Hoi bai mn

Câu 8: Phương trình $\sin x = 1$ có nghiệm là các giá trị của $x$ sao cho $\sin x$ bằng 1. Ta biết rằng: - $\sin x = 1$ khi $x = \frac{\pi}{2} + k \cdot 2\pi$, với $k$ là số nguyên. Trong các đáp án đã cho, ta thấy: - $A.~x = \frac{\pi}{3}$: $\sin \left( \frac{\pi}{3} \right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \neq 1$ - $B.~x = \frac{\pi}{2}$: $\sin \left( \frac{\pi}{2} \right) = 1$ - $C.~x = -\frac{\pi}{2}$: $\sin \left( -\frac{\pi}{2} \right) = -1 \neq 1$ - $D.~x = \pi$: $\sin (\pi) = 0 \neq 1$ Như vậy, phương trình $\sin x = 1$ có một nghiệm là $x = \frac{\pi}{2}$. Đáp án đúng là: $\textcircled{B.}~x = \frac{\pi}{2}$. Câu 9: Để tìm phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm \( A(2;1;3) \) và song song với đường thẳng \( BC \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng \( BC \): - Tọa độ của điểm \( B \) là \( (1;0;1) \). - Tọa độ của điểm \( C \) là \( (-1;1;2) \). Vectơ \( \overrightarrow{BC} \) được tính như sau: \[ \overrightarrow{BC} = C - B = (-1 - 1; 1 - 0; 2 - 1) = (-2; 1; 1) \] 2. Viết phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm \( A \) và có vectơ chỉ phương \( \overrightarrow{BC} \): - Đường thẳng đi qua điểm \( A(2;1;3) \) và có vectơ chỉ phương \( \overrightarrow{BC} = (-2; 1; 1) \) sẽ có phương trình chính tắc là: \[ \frac{x - 2}{-2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 3}{1} \] 3. So sánh với các phương án đã cho: - Phương án \( A \): \( \frac{x + 2}{2} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z + 3}{1} \) (sai vì tọa độ điểm \( A \) không đúng). - Phương án \( B \): \( \frac{x - 2}{2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 1}{3} \) (sai vì vectơ chỉ phương không đúng). - Phương án \( C \): \( \frac{x - 2}{-2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 3}{1} \) (đúng). - Phương án \( D \): \( \left\{\begin{array}{l}x = 2 - 2t \\ y = 1 + t \\ z = 3 + t\end{array}\right. \) (đúng nhưng là phương trình tham số, không phải phương trình chính tắc). Vậy phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm \( A \) và song song với đường thẳng \( BC \) là: \[ \boxed{\frac{x - 2}{-2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 3}{1}} \] Câu 10: Để tính thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường \( y = \sqrt{e^x - x} \), \( y = 0 \), \( x = 1 \), và \( x = 2 \) xung quanh trục Ox, ta sử dụng công thức thể tích vật thể tròn xoay: \[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx \] Trong đó, \( f(x) = \sqrt{e^x - x} \), \( a = 1 \), và \( b = 2 \). Bước 1: Tính \( [f(x)]^2 \): \[ [f(x)]^2 = (\sqrt{e^x - x})^2 = e^x - x \] Bước 2: Tính tích phân: \[ V = \pi \int_{1}^{2} (e^x - x) \, dx \] Bước 3: Tính tích phân từng phần: \[ \int_{1}^{2} e^x \, dx = e^x \Big|_{1}^{2} = e^2 - e \] \[ \int_{1}^{2} x \, dx = \frac{x^2}{2} \Big|_{1}^{2} = \frac{2^2}{2} - \frac{1^2}{2} = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \] Bước 4: Kết hợp các kết quả: \[ V = \pi \left( (e^2 - e) - \frac{3}{2} \right) = \pi \left( e^2 - e - \frac{3}{2} \right) \] Vậy thể tích vật thể tròn xoay là: \[ V = \pi \left( e^2 - e - \frac{3}{2} \right) \] Đáp án đúng là: \( D.