helppp meee

Câu 4: Để giải quyết các phát biểu trên, ta cần phân tích từng phần của hàm số đã cho: Hàm số: \( y = \frac{x^2 - 2x + 2}{x + 2} \). a) Hàm số có tiệm cận đứng là \( x = 2 \). - Để tìm tiệm cận đứng, ta cần tìm giá trị của \( x \) làm cho mẫu số bằng 0 và tử số khác 0. - Mẫu số: \( x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2 \). - Tử số: \( x^2 - 2x + 2 \neq 0 \) khi \( x = -2 \) (thay vào tử số: \((-2)^2 - 2(-2) + 2 = 4 + 4 + 2 = 10 \neq 0\)). - Vậy hàm số có tiệm cận đứng là \( x = -2 \). Kết luận: Phát biểu a) Sai. b) Hàm số có tiệm cận xiên là \( y = x - 4 \). - Để tìm tiệm cận xiên, ta thực hiện phép chia đa thức: \[ \frac{x^2 - 2x + 2}{x + 2} = x - 4 + \frac{10}{x + 2} \] - Khi \( x \to \pm \infty \), \(\frac{10}{x+2} \to 0\), do đó tiệm cận xiên là \( y = x - 4 \). Kết luận: Phát biểu b) Đúng. c) Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là \( I(2; -2) \). - Để tìm tâm đối xứng, ta cần tìm điểm \( I(a; b) \) sao cho đồ thị hàm số đối xứng qua điểm này. - Với hàm số có dạng \( y = \frac{ax^2 + bx + c}{dx + e} \), tâm đối xứng có tọa độ \( I(-\frac{b}{2a}; \frac{D}{2a}) \), trong đó \( D = \frac{ac - be}{d} \). - Ở đây, \( a = 1, b = -2, c = 2, d = 1, e = 2 \). - Tọa độ tâm đối xứng: \( I\left(-\frac{-2}{2 \cdot 1}; \frac{1 \cdot 2 - (-2) \cdot 2}{2 \cdot 1}\right) = I(1; 3) \). Kết luận: Phát biểu c) Sai. d) Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đi cắt các trục tọa độ tại 2 điểm A, B. Khi đó diện tích \( S_{\Delta OAB} = 8 \). - Tiệm cận xiên \( y = x - 4 \) cắt trục hoành (Ox) khi \( y = 0 \): \[ x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4 \Rightarrow A(4, 0) \] - Tiệm cận xiên cắt trục tung (Oy) khi \( x = 0 \): \[ y = 0 - 4 = -4 \Rightarrow B(0, -4) \] - Diện tích tam giác \( OAB \) với \( O(0, 0) \), \( A(4, 0) \), \( B(0, -4) \) là: \[ S_{\Delta OAB} = \frac{1}{2} \left| 0(0 - (-4)) + 4(-4 - 0) + 0(0 - 0) \right| = \frac{1}{2} \times 16 = 8 \] Kết luận: Phát biểu d) Đúng. Tóm lại: - a) Sai - b) Đúng - c) Sai - d) Đúng Câu 1: Để tìm các điểm cực trị của hàm số \( y = f(x) = \frac{-x^2 - 6x - 16}{x + 6} \), chúng ta cần tính đạo hàm của hàm số và giải phương trình \( f'(x) = 0 \). Bước 1: Tìm đạo hàm của \( f(x) \). Hàm số \( f(x) \) có dạng phân thức, do đó chúng ta sẽ sử dụng quy tắc đạo hàm của phân thức: \[ f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} \] với \( u(x) = -x^2 - 6x - 16 \) và \( v(x) = x + 6 \). Đạo hàm của \( u(x) \) là: \[ u'(x) = -2x - 6 \] Đạo hàm của \( v(x) \) là: \[ v'(x) = 1 \] Áp dụng công thức đạo hàm của phân thức: \[ f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2} \] \[ f'(x) = \frac{(-2x - 6)(x + 6) - (-x^2 - 6x - 16)(1)}{(x + 6)^2} \] Bước 2: Rút gọn biểu thức đạo hàm. \[ f'(x) = \frac{(-2x - 6)(x + 6) + x^2 + 6x + 16}{(x + 6)^2} \] \[ f'(x) = \frac{-2x^2 - 12x - 6x - 36 + x^2 + 6x + 16}{(x + 6)^2} \] \[ f'(x) = \frac{-x^2 - 12x - 20}{(x + 6)^2} \] Bước 3: Giải phương trình \( f'(x) = 0 \). \[ \frac{-x^2 - 12x - 20}{(x + 6)^2} = 0 \] \[ -x^2 - 12x - 20 = 0 \] Giải phương trình bậc hai: \[ x^2 + 12x + 20 = 0 \] Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] với \( a = 1 \), \( b = 12 \), và \( c = 20 \). \[ x = \frac{-12 \pm \sqrt{144 - 80}}{2} \] \[ x = \frac{-12 \pm \sqrt{64}}{2} \] \[ x = \frac{-12 \pm 8}{2} \] Do đó, các nghiệm là: \[ x_1 = \frac{-12 + 8}{2} = -2 \] \[ x_2 = \frac{-12 - 8}{2} = -10 \] Bước 4: Tính \( P = -2x_1 + 4x_2 \). \[ P = -2(-2) + 4(-10) \] \[ P = 4 - 40 \] \[ P = -36 \] Vậy, giá trị của \( P \) là: \[ P = -36 \] Câu 2: Để giải bài toán này, ta cần phân tích các điều kiện đã cho và áp dụng kiến thức về đạo hàm và tính chất của hàm số bậc ba. 1. Tìm điều kiện cực trị: Hàm số \( y = ax^3 + bx^2 + cx + d \) có đạo hàm là: \[ y' = 3ax^2 + 2bx + c \] Hàm số đạt cực trị tại các điểm \( x_1 \) và \( x_2 \) khi: \[ y'(x_1) = 0 \quad \text{và} \quad y'(x_2) = 0 \] Do đó, phương trình \( 3ax^2 + 2bx + c = 0 \) có hai nghiệm \( x_1 \in (-1, 0) \) và \( x_2 \in (1, 2) \). 2. Hàm số đồng biến trên \((x_1, x_2)\): Điều này có nghĩa là \( y' > 0 \) trên khoảng \((x_1, x_2)\). Vì \( x_1 \) và \( x_2 \) là hai nghiệm của phương trình bậc hai, nên đồ thị của hàm số \( y' = 3ax^2 + 2bx + c \) là một parabol. Để hàm số đồng biến trên \((x_1, x_2)\), hệ số \( a \) của \( y' \) phải dương, tức là \( 3a > 0 \) hay \( a > 0 \). 3. Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ âm: Điểm cắt trục tung là \( (0, d) \). Do đó, \( d < 0 \). 4. Xét dấu của \( b \) và \( c \): - Vì \( a > 0 \) và hàm số đồng biến trên \((x_1, x_2)\), nên parabol \( y' = 3ax^2 + 2bx + c \) có đỉnh nằm ngoài khoảng \((x_1, x_2)\). Điều này có thể xảy ra khi \( b < 0 \) (đỉnh nằm bên trái \( x_1 \)) hoặc \( b > 0 \) (đỉnh nằm bên phải \( x_2 \)). - Để xác định dấu của \( c \), ta cần thêm thông tin về đồ thị hoặc tính chất khác của hàm số. Tuy nhiên, với thông tin hiện tại, ta không thể xác định chính xác dấu của \( c \). 5. Kết luận: - \( a > 0 \) - \( b \) có thể dương hoặc âm - \( c \) không xác định được dấu Vậy, trong các số \( a, b, c \), chỉ có \( a \) chắc chắn dương. Do đó, có 1 số dương. Kết quả: \(\boxed{1}\) Câu 3: Để giải bài toán này, ta cần tìm giá trị của \( m \) sao cho đường thẳng \(\Delta: y = mx + m - 3\) đi qua giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số \( y = \frac{x+1}{x-3} \). Bước 1: Tìm các đường tiệm cận của đồ thị (C) Hàm số \( y = \frac{x+1}{x-3} \) có: - Tiệm cận đứng: \( x = 3 \) (do mẫu số bằng 0 khi \( x = 3 \)). - Tiệm cận ngang: \( y = 1 \) (do khi \( x \to \pm \infty \), \( y \to 1 \)). Bước 2: Tìm giao điểm của hai đường tiệm cận Giao điểm của hai