Sosss mn oii

Câu 18. Để rút gọn biểu thức $\sqrt{19-6\sqrt{10}}+\sqrt{26-8\sqrt{10}}$, ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Ta nhận thấy rằng các biểu thức dưới dấu căn có dạng $a - b\sqrt{c}$. Chúng ta sẽ cố gắng biến chúng thành dạng $(d - e\sqrt{f})^2$ để dễ dàng rút gọn. Bước 2: Ta xét biểu thức $\sqrt{19-6\sqrt{10}}$. Giả sử nó có dạng $\sqrt{(a - b\sqrt{10})^2}$, tức là: \[ 19 - 6\sqrt{10} = (a - b\sqrt{10})^2 \] \[ 19 - 6\sqrt{10} = a^2 - 2ab\sqrt{10} + 10b^2 \] So sánh các thành phần, ta có: \[ a^2 + 10b^2 = 19 \] \[ -2ab = -6 \] Từ phương trình $-2ab = -6$, ta có: \[ ab = 3 \] Giải hệ phương trình: \[ a^2 + 10b^2 = 19 \] \[ ab = 3 \] Ta thử các giá trị $a$ và $b$ sao cho $ab = 3$. Ta thử $a = 3$ và $b = 1$: \[ 3^2 + 10(1)^2 = 9 + 10 = 19 \] Vậy $a = 3$ và $b = 1$ thỏa mãn. Do đó: \[ \sqrt{19-6\sqrt{10}} = \sqrt{(3 - \sqrt{10})^2} = |3 - \sqrt{10}| \] Vì $3 < \sqrt{10}$, nên $|3 - \sqrt{10}| = \sqrt{10} - 3$. Bước 3: Ta xét biểu thức $\sqrt{26-8\sqrt{10}}$. Giả sử nó có dạng $\sqrt{(a - b\sqrt{10})^2}$, tức là: \[ 26 - 8\sqrt{10} = (a - b\sqrt{10})^2 \] \[ 26 - 8\sqrt{10} = a^2 - 2ab\sqrt{10} + 10b^2 \] So sánh các thành phần, ta có: \[ a^2 + 10b^2 = 26 \] \[ -2ab = -8 \] Từ phương trình $-2ab = -8$, ta có: \[ ab = 4 \] Giải hệ phương trình: \[ a^2 + 10b^2 = 26 \] \[ ab = 4 \] Ta thử các giá trị $a$ và $b$ sao cho $ab = 4$. Ta thử $a = 4$ và $b = 1$: \[ 4^2 + 10(1)^2 = 16 + 10 = 26 \] Vậy $a = 4$ và $b = 1$ thỏa mãn. Do đó: \[ \sqrt{26-8\sqrt{10}} = \sqrt{(4 - \sqrt{10})^2} = |4 - \sqrt{10}| \] Vì $4 > \sqrt{10}$, nên $|4 - \sqrt{10}| = 4 - \sqrt{10}$. Bước 4: Kết hợp các kết quả trên, ta có: \[ \sqrt{19-6\sqrt{10}} + \sqrt{26-8\sqrt{10}} = (\sqrt{10} - 3) + (4 - \sqrt{10}) \] \[ = \sqrt{10} - 3 + 4 - \sqrt{10} \] \[ = 1 \] Vậy biểu thức đã cho rút gọn là: \[ \boxed{1} \] Câu 19. Để rút gọn biểu thức \( A = \frac{2}{\sqrt{3} - 1} - \sqrt{4 - 2\sqrt{3}} \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Rationalize the denominator of the first term: \[ \frac{2}{\sqrt{3} - 1} \] Nhân cả tử và mẫu với \(\sqrt{3} + 1\): \[ \frac{2}{\sqrt{3} - 1} \cdot \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} + 1} = \frac{2(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3})^2 - (1)^2} = \frac{2(\sqrt{3} + 1)}{3 - 1} = \frac{2(\sqrt{3} + 1)}{2} = \sqrt{3} + 1 \] 2. Simplify the second term: \[ \sqrt{4 - 2\sqrt{3}} \] Ta nhận thấy rằng \(4 - 2\sqrt{3}\) có thể viết dưới dạng bình phương của một biểu thức: \[ 4 - 2\sqrt{3} = (\sqrt{3} - 1)^2 \] Do đó: \[ \sqrt{4 - 2\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{3} - 1)^2} = |\sqrt{3} - 1| \] Vì \(\sqrt{3} > 1\), nên: \[ |\sqrt{3} - 1| = \sqrt{3} - 1 \] 3. Combine the simplified terms: \[ A = (\sqrt{3} + 1) - (\sqrt{3} - 1) \] Thực hiện phép trừ: \[ A = \sqrt{3} + 1 - \sqrt{3} + 1 = 2 \] Vậy, biểu thức \( A \) được rút gọn thành: \[ A = 2 \] Câu 20. Để tính chiều cao của cổng trường đại học có hình dạng parabol $y = ax^2$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định tọa độ các điểm trên parabol: - Điểm $A$ và $B$ là hai chân cổng, do đó tọa độ của chúng là $A(-4.5, 0)$ và $B(4.5, 0)$. - Điểm $E$ là vị trí bạn sinh viên đứng, tọa độ của điểm này là $E(0.5, 1.6)$. 