giải chi tiết

Câu 1: Để tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng CM và SB trong hình chóp S.ABCD, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định tọa độ các đỉnh: - Vì đáy ABCD là hình vuông cạnh 2, ta đặt: - A(0, 0, 0) - B(2, 0, 0) - C(2, 2, 0) - D(0, 2, 0) - SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = 1, nên: - S(0, 0, 1) 2. Tìm tọa độ điểm M: - M là trung điểm của SD, do đó: - M có tọa độ là trung điểm của S(0, 0, 1) và D(0, 2, 0): \[ M = \left( \frac{0+0}{2}, \frac{0+2}{2}, \frac{1+0}{2} \right) = (0, 1, 0.5) \] 3. Tìm vectơ chỉ phương của các đường thẳng: - Vectơ chỉ phương của đường thẳng CM: \[ \overrightarrow{CM} = M - C = (0, 1, 0.5) - (2, 2, 0) = (-2, -1, 0.5) \] - Vectơ chỉ phương của đường thẳng SB: \[ \overrightarrow{SB} = B - S = (2, 0, 0) - (0, 0, 1) = (2, 0, -1) \] 4. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chứa CM và SB: - Vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}$ của mặt phẳng chứa CM và SB là tích vector của $\overrightarrow{CM}$ và $\overrightarrow{SB}$: \[ \overrightarrow{n} = \overrightarrow{CM} \times \overrightarrow{SB} \] Ta tính: \[ \overrightarrow{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -2 & -1 & 0.5 \\ 2 & 0 & -1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-1)(-1) - (0.5)(0)) - \mathbf{j}((-2)(-1) - (0.5)(2)) + \mathbf{k}((-2)(0) - (-1)(2)) \] \[ = \mathbf{i}(1) - \mathbf{j}(2 - 1) + \mathbf{k}(2) \] \[ = \mathbf{i} - \mathbf{j} + 2\mathbf{k} \] Vậy $\overrightarrow{n} = (1, -1, 2)$ 5. Tìm khoảng cách từ điểm C đến đường thẳng SB: - Ta lấy một điểm bất kỳ trên SB, ví dụ điểm S(0, 0, 1). - Vectơ từ S đến C: \[ \overrightarrow{SC} = C - S = (2, 2, 0) - (0, 0, 1) = (2, 2, -1) \] - Khoảng cách từ điểm C đến đường thẳng SB là: \[ d = \frac{|\overrightarrow{SC} \cdot \overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|} \] Ta tính: \[ \overrightarrow{SC} \cdot \overrightarrow{n} = (2, 2, -1) \cdot (1, -1, 2) = 2 \cdot 1 + 2 \cdot (-1) + (-1) \cdot 2 = 2 - 2 - 2 = -2 \] \[ |\overrightarrow{n}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6} \] \[ d = \frac{|-2|}{\sqrt{6}} = \frac{2}{\sqrt{6}} = \frac{2\sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{3} \] 6. Kết quả cuối cùng: - Khoảng cách giữa hai đường thẳng CM và SB là: \[ d \approx \frac{\sqrt{6}}{3} \approx 0.82 \] Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng CM và SB là khoảng 0.82 (làm tròn đến hàng phần trăm). Câu 2: Để mô phỏng hình dáng của cây cầu bằng một hàm bậc ba, chúng ta sẽ sử dụng phương trình tổng quát của hàm bậc ba: \[ y = ax^3 + bx^2 + cx + d \] Trước tiên, ta biết rằng đường cong đi qua ba điểm: \( A(-1200; 80) \), \( B(1200; 60) \) và điểm giữa cây cầu (tại \( x = 0 \)). Bước 1: Xác định điều kiện tại điểm giữa cây cầu Do điểm giữa cây cầu nằm trên trục y (tọa độ \( x = 0 \)), ta có: \[ y = d \] Suy ra: \[ d = 60 \] Bước 2: Thay tọa độ của điểm \( A \) vào phương trình Thay \( x = -1200 \) và \( y = 80 \) vào phương trình: \[ 80 = a(-1200)^3 + b(-1200)^2 + c(-1200) + 60 \] \[ 80 = -1728000000a + 1440000b - 1200c + 60 \] \[ 20 = -1728000000a + 1440000b - 1200c \quad \text{(1)} \] Bước 3: Thay tọa độ của điểm \( B \) vào phương trình Thay \( x = 1200 \) và \( y = 60 \) vào phương trình: \[ 60 = a(1200)^3 + b(1200)^2 + c(1200) + 60 \] \[ 60 = 1728000000a + 1440000b + 1200c + 60 \] \[ 0 = 1728000000a + 1440000b + 1200c \quad \text{(2)} \] Bước 4: Giải hệ phương trình Ta có hai phương trình: \[ 20 = -1728000000a + 1440000b - 1200c \quad \text{(1)} \] \[ 0 = 1728000000a + 1440000b + 1200c \quad \text{(2)} \] Cộng hai phương trình lại: \[ 20 = 2880000b \] \[ b = \frac{20}{2880000} = \frac{1}{144000} \] Thay \( b = \frac{1}{144000} \) vào phương trình (2): \[ 0 = 1728000000a + 1440000 \left(\frac{1}{144000}\right) + 1200c \] \[ 0 = 1728000000a + 10 + 1200c \] \[ -10 = 1728000000a + 1200c \quad \text{(3)} \] Thay \( b = \frac{1}{144000} \) vào phương trình (1): \[ 20 = -1728000000a + 1440000 \left(\frac{1}{144000}\right) - 1200c \] \[ 20 = -1728000000a + 10 - 1200c \] \[ 10 = -1728000000a - 1200c \quad \text{(4)} \] Cộng phương trình (3) và (4): \[ 0 = 0 \] Do đó, ta thấy rằng phương trình (3) và (4) là tương đương. Ta có thể chọn \( a = 0 \) để đơn giản hóa: \[ 0 = 1200c \] \[ c = 0 \] Kết luận Phương trình của hàm bậc ba mô phỏng hình dáng của cây cầu là: \[ y = \frac{1}{144000}x^2 + 60 \] Đáp số: \( y = \frac{1}{144000}x^2 + 60 \)