đường tiệm cận là điểm \( (3, 1) \). Bước 3: Đường thẳng \(\Delta\) đi qua điểm \( (3, 1) \) Thay tọa độ điểm \( (3, 1) \) vào phương trình đường thẳng \(\Delta: y = mx + m - 3\): \[ 1 = 3m + m - 3 \] \[ 1 = 4m - 3 \] \[ 4m = 4 \] \[ m = 1 \] Kết luận Giá trị của \( m \) là \( 1 \). Vậy, giá trị của \( m \) là \(\boxed{1}\). Câu 4: Để giải bài toán này, ta cần thực hiện các bước sau: 1. Tính vận tốc tức thời \( v(t) \): Vận tốc tức thời là đạo hàm của phương trình chuyển động \( s(t) \). Do đó, ta có: \[ v(t) = s'(t) = \frac{d}{dt}(-t^3 + 6t^2 + t + 3) = -3t^2 + 12t + 1. \] 2. Tìm thời điểm vận tốc tức thời lớn nhất: Để tìm giá trị lớn nhất của \( v(t) \), ta cần tìm đạo hàm của \( v(t) \) và giải phương trình \( v'(t) = 0 \): \[ v'(t) = \frac{d}{dt}(-3t^2 + 12t + 1) = -6t + 12. \] Giải phương trình \( v'(t) = 0 \): \[ -6t + 12 = 0 \implies t = 2. \] Ta cần kiểm tra xem \( t = 2 \) có phải là điểm cực đại không. Xét dấu của \( v'(t) \): - Khi \( t < 2 \), \( v'(t) > 0 \) (vì \(-6t + 12 > 0\)). - Khi \( t > 2 \), \( v'(t) < 0 \) (vì \(-6t + 12 < 0\)). Do đó, \( t = 2 \) là điểm cực đại của \( v(t) \). 3. Tính quãng đường đi được từ \( t = 0 \) đến \( t = 2 \): Quãng đường đi được là hiệu của giá trị \( s(t) \) tại \( t = 2 \) và \( t = 0 \): \[ s(2) = -(2)^3 + 6(2)^2 + 2 + 3 = -8 + 24 + 2 + 3 = 21. \] \[ s(0) = -(0)^3 + 6(0)^2 + 0 + 3 = 3. \] Quãng đường đi được là: \[ s(2) - s(0) = 21 - 3 = 18. \] Vậy, quãng đường chất điểm đi được từ lúc bắt đầu chuyển động đến khi vận tốc tức thời lớn nhất là \( 18 \) mét. Câu 5: Để giải bài toán này, ta cần tìm tốc độ của con tàu sao cho tổng chi phí nhiên liệu trên 1 km đường là nhỏ nhất. Gọi \( v \) là tốc độ của con tàu (km/h). 1. Chi phí phần thứ nhất: - Không phụ thuộc vào tốc độ, bằng 480 nghìn đồng mỗi giờ. 2. Chi phí phần thứ hai: - Tỉ lệ thuận với lập phương của tốc độ tàu: \( C_2 = k \cdot v^3 \). - Khi \( v = 20 \) km/h, \( C_2 = 100 \) nghìn đồng mỗi giờ. - Suy ra: \( k \cdot 20^3 = 100 \). - Tính \( k \): \[ k = \frac{100}{20^3} = \frac{100}{8000} = \frac{1}{80} \] 3. Tổng chi phí nhiên liệu trên 1 km đường: - Thời gian đi 1 km là \( \frac{1}{v} \) giờ. - Chi phí phần thứ nhất trên 1 km: \( \frac{480}{v} \). - Chi phí phần thứ hai trên 1 km: \( \frac{k \cdot v^3}{v} = \frac{v^2}{80} \). - Tổng chi phí trên 1 km: \[ C(v) = \frac{480}{v} + \frac{v^2}{80} \] 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của \( C(v) \): - Tính đạo hàm: \[ C'(v) = -\frac{480}{v^2} + \frac{v}{40} \] - Đặt \( C'(v) = 0 \): \[ -\frac{480}{v^2} + \frac{v}{40} = 0 \] \[ \frac{v}{40} = \frac{480}{v^2} \] \[ v^3 = 19200 \] \[ v = \sqrt[3]{19200} \approx 27.14 \] 5. Kết luận: - Làm tròn đến hàng phần chục, tốc độ tối ưu là 30 km/h. - Vậy tốc độ của con tàu để tổng chi phí nhiên liệu trên 1 km đường là nhỏ nhất là khoảng 30 km/h.