Để tham gia lễ hội hóa trang, bạn An dự định làm một chiếc mặt nạ nửa mặt bằng chất liệu giấy cứng. Hình dạng của chiếc mặt nạ được bạn thiết kế trên mặt phẳng tọa độ Oxy là phần hình phẳng giới hạn bởi hai đường parabol (P1),(P2) lần lượt có đỉnh là gốc tọa độ O và điểm I(0;12)I(0;12), cùng nhận trục Oy làm trục đối xứng và cùng đi qua điểm M(15;18). Mỗi đơn vị trên các trục tọa độ có độ dài 3 cm . Sau đó, bạn vẽ hai hình thoi bằng nhau có độ dài các đường chéo là 2√2 cm và 4√2 cm để khoét làm mắt (minh họa như hình vẽ dưới đây). a) Tổng diện tích hai hình thoi bạn An khoét để làm mắt,bằng $8~cm^2~l$,b) Parabol có đỉnh là gốc tọa độ có phương trình,,$y=\frac6{25}x^2+4$,$\left\{\begin{array}l=ax^2+b~qua~(5,6)\=a-5^2+b~(-5,6)\end{array} ight.$,c) Phần bìa cứng được cắt để làm mặt nạ (khi chưa,khoét hai mắt) có diện tích bằng $\frac{80}3~cm^2$,d) Bạn An muốn trang trí thêm cho chiếc mặt nạ (sau khi đã khoét hai bên mắt) nên đã mua sơn,với chi phí là 28000 đồng $/100~cm^2.$ Khi đó số tiền sơn mà bạn An phải chi trả là 62720 đồng.

Question

Để tham gia lễ hội hóa trang, bạn An dự định làm một chiếc mặt nạ nửa mặt bằng chất liệu giấy cứng. Hình dạng của chiếc mặt nạ được bạn thiết kế trên mặt phẳng tọa độ Oxy là phần hình phẳng giới hạn bởi hai đường parabol (P1),(P2) lần lượt có đỉnh là gốc tọa độ O và điểm I(0;12)I(0;12), cùng nhận trục Oy làm trục đối xứng và cùng đi qua điểm M(15;18). Mỗi đơn vị trên các trục tọa độ có độ dài 3 cm . Sau đó, bạn vẽ hai hình thoi bằng nhau có độ dài các đường chéo là 2√2  cm và 4√2  cm để khoét làm mắt (minh họa như hình vẽ dưới đây). a) Tổng diện tích hai hình thoi bạn An khoét để làm mắt,bằng $8~cm^2~l$,b) Parabol có đỉnh là gốc tọa độ có phương trình,<img src=https://minio.ftech.ai/cvdata/fqa/prod/public/illustration_images/19c7cb3046a34f8483cc8a3a47b6858c.jpg />,$y=\frac6{25}x^2+4$,$\left\{\begin{array}l=ax^2+b~qua~(5,6)\=a-5^2+b~(-5,6)\end{array}ight.$,c) Phần bìa cứng được cắt để làm mặt nạ (khi chưa,khoét hai mắt) có diện tích bằng $\frac{80}3~cm^2$,d) Bạn An muốn trang trí thêm cho chiếc mặt nạ (sau khi đã khoét hai bên mắt) nên đã mua sơn,với chi phí là 28000 đồng $/100~cm^2.$ Khi đó số tiền sơn mà bạn An phải chi trả là 62720 đồng.

Accepted Answer

a) Tính diện tích của một hình thoi:
Diện tích của một hình thoi được tính bằng công thức: 
$$ S_{thoi} = \frac{1}{2} \times d_1 \times d_2 $$
Trong đó, $ d_1 $ và $ d_2 $ là độ dài các đường chéo của hình thoi.

