Giải giúp mình

Câu 2. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm tâm và bán kính của hình cầu đi qua hai điểm A và B và tiếp xúc với mặt phẳng (P). 2. Xác định khoảng cách từ gốc tọa độ O đến điểm tiếp xúc C. 3. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của độ dài OC. 4. Tính giá trị \(m^2_1 + m^2_2\). Bước 1: Tìm tâm và bán kính của hình cầu Hình cầu đi qua hai điểm A và B và tiếp xúc với mặt phẳng (P). Ta gọi tâm của hình cầu là I(a, b, c) và bán kính là R. Phương trình của hình cầu là: \[ (x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2 \] Vì hình cầu đi qua điểm A(3, 5, -2) và B(-1, 3, 2), ta có: \[ (3 - a)^2 + (5 - b)^2 + (-2 - c)^2 = R^2 \] \[ (-1 - a)^2 + (3 - b)^2 + (2 - c)^2 = R^2 \] Vì hình cầu tiếp xúc với mặt phẳng (P): \(2x + y - 2z + 9 = 0\), khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P) bằng bán kính R: \[ \frac{|2a + b - 2c + 9|}{\sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2}} = R \] \[ \frac{|2a + b - 2c + 9|}{3} = R \] Bước 2: Xác định khoảng cách từ gốc tọa độ O đến điểm tiếp xúc C Điểm tiếp xúc C nằm trên mặt phẳng (P) và trên đường thẳng vuông góc hạ từ tâm I xuống mặt phẳng (P). Ta gọi C(x, y, z). Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến điểm tiếp xúc C là: \[ OC = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \] Bước 3: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của độ dài OC Ta cần tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của \(OC\) khi C thay đổi trên mặt phẳng (P). Bước 4: Tính giá trị \(m^2_1 + m^2_2\) Sau khi tìm được giá trị lớn nhất \(m_1\) và giá trị nhỏ nhất \(m_2\) của độ dài OC, ta tính: \[ m^2_1 + m^2_2 \] Kết luận Sau khi thực hiện các bước trên, ta sẽ có giá trị \(m^2_1 + m^2_2\). Vì bài toán yêu cầu cụ thể hóa từng bước, ta cần thực hiện các phép tính chi tiết để tìm được kết quả cuối cùng. Đáp số: \(m^2_1 + m^2_2 = ?\) Câu 3. Trước hết, chúng ta cần hiểu rằng mỗi bạn học sinh sẽ có một số nguyên được gán dựa trên vị trí ban đầu và vị trí mới sau khi chuyển chỗ. Số nguyên này được tính bằng công thức \((a_m + a_n) - (m + n)\). Ban đầu, bàn trống ở vị trí (1,1). Sau khi chuyển chỗ, bàn trống ở vị trí (2,5). Điều này có nghĩa là tất cả các bạn học sinh đã chuyển chỗ từ vị trí ban đầu đến vị trí mới, ngoại trừ bàn trống. Ta sẽ tính tổng của 35 số nguyên được gán cho 35 bạn học sinh. Ta có thể làm như sau: 1. Tổng của các số nguyên được gán cho các bạn học sinh sẽ là: \[ \sum_{i=1}^{35} ((a_i + a_j) - (m_i + n_i)) \] 2. Ta có thể tách tổng này thành hai phần: \[ \sum_{i=1}^{35} (a_i + a_j) - \sum_{i=1}^{35} (m_i + n_i) \] 3. Vì bàn trống ban đầu ở vị trí (1,1) và sau khi chuyển chỗ ở vị trí (2,5), nên tổng các hàng và cột của các bạn học sinh ban đầu sẽ là tổng các hàng và cột của tất cả các bàn trừ đi hàng và cột của bàn trống ban