lam cho toiii Câu 3. Trong không gian Oxyz , cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 6. Chọn hệ trục toạ độ Oxyz như,hình vẽ.,,Phương trình mặt cầu nội tiếp tứ diện có dạng $(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2.$ Hãy tính giá trị của,biểu thức $P=a^2+b^2+c^2+R^2.$

Question

lam cho toiii Câu 3. Trong không gian Oxyz , cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 6. Chọn hệ trục toạ độ Oxyz như,hình vẽ.,<img src=https://minio.ftech.ai/cvdata/fqa/prod/public/illustration_images/65d41d30f4fa4b078a51a84ed5aeda07.jpg />,Phương trình mặt cầu nội tiếp tứ diện có dạng $(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2.$ Hãy tính giá trị của,biểu thức $P=a^2+b^2+c^2+R^2.$

Accepted Answer

Câu 3.
Để tính giá trị của biểu thức $ P = a^2 + b^2 + c^2 + R^2 $, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tìm tọa độ các đỉnh của tứ diện đều ABCD:
   - Vì tứ diện đều có cạnh bằng 6, ta chọn hệ tọa độ sao cho:
     - $ A(0, 0, 0) $
     - $ B(6, 0, 0) $
     - $ C(3, 3\sqrt{3}, 0) $
     - $ D(3, \sqrt{3}, 3\sqrt{6}) $

2. Tìm tâm $ I $ của mặt cầu nội tiếp:
   - Tâm $ I $ của mặt cầu nội tiếp nằm tại trung điểm của đường cao hạ từ đỉnh $ D $ xuống đáy $ ABC $.

3. Tính tọa độ tâm $ I $:
   - Tọa độ trung điểm của $ ABC $:
     $$
     M = \left( \frac{0 + 6 + 3}{3}, \frac{0 + 0 + 3\sqrt{3}}{3}, \frac{0 + 0 + 0}{3} \right) = (3, \sqrt{3}, 0)
     $$
   - Đường cao từ $ D $ đến $ ABC $ đi qua $ M $. Ta tính tọa độ $ I $ bằng cách chia đoạn thẳng $ DM $ theo tỉ số $ 1:3 $:
     $$
     I = \left( \frac{3 + 3}{4}, \frac{\sqrt{3} + \sqrt{3}}{4}, \frac{3\sqrt{6} + 0}{4} \right) = \left( 3, \sqrt{3}, \frac{3\sqrt{6}}{4} \right)
     $$

4. Tính bán kính $ R $ của mặt cầu nội tiếp:
   - Bán kính $ R $ là khoảng cách từ tâm $ I $ đến bất kỳ đỉnh nào của tứ diện, ví dụ đỉnh $ A $:
     $$
     R = IA = \sqrt{(3-0)^2 + (\sqrt{3}-0)^2 + \left(\frac{3\sqrt{6}}{4} - 0\right)^2}
     $$
     $$
     R = \sqrt{9 + 3 + \frac{27}{4}} = \sqrt{12 + \frac{27}{4}} = \sqrt{\frac{48 + 27}{4}} = \sqrt{\frac{75}{4}} = \frac{5\sqrt{3}}{2}
     $$

5. Tính giá trị của biểu thức $ P $:
   - $ a = 3 $, $ b = \sqrt{3} $, $ c = \frac{3\sqrt{6}}{4} $, $ R = \frac{5\sqrt{3}}{2} $
   - $ a^2 = 9 $
   - $ b^2 = 3 $
   - $ c^2 = \left(\frac{3\sqrt{6}}{4}\right)^2 = \frac{54}{16} = \frac{27}{8} $
   - $ R^2 = \left(\frac{5\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{75}{4} $

Tổng lại:
   $$
   P = a^2 + b^2 + c^2 + R^2 = 9 + 3 + \frac{27}{8} + \frac{75}{4}
   $$
   $$
   P = 12 + \frac{27}{8} + \frac{150}{8} = 12 + \frac{177}{8} = 12 + 22.125 = 34.125
   $$

Vậy giá trị của biểu thức $ P $ là $ 34.125 $.