 2x_1^2 - 2mx_1 + x_1 = 0 $$
$$ m^2(2 - x_1) + x_1(2x_1 - 2m + 1) = 0 $$

Phân tích thành nhân tử:
$$ m^2(2 - x_1) + x_1(2x_1 - 2m + 1) = 0 $$

Do $ x_1 \neq 2 $ (vì nếu $ x_1 = 2 $ thì $ x_2 = 2m - 2 $), ta có:
$$ m^2(2 - x_1) + x_1(2x_1 - 2m + 1) = 0 $$

Từ đây, ta thấy $ m = 1 $ hoặc $ m = -1 $.

Vậy giá trị của $ m $ là $ m = 1 $ hoặc $ m = -1 $.