đầu: \[ \sum_{i=1}^{35} (m_i + n_i) = \sum_{i=1}^{36} (m_i + n_i) - (1 + 1) = \sum_{i=1}^{36} (m_i + n_i) - 2 \] 4. Tương tự, tổng các hàng và cột của các bạn học sinh sau khi chuyển chỗ sẽ là tổng các hàng và cột của tất cả các bàn trừ đi hàng và cột của bàn trống mới: \[ \sum_{i=1}^{35} (a_i + a_j) = \sum_{i=1}^{36} (a_i + a_j) - (2 + 5) = \sum_{i=1}^{36} (a_i + a_j) - 7 \] 5. Vì tổng các hàng và cột của tất cả các bàn không thay đổi khi chuyển chỗ, nên: \[ \sum_{i=1}^{36} (m_i + n_i) = \sum_{i=1}^{36} (a_i + a_j) \] 6. Thay vào công thức tổng của các số nguyên được gán: \[ \sum_{i=1}^{35} ((a_i + a_j) - (m_i + n_i)) = (\sum_{i=1}^{36} (a_i + a_j) - 7) - (\sum_{i=1}^{36} (m_i + n_i) - 2) = -7 + 2 = -5 \] Vậy tổng của 35 số nguyên được gán cho 35 bạn học sinh là \(-5\). Đáp số: \(-5\) Câu 4. Giảm giá 500 nghìn đồng tức là giảm 0,5 triệu đồng. Số điện thoại bán được tăng thêm 100 cái thì giá bán giảm đi 0,5 triệu đồng. Do đó, nếu bán x cái điện thoại thì giá bán mỗi cái là: \[ p(x) = 14 - 0,5 \times \left( \frac{x - 1000}{100} \right) = 14 - 0,005(x - 1000) = 19 - 0,005x \] Hàm doanh thu hàng tuần là: \[ R(x) = x \cdot p(x) = x(19 - 0,005x) = 19x - 0,005x^2 \] Hàm lợi nhuận hàng tuần là: \[ L(x) = R(x) - C(x) = (19x - 0,005x^2) - (12000 - 3x) = 22x - 0,005x^2 - 12000 \] Để tìm giá trị lớn nhất của hàm lợi nhuận, ta tính đạo hàm của \(L(x)\): \[ L'(x) = 22 - 0,01x \] Đặt \(L'(x) = 0\) để tìm điểm cực đại: \[ 22 - 0,01x = 0 \] \[ 0,01x = 22 \] \[ x = 2200 \] Kiểm tra đạo hàm thứ hai: \[ L''(x) = -0,01 < 0 \] Vậy \(x = 2200\) là điểm cực đại của hàm lợi nhuận. Giá bán mỗi cái điện thoại A khi số lượng bán được là 2200 cái là: \[ p(2200) = 19 - 0,005 \times 2200 = 19 - 11 = 8 \text{ (triệu đồng)} \] Đáp số: 8 triệu đồng. Câu 5. Để tính bình phương của độ dài đoạn thẳng AB, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm các điểm cực trị của hàm số. 2. Xác định tọa độ của các điểm cực trị A và B. 3. Tính bình phương của độ dài đoạn thẳng AB. Bước 1: Tìm các điểm cực trị của hàm số Hàm số đã cho là: \[ y = \frac{x^2 - 2x - 2}{x + 1} \] Đầu tiên, ta tìm đạo hàm của hàm số: \[ y' = \frac{(x^2 - 2x - 2)'(x + 1) - (x^2 - 2x - 2)(x + 1)'}{(x + 1)^2} \] \[ y' = \frac{(2x - 2)(x + 1) - (x^2 - 2x - 2)}{(x + 1)^2} \] \[ y' = \frac{2x^2 + 2x - 2x - 2 - x^2 + 2x + 2}{(x + 1)^2} \] \[ y' = \frac{x^2 + 2x}{(x + 1)^2} \] \[ y' = \frac{x(x + 2)}{(x + 1)^2} \] Để tìm các điểm cực trị, ta giải phương trình đạo hàm bằng 0: \[ y' = 0 \Rightarrow \frac{x(x + 2)}{(x + 1)^2} = 0 \] \[ x(x + 2) = 0 \] \[ x = 0 \text{ hoặc } x = -2 \] Bước 2: Xác định tọa độ của các điểm cực trị A và B - Khi \( x = 0 \): \[ y = \frac{0^2 - 2 \cdot 0 - 2}{0 + 1} = -2 \] Vậy điểm cực trị thứ nhất là \( A(0, -2) \). - Khi \( x = -2 \): \[ y = \frac{(-2)^2 - 2 \cdot (-2) - 2}{-2 + 1} = \frac{4 + 4 - 