2. Tìm hệ số $a$: - Vì điểm $E(0.5, 1.6)$ nằm trên parabol $y = ax^2$, ta thay tọa độ của điểm $E$ vào phương trình: \[ 1.6 = a(0.5)^2 \] \[ 1.6 = a \cdot 0.25 \] \[ a = \frac{1.6}{0.25} = 6.4 \] 3. Phương trình của parabol: - Với $a = 6.4$, phương trình của parabol là: \[ y = 6.4x^2 \] 4. Tính chiều cao của cổng: - Chiều cao của cổng là giá trị của $y$ tại đỉnh parabol, tức là khi $x = 0$. Thay $x = 0$ vào phương trình: \[ y = 6.4 \cdot 0^2 = 0 \] - Do đó, đỉnh của parabol nằm ở $(0, 0)$, nhưng chiều cao của cổng là khoảng cách từ đỉnh tới đáy, tức là giá trị của $y$ tại $x = 4.5$ (vì khoảng cách giữa hai chân cổng là 9m): \[ y = 6.4 \cdot (4.5)^2 \] \[ y = 6.4 \cdot 20.25 \] \[ y = 129.6 \] Vậy chiều cao của cổng trường đại học là 129.6 m. Câu 21. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng kiến thức về tam giác vuông và tỉ số lượng giác. 1. Xác định các thông số đã biết: - Chiều cao cần nâng lên: 8,1 m - Chiều cao của xe: 2,6 m - Góc nghiêng của cần cẩu: $40^\circ$ 2. Tính chiều cao cần nâng lên từ mặt đất: Chiều cao cần nâng lên từ mặt đất là: \[ 8,1 \text{ m} + 2,6 \text{ m} = 10,7 \text{ m} \] 3. Áp dụng tỉ số lượng giác để tìm độ dài cần cẩu: Trong tam giác vuông, tỉ số lượng giác của góc $40^\circ$ là: \[ \sin(40^\circ) = \frac{\text{đối}}{\text{hypotenuse}} \] Ở đây, "đối" là chiều cao cần nâng lên từ mặt đất (10,7 m), và "hypotenuse" là độ dài cần cẩu (chúng ta cần tìm). Do đó: \[ \sin(40^\circ) = \frac{10,7}{\text{độ dài cần cẩu}} \] 4. Tìm độ dài cần cẩu: Độ dài cần cẩu là: \[ \text{độ dài cần cẩu} = \frac{10,7}{\sin(40^\circ)} \] Sử dụng máy tính để tính $\sin(40^\circ)$: \[ \sin(40^\circ) \approx 0,6428 \] Vì vậy: \[ \text{độ dài cần cẩu} = \frac{10,7}{0,6428} \approx 16,6 \text{ m} \] Đáp số: Độ dài cần cẩu là 16,6 m (làm tròn đến 1 chữ số thập phân). Câu 22. Khi gieo một con xúc xắc cân đối đồng chất 2 lần, ta có tổng số kết quả có thể xảy ra là \(6 \times 6 = 36\) kết quả. Để xác định kết quả thuận lợi của biến cố "Tổng số chấm khi gieo 2 lần là một số chẵn", ta cần xem xét các trường hợp sau: - Tổng của hai số chẵn là một số chẵn. - Tổng của hai số lẻ là một số chẵn. Các số trên mặt xúc xắc là 1, 2, 3, 4, 5, 6. Trong đó, các số chẵn là 2, 4, 6 và các số lẻ là 1, 3, 5. 1. Trường hợp tổng của hai số chẵn: - Kết quả thuận lợi là: (2, 2), (2, 4), (2, 6), (4, 2), (4, 4), (4, 6), (6, 2), (6, 4), (6, 6). - Số kết quả thuận lợi là 9. 2. Trường hợp tổng của hai số lẻ: - Kết quả thuận lợi là: (1, 1), (1, 3), (1, 5), (3, 1), (3, 3), (3, 5), (5, 1), (5, 3), (5, 5). - Số kết quả thuận lợi là 9. Vậy tổng số kết quả thuận lợi của biến cố "Tổng số chấm khi gieo 2 lần là một số chẵn" là \(9 + 9 = 18\). Đáp số: 18 kết quả thuận lợi.