trả lời nhanh Câu 22 (1,5đ).,,Cho phương trình $x^2-2(m+1)x+m+1=0$ (m là tham số).,a) Giải phương trình khi $m=1$,b) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi số thực m.,c) Tìm các giá trị của m để phương trình có nghiệm $x_1,x_2$ thỏa mãn điều kiện,thỏa mãn điều kiện $x^2_1-x^2_2=12.$

Question

trả lời nhanh Câu 22 (1,5đ).,<img src=https://minio.ftech.ai/cvdata/fqa/prod/public/illustration_images/4f3a5bd2bbfb4280a9672bc7b2b6ed72.jpg />,Cho phương trình $x^2-2(m+1)x+m+1=0$ (m là tham số).,a) Giải phương trình khi $m=1$,b) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi số thực m.,c) Tìm các giá trị của m để phương trình có nghiệm $x_1,x_2$ thỏa mãn điều kiện,thỏa mãn điều kiện $x^2_1-x^2_2=12.$

Accepted Answer

Câu 22
a) Thay $m=1$ vào phương trình, ta được:
$$ x^2 - 2(1+1)x + 1 + 1 = 0 $$
$$ x^2 - 4x + 2 = 0 $$

Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai:
$$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$
Ở đây, $a = 1$, $b = -4$, $c = 2$. Ta có:
$$ x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1} $$
$$ x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 8}}{2} $$
$$ x = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2} $$
$$ x = \frac{4 \pm 2\sqrt{2}}{2} $$
$$ x = 2 \pm \sqrt{2} $$

Vậy nghiệm của phương trình là:
$$ x_1 = 2 + \sqrt{2}, \quad x_2 = 2 - \sqrt{2} $$

b) Để chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi số thực $m$, ta kiểm tra biệt thức $\Delta$ của phương trình:
$$ \Delta = b^2 - 4ac $$
Ở đây, $a = 1$, $b = -2(m+1)$, $c = m+1$. Ta có:
$$ \Delta = [-2(m+1)]^2 - 4 \cdot 1 \cdot (m+1) $$
$$ \Delta = 4(m+1)^2 - 4(m+1) $$
$$ \Delta = 4[(m+1)^2 - (m+1)] $$
$$ \Delta = 4[m^2 + 2m + 1 - m - 1] $$
$$ \Delta = 4[m^2 + m] $$
$$ \Delta = 4m(m+1) $$

Ta thấy $\Delta = 4m(m+1)$. Vì $4m(m+1)$ luôn lớn hơn hoặc bằng 0 với mọi số thực $m$, nên phương trình luôn có nghiệm.

c) Để tìm các giá trị của $m$ sao cho phương trình có nghiệm $x_1, x_2$ thỏa mãn điều kiện $x_1^2 - x_2^2 = 12$, ta sử dụng tính chất của phương trình bậc hai:
$$ x_1 + x_2 = 2(m+1) $$
$$ x_1 x_2 = m+1 $$

Áp dụng hằng đẳng thức:
$$ x_1^2 - x_2^2 = (x_1 + x_2)(x_1 - x_2) $$

Thay vào điều kiện:
$$ (x_1 + x_2)(x_1 - x_2) = 12 $$
$$ 2(m+1)(x_1 - x_2) = 12 $$
$$ (m+1)(x_1 - x_2) = 6 $$

Biểu thức $(x_1 - x_2)$ có thể được viết lại thông qua biệt thức $\Delta$:
$$ x_1 - x_2 = \frac{\sqrt{\Delta}}{a} = \frac{\sqrt{4m(m+1)}}{1} = 2\sqrt{m(m+1)} $$

Do đó:
$$ (m+1) \cdot 2\sqrt{m(m+1)} = 6 $$
$$ (m+1)\sqrt{m(m+1)} = 3 $$

Bình phương cả hai vế:
$$ (m+1)^2 m(m+1) = 9 $$
$$ (m+1)^3 m = 9 $$

Giải phương trình này:
$$ m(m+1)^3 = 9 $$

Kiểm tra các giá trị $m$:
- Thử $m = 1$: 
$$ 1 \cdot (1+1)^3 = 1 \cdot 8 = 8 \neq 9 $$
- Thử $m = 2$:
$$ 2 \cdot (2+1)^3 = 2 \cdot 27 = 54 \neq 9 $$

Vì vậy, phương trình $m(m+1)^3 = 9$ không có nghiệm thực đơn giản. Do đó, không có giá trị nào của $m$ thỏa mãn điều kiện $x_1^2 - x_2^2 = 12$.

Đáp số:
a) Nghiệm của phương trình khi $m=1$ là $x_1 = 2 + \sqrt{2}$ và $x_2 = 2 - \sqrt{2}$.
b) Phương trình luôn có nghiệm với mọi số thực $m$.
c) Không có giá trị nào của $m$ thỏa mãn điều kiện $x_1^2 - x_2^2 = 12$.