Áp dụng vào bài toán:
$$ d_1 = 2\sqrt{2} \text{ cm} $$
$$ d_2 = 4\sqrt{2} \text{ cm} $$

Diện tích của một hình thoi là:
$$ S_{thoi} = \frac{1}{2} \times 2\sqrt{2} \times 4\sqrt{2} = \frac{1}{2} \times 2 \times 4 \times 2 = 8 \text{ cm}^2 $$

Tổng diện tích của hai hình thoi:
$$ S_{tổng} = 2 \times 8 = 16 \text{ cm}^2 $$

b) Xác định phương trình của parabol (P1):
Parabol (P1) có đỉnh tại gốc tọa độ O(0,0) và nhận trục Oy làm trục đối xứng. Phương trình của parabol này có dạng:
$$ y = ax^2 $$

Biết rằng parabol này đi qua điểm M(15,18), ta thay tọa độ của điểm M vào phương trình:
$$ 18 = a \times 15^2 $$
$$ 18 = a \times 225 $$
$$ a = \frac{18}{225} = \frac{2}{25} $$

Vậy phương trình của parabol (P1) là:
$$ y = \frac{2}{25}x^2 $$

Xác định phương trình của parabol (P2):
Parabol (P2) có đỉnh tại I(0,12) và nhận trục Oy làm trục đối xứng. Phương trình của parabol này có dạng:
$$ y = a(x - h)^2 + k $$
Trong đó, (h,k) là tọa độ đỉnh của parabol. Vì đỉnh là I(0,12), ta có:
$$ y = ax^2 + 12 $$

Biết rằng parabol này đi qua điểm M(15,18), ta thay tọa độ của điểm M vào phương trình:
$$ 18 = a \times 15^2 + 12 $$
$$ 18 = a \times 225 + 12 $$
$$ 6 = a \times 225 $$
$$ a = \frac{6}{225} = \frac{2}{75} $$

Vậy phương trình của parabol (P2) là:
$$ y = \frac{2}{75}x^2 + 12 $$

c) Tính diện tích phần bìa cứng được cắt để làm mặt nạ (khi chưa khoét hai mắt):
Diện tích giữa hai parabol từ x = -15 đến x = 15 là:
$$ A = \int_{-15}^{15} \left( \frac{2}{75}x^2 + 12 - \frac{2}{25}x^2 \right) dx $$
$$ A = \int_{-15}^{15} \left( 12 - \frac{4}{75}x^2 \right) dx $$

Tính tích phân:
$$ A = \left[ 12x - \frac{4}{75} \cdot \frac{x^3}{3} \right]_{-15}^{15} $$
$$ A = \left[ 12x - \frac{4}{225}x^3 \right]_{-15}^{15} $$
$$ A = \left( 12 \times 15 - \frac{4}{225} \times 15^3 \right) - \left( 12 \times (-15) - \frac{4}{225} \times (-15)^3 \right) $$
$$ A = \left( 180 - \frac{4}{225} \times 3375 \right) - \left( -180 + \frac{4}{225} \times 3375 \right) $$
$$ A = \left( 180 - 60 \right) - \left( -180 + 60 \right) $$
$$ A = 120 + 120 = 240 \text{ cm}^2 $$

Diện tích phần bìa cứng được cắt để làm mặt nạ (khi chưa khoét hai mắt) là:
$$ \frac{240}{3} = 80 \text{ cm}^2 $$

d) Chi phí sơn cho chiếc mặt nạ (sau khi đã khoét hai bên mắt):
Diện tích còn lại sau khi khoét hai mắt:
$$ S_{còn lại} = 80 - 16 = 64 \text{ cm}^2 $$

Chi phí sơn:
$$ \text{Chi phí} = 64 \times \frac{28000}{100} = 64 \times 280 = 17920 \text{ đồng} $$

Đáp số:
a) Tổng diện tích hai hình thoi: 16 cm²
b) Phương trình của parabol (P1): $ y = \frac{2}{25}x^2 $
   Phương trình của parabol (P2): $ y = \frac{2}{75}x^2 + 12 $
c) Diện tích phần bìa cứng được cắt để làm mặt nạ (khi chưa khoét hai mắt): 80 cm²
d) Số tiền sơn mà bạn An phải chi trả: 17920 đồng

Để tham gia lễ hội hóa trang, bạn An dự định làm một chiếc mặt nạ nửa mặt bằng chất liệu giấy cứng. Hình dạng của chiếc mặt nạ được bạn thiết kế trên mặt phẳng tọa độ Oxy là phần hình phẳng giới hạn bở...