Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) đường kính AC (BA

Question

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) đường kính AC (BA <BC). Trên đoạn thẳng OC lấy điểm I bất kỳ (I khác C). Đường thẳng BI cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là D. Kẻ CH vuông góc với BD (H thuộc BD), DK vuông góc với AC (K thuộc AC)
a) Chứng minh tứ giác DHKC là tứ giác nội tiếp
b) Kẻ AE vuông góc với BD (E thuộc BD). Chứng minh KE//BC
c) Cho AC = 4cm và 𝐴𝐵𝐷 = 60 . Tính diện tích tam giác ACD.

Accepted Answer

a) Ta có $\widehat{DHC} = 90^\circ$ (vì CH vuông góc với BD) và $\widehat{DKC} = 90^\circ$ (vì DK vuông góc với AC). 
Do đó, tứ giác DHKC có hai góc kề cạnh chung là góc vuông, nên tứ giác DHKC là tứ giác nội tiếp.

b) Ta có $\widehat{AEB} = 90^\circ$ (vì AE vuông góc với BD) và $\widehat{DKC} = 90^\circ$. 
Do đó, tứ giác AEKD là tứ giác nội tiếp. 
Từ đó ta có $\widehat{AKE} = \widehat{ADE}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung AD). 
Mặt khác, ta có $\widehat{ADE} = \widehat{ABC}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung AC). 
Vậy $\widehat{AKE} = \widehat{ABC}$. 
Do đó, KE // BC (hai góc đồng vị bằng nhau).

c) Ta có $\widehat{ACD} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). 
Ta cũng có $\widehat{CAD} = \widehat{CBD}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung CD). 
Mà $\widehat{CBD} = 60^\circ$ (theo đề bài). 
Vậy $\widehat{CAD} = 60^\circ$. 
Tam giác ACD có $\widehat{ACD} = 90^\circ$ và $\widehat{CAD} = 60^\circ$, nên $\widehat{ADC} = 30^\circ$. 
Vậy tam giác ACD là tam giác vuông cân tại C, có $\widehat{CAD} = 60^\circ$ và $\widehat{ADC} = 30^\circ$. 
Diện tích tam giác ACD là:
$$ S_{ACD} = \frac{1}{2} \times AC \times CD $$
Vì tam giác ACD là tam giác vuông cân tại C, nên CD = AC × sin(60°) = 4 × $\frac{\sqrt{3}}{2}$ = 2$\sqrt{3}$ cm.
$$ S_{ACD} = \frac{1}{2} \times 4 \times 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3} \text{ cm}^2 $$

Đáp số: Diện tích tam giác ACD là $4\sqrt{3}$ cm².

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) đường kính AC (BA <BC). Trên đoạn thẳng OC lấy điểm I bất kỳ (I khác C). Đường thẳng BI cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là D. Kẻ CH vuông góc với BD (H thuộ...