~\pi(e^2 - e - \frac{3}{2}) \) Câu 11: Để tìm giá trị của $\tan p$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: - Gọi $H$ là trung điểm của đoạn thẳng $BD$. - Đường thẳng $AC$ cắt mặt phẳng $(ABCD)$ tại điểm $H$. - Gọi $p$ là góc giữa đường thẳng $AC$ và mặt phẳng $(ABCD_1)$. 2. Tìm góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: - Ta biết rằng góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó lên mặt phẳng. - Hình chiếu của đường thẳng $AC$ lên mặt phẳng $(ABCD_1)$ là đường thẳng $AH$. 3. Tính góc $p$: - Góc $p$ là góc giữa đường thẳng $AC$ và đường thẳng $AH$. - Trong tam giác vuông $ACH$, ta có: \[ \tan p = \frac{CH}{AH} \] 4. Tính độ dài các đoạn thẳng: - Giả sử cạnh lập phương là $a$. - Độ dài đoạn thẳng $AC$ là: \[ AC = a\sqrt{2} \] - Độ dài đoạn thẳng $AH$ là: \[ AH = \frac{a\sqrt{2}}{2} \] - Độ dài đoạn thẳng $CH$ là: \[ CH = a \] 5. Tính $\tan p$: - Thay các giá trị vào công thức: \[ \tan p = \frac{CH}{AH} = \frac{a}{\frac{a\sqrt{2}}{2}} = \frac{a \cdot 2}{a\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \] Vậy giá trị của $\tan p$ là $\sqrt{2}$. Đáp án đúng là: $B.~\sqrt{2}$. Câu 12: Để tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{x-1}{x}$, ta thực hiện các bước sau: 1. Phân tích hàm số: Ta có: \[ f(x) = \frac{x-1}{x} = \frac{x}{x} - \frac{1}{x} = 1 - \frac{1}{x} \] 2. Tìm nguyên hàm từng phần: Nguyên hàm của $1$ là $x$. Nguyên hàm của $-\frac{1}{x}$ là $-\ln|x|$. 3. Viết tổng nguyên hàm: Do đó, nguyên hàm của $f(x)$ là: \[ \int f(x) \, dx = \int \left(1 - \frac{1}{x}\right) \, dx = x - \ln|x| + C \] Trong đó, $C$ là hằng số nguyên hàm. Vậy, đáp án đúng là: \[ \textcircled{A.}~x - \ln|x| + C \] Câu 1: Để tính giá trị của $\int^4_{-1} f'(x) dx$, ta sẽ sử dụng định lý Newton-Leibniz, theo đó: \[ \int^4_{-1} f'(x) dx = f(4) - f(-1) \] Trước tiên, ta cần biết giá trị của $f(4)$. Để tìm giá trị này, ta sẽ sử dụng thông tin về diện tích hình phẳng (A) và (B). Diện tích hình phẳng (A) từ $x = -1$ đến $x = 4$ là: \[ \text{(A)} = \int^4_{-1} f(x) dx = \frac{64}{3} \] Diện tích hình phẳng (B) từ $x = 4$ đến $x = 7$ là: \[ \text{(B)} = \int^7_4 f(x) dx = 63 \] Tổng diện tích từ $x = -1$ đến $x = 7$ là: \[ \int^7_{-1} f(x) dx = \int^4_{-1} f(x) dx + \int^7_4 f(x) dx = \frac{64}{3} + 63 = \frac{64}{3} + \frac{189}{3} = \frac{253}{3} \] Theo định lý Newton-Leibniz, ta có: \[ \int^7_{-1} f(x) dx = F(7) - F(-1) \] Trong đó, $F(x)$ là nguyên hàm của $f(x)$. Do đó: \[ F(7) - F(-1) = \frac{253}{3} \] Ta cũng biết rằng: \[ \int^4_{-1} f'(x) dx = f(4) - f(-1) \] Do đó, ta cần tìm giá trị của $f(4)$. Ta có: \[ \int^4_{-1} f(x) dx = F(4) - F(-1) = \frac{64}{3} \] Và: \[ \int^7_4 f(x) dx = F(7) - F(4) = 63 \] Từ đây, ta có: \[ F(7) - F(4) = 63 \] Cộng hai phương trình trên lại: \[ (F(7) - F(-1)) = \frac{253}{3} \] \[ (F(7) - F(4)) + (F(4) - F(-1)) = 63 + \frac{64}{3} = \frac{253}{3} \] Như vậy: \[ F(4) - F(-1) = \frac{64}{3} \] Do đó: \[ f(4) - f(-1) = \frac{64}{3} \] Biết rằng $f(-1) = -\frac{35}{3}$, ta có: \[ f(4) - \left(-\frac{35}{3}\right) = \frac{64}{3} \] \[ f(4) + \frac{35}{3} = \frac{64}{3} \] \[ f(4) = \frac{64}{3} - \frac{35}{3} = \frac{29}{3} \] Cuối cùng, ta tính: \[ \int^4_{-1} f'(x) dx = f(4) - f(-1) = \frac{29}{3} - \left(-\frac{35}{3}\right) = \frac{29}{3} + \frac{35}{3} = \frac{64}{3} \] Vậy giá trị của $\int^4_{-1} f'(x) dx$ là $\frac{253}{3}$. Đáp số: $\frac{253}{3}$