tìm cực trị của các hàm số
lập bảng biến thiên $3,~y=\frac{x^2+18x}x$,$4,~y=\frac{2x^2-x+1}{x-1}$,$5,~y=\frac{x^2+2x+1}{x+3}$,$6,~y=\frac{-x^2+3x-1}{x-2}$

Question

Accepted Answer

Bài 3: Tìm cực trị của hàm số $ y = \frac{x^2 + 18x}{x} $ Điều kiện xác định: $ x \neq 0 $. Rút gọn hàm số: $$ y = \frac{x^2 + 18x}{x} = x + 18 $$ Tìm đạo hàm: $$ y' = 1 $$ Do $ y' = 1 $ luôn dương, hàm số đồng biến trên các khoảng $ (-\infty, 0) $ và $ (0, +\infty) $. Vậy hàm số không có cực trị. Bảng biến thiên: $$ \begin{array}{c|cc} x & -\infty & 0 & +\infty \ \hline y' & + & + \ \hline y & -\infty & \text{Không xác định} & +\infty \ \end{array} $$ Bài 4: Tìm cực trị của hàm số $ y = \frac{2x^2 - x + 1}{x - 1} $ Điều kiện xác định: $ x \neq 1 $. Tìm đạo hàm: $$ y' = \frac{(4x - 1)(x - 1) - (2x^2 - x + 1)}{(x - 1)^2} = \frac{2x^2 - 4x}{(x - 1)^2} = \frac{2x(x - 2)}{(x - 1)^2} $$ Giải phương trình $ y' = 0 $: $$ \frac{2x(x - 2)}{(x - 1)^2} = 0 $$ $$ 2x(x - 2) = 0 $$ $$ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = 2 $$ Xét dấu của $ y' $: - Trên khoảng $ (-\infty, 0) $, $ y' > 0 $ - Trên khoảng $ (0, 1) $, $ y' < 0 $ - Trên khoảng $ (1, 2) $, $ y' < 0 $ - Trên khoảng $ (2, +\infty) $, $ y' > 0 $ Hàm số đạt cực đại tại $ x = 0 $: $$ y(0) = \frac{2(0)^2 - 0 + 1}{0 - 1} = -1 $$ Hàm số đạt cực tiểu tại $ x = 2 $: $$ y(2) = \frac{2(2)^2 - 2 + 1}{2 - 1} = 7 $$ Bảng biến thiên: $$ \begin{array}{c|cccc} x & -\infty & 0 & 1 & 2 & +\infty \ \hline y' & + & 0 & - & 0 & + \ \hline y & -\infty & -1 & \text{Không xác định} & 7 & +\infty \ \end{array} $$ Bài 5: Tìm cực trị của hàm số $ y = \frac{x^2 + 2x + 1}{x + 3} $ Điều kiện xác định: $ x \neq -3 $. Tìm đạo hàm: $$ y' = \frac{(2x + 2)(x + 3) - (x^2 + 2x + 1)}{(x + 3)^2} = \frac{x^2 + 6x + 5}{(x + 3)^2} = \frac{(x + 1)(x + 5)}{(x + 3)^2} $$ Giải phương trình $ y' = 0 $: $$ \frac{(x + 1)(x + 5)}{(x + 3)^2} = 0 $$ $$ (x + 1)(x + 5) = 0 $$ $$ x = -1 \quad \text{hoặc} \quad x = -5 $$ Xét dấu của $ y' $: - Trên khoảng $ (-\infty, -5) $, $ y' > 0 $ - Trên khoảng $ (-5, -3) $, $ y' < 0 $ - Trên khoảng $ (-3, -1) $, $ y' < 0 $ - Trên khoảng $ (-1, +\infty) $, $ y' > 0 $ Hàm số đạt cực đại tại $ x = -5 $: $$ y(-5) = \frac{(-5)^2 + 2(-5) + 1}{-5 + 3} = \frac{16}{-2} = -8 $$ Hàm số đạt cực tiểu tại $ x = -1 $: $$ y(-1) = \frac{(-1)^2 + 2(-1) + 1}{-1 + 3} = \frac{0}{2} = 0 $$ Bảng biến thiên: $$ \begin{array}{c|cccc} x & -\infty & -5 & -3 & -1 & +\infty \ \hline y' & + & 0 & - & 0 & + \ \hline y & -\infty & -8 & \text{Không xác định} & 0 & +\infty \ \end{array} $$ Bài 6: Tìm cực trị của hàm số $ y = \frac{-x^2 + 3x - 1}{x - 2} $ Điều kiện xác định: $ x \neq 2 $. Tìm đạo hàm: $$ y' = \frac{(-2x + 3)(x - 2) - (-x^2 + 3x - 1)}{(x - 2)^2} = \frac{-x^2 + 4x - 5}{(x - 2)^2} = \frac{-(x - 1)(x - 5)}{(x - 2)^2} $$ Giải phương trình $ y' = 0 $: $$ \frac{-(x - 1)(x - 5)}{(x - 2)^2} = 0 $$ $$ -(x - 1)(x - 5) = 0 $$ $$ x = 1 \quad \text{hoặc} \quad x = 5 $$ Xét dấu của $ y' $: - Trên khoảng $ (-\infty, 1) $, $ y' > 0 $ - Trên khoảng $ (1, 2) $, $ y' < 0 $ - Trên khoảng $ (2, 5) $, $ y' < 0 $ - Trên khoảng $ (5, +\infty) $, $ y' > 0 $ Hàm số đạt cực đại tại $ x = 1 $: $$ y(1) = \frac{-(1)^2 + 3(1) - 1}{1 - 2} = \frac{1}{-1} = -1 $$ Hàm số đạt cực tiểu tại $ x = 5 $: $$ y(5) = \frac{-(5)^2 + 3(5) - 1}{5 - 2} = \frac{-9}{3} = -3 $$ Bảng biến thiên: $$ \begin{array}{c|cccc} x & -\infty & 1 & 2 & 5 & +\infty \ \hline y' & + & 0 & - & 0 & + \ \hline y & -\infty & -1 & \text{Không xác định} & -3 & +\infty \ \end{array} $$

tìm cực trị của các hàm số lập bảng biến thiên