Giúp tớ vs 2) Rút gọn biểu thức sau: $A=\frac{\sqrt x+2}{\sqrt x+3}+\frac1{2-\sqrt x}-\frac5{x+\sqrt x-6}$ với $x\geq0;x
e4.$,3) Cho phương trình $x^2+10x-3=0$ có hai nghiệm $x_1,x_2.$ Không giải phương,trình, tính giá trị của biểu thức $M=\frac{x^2_1+x^2_2}{(x^2_2+10x_2-2)^{2026}}+2025$

Question

Giúp tớ  vs 2) Rút gọn biểu thức sau: $A=\frac{\sqrt x+2}{\sqrt x+3}+\frac1{2-\sqrt x}-\frac5{x+\sqrt x-6}$ với $x\geq0;x
e4.$,3) Cho phương trình $x^2+10x-3=0$ có hai nghiệm $x_1,x_2.$ Không giải phương,trình, tính giá trị của biểu thức $M=\frac{x^2_1+x^2_2}{(x^2_2+10x_2-2)^{2026}}+2025$

Accepted Answer

2) Rút gọn biểu thức:
$$ A = \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} + 3} + \frac{1}{2 - \sqrt{x}} - \frac{5}{x + \sqrt{x} - 6} $$

Điều kiện xác định: $ x \geq 0 $ và $ x \neq 4 $.

Ta thấy rằng $ x + \sqrt{x} - 6 = (\sqrt{x} + 3)(\sqrt{x} - 2) $.

Rút gọn từng phân thức:
$$ \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} + 3} $$
$$ \frac{1}{2 - \sqrt{x}} = \frac{1}{-(\sqrt{x} - 2)} = -\frac{1}{\sqrt{x} - 2} $$
$$ \frac{5}{x + \sqrt{x} - 6} = \frac{5}{(\sqrt{x} + 3)(\sqrt{x} - 2)} $$

Tìm mẫu chung là $ (\sqrt{x} + 3)(\sqrt{x} - 2) $:
$$ A = \frac{(\sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} - 2) - (\sqrt{x} + 3) - 5}{(\sqrt{x} + 3)(\sqrt{x} - 2)} $$

Rút gọn tử số:
$$ (\sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} - 2) = x - 4 $$
$$ -(\sqrt{x} + 3) = -\sqrt{x} - 3 $$
$$ -5 = -5 $$

Tử số:
$$ x - 4 - \sqrt{x} - 3 - 5 = x - \sqrt{x} - 12 $$

Vậy:
$$ A = \frac{x - \sqrt{x} - 12}{(\sqrt{x} + 3)(\sqrt{x} - 2)} $$

3) Cho phương trình $ x^2 + 10x - 3 = 0 $ có hai nghiệm $ x_1 $ và $ x_2 $. Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức:
$$ M = \frac{x_1^2 + x_2^2}{(x_2^2 + 10x_2 - 2)^{2026}} + 2025 $$

Theo định lý Vi-et:
$$ x_1 + x_2 = -10 $$
$$ x_1 x_2 = -3 $$

Tính $ x_1^2 + x_2^2 $:
$$ x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 = (-10)^2 - 2(-3) = 100 + 6 = 106 $$

Vì $ x_2 $ là nghiệm của phương trình $ x^2 + 10x - 3 = 0 $, ta có:
$$ x_2^2 + 10x_2 - 3 = 0 $$
$$ x_2^2 + 10x_2 = 3 $$

Do đó:
$$ x_2^2 + 10x_2 - 2 = 3 - 2 = 1 $$

Vậy:
$$ (x_2^2 + 10x_2 - 2)^{2026} = 1^{2026} = 1 $$

Thay vào biểu thức $ M $:
$$ M = \frac{106}{1} + 2025 = 106 + 2025 = 2131 $$

Đáp số:
$$ M = 2131 $$