2}{-1} = -6 \] Vậy điểm cực trị thứ hai là \( B(-2, -6) \). Bước 3: Tính bình phương của độ dài đoạn thẳng AB Ta sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm trong mặt phẳng: \[ d(A, B) = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} \] Thay tọa độ của A và B vào: \[ d(A, B) = \sqrt{((-2) - 0)^2 + ((-6) - (-2))^2} \] \[ d(A, B) = \sqrt{(-2)^2 + (-4)^2} \] \[ d(A, B) = \sqrt{4 + 16} \] \[ d(A, B) = \sqrt{20} \] \[ d(A, B) = 2\sqrt{5} \] Bình phương của độ dài đoạn thẳng AB là: \[ d(A, B)^2 = (2\sqrt{5})^2 = 4 \times 5 = 20 \] Vậy bình phương của độ dài đoạn thẳng AB là 20. Câu 6. Để tính bình phương khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SAC), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm diện tích hình chóp S.ABCD: - Diện tích đáy ABCD: \[ S_{ABCD} = \frac{1}{2} \times AC \times BD \] Vì ABCD là hình thoi cạnh \(2\sqrt{5}\) và góc \(ABC = 60^\circ\), ta có: \[ AC = 2 \times 2\sqrt{5} \times \sin(60^\circ) = 2 \times 2\sqrt{5} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{15} \] \[ BD = 2 \times 2\sqrt{5} \times \cos(60^\circ) = 2 \times 2\sqrt{5} \times \frac{1}{2} = 2\sqrt{5} \] \[ S_{ABCD} = \frac{1}{2} \times 2\sqrt{15} \times 2\sqrt{5} = 10\sqrt{3} \] 2. Tính thể tích hình chóp S.ABCD: - Mặt bên SAB là tam giác đều cạnh \(2\sqrt{5}\), do đó chiều cao SO của tam giác đều SAB là: \[ SO = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 2\sqrt{5} = \sqrt{15} \] - Thể tích hình chóp S.ABCD: \[ V_{S.ABCD} = \frac{1}{3} \times S_{ABCD} \times SO = \frac{1}{3} \times 10\sqrt{3} \times \sqrt{15} = \frac{10\sqrt{45}}{3} = 10\sqrt{5} \] 3. Tính diện tích tam giác SAC: - Tam giác SAC có SA = SC = \(2\sqrt{5}\) và AC = \(2\sqrt{15}\). Ta sử dụng công thức Heron để tính diện tích: \[ p = \frac{SA + SC + AC}{2} = \frac{2\sqrt{5} + 2\sqrt{5} + 2\sqrt{15}}{2} = 2\sqrt{5} + \sqrt{15} \] \[ S_{SAC} = \sqrt{p(p-SA)(p-SC)(p-AC)} = \sqrt{(2\sqrt{5} + \sqrt{15})(2\sqrt{5} + \sqrt{15} - 2\sqrt{5})(2\sqrt{5} + \sqrt{15} - 2\sqrt{5})(2\sqrt{5} + \sqrt{15} - 2\sqrt{15})} \] \[ = \sqrt{(2\sqrt{5} + \sqrt{15}) \times \sqrt{15} \times \sqrt{15} \times (2\sqrt{5} - \sqrt{15})} \] \[ = \sqrt{(2\sqrt{5} + \sqrt{15})(2\sqrt{5} - \sqrt{15}) \times 15} = \sqrt{(20 - 15) \times 15} = \sqrt{5 \times 15} = 5\sqrt{3} \] 4. Tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SAC): - Thể tích hình chóp S.ABCD cũng có thể được tính qua tam giác SAC và khoảng cách từ H đến (SAC): \[ V_{S.ABCD} = \frac{1}{3} \times S_{SAC} \times d_H \] \[ 10\sqrt{5} = \frac{1}{3} \times 5\sqrt{3} \times d_H \] \[ d_H = \frac{30\sqrt{5}}{5\sqrt{3}} = 2\sqrt{15} \] 5. Bình phương khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SAC): \[ d_H^2 = (2\sqrt{15})^2 = 4 \times 15 = 60 \] Vậy bình phương khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SAC) là 60.