Giúp mình với!

Câu 1: Để xác định khoảng đồng biến của hàm số $y = f(x)$ dựa vào đồ thị, ta cần kiểm tra hướng của đồ thị từ trái sang phải. Nếu đồ thị tăng dần (từ dưới lên trên) thì hàm số đồng biến trên khoảng đó. Ta sẽ kiểm tra từng khoảng: - Trên khoảng $(0;1)$: Đồ thị giảm dần từ trái sang phải, do đó hàm số nghịch biến trên khoảng này. - Trên khoảng $(1;2)$: Đồ thị tăng dần từ trái sang phải, do đó hàm số đồng biến trên khoảng này. - Trên khoảng $(-1;0)$: Đồ thị giảm dần từ trái sang phải, do đó hàm số nghịch biến trên khoảng này. - Trên khoảng $(-1;1)$: Đồ thị giảm dần từ trái sang phải, do đó hàm số nghịch biến trên khoảng này. Từ các phân tích trên, ta thấy rằng hàm số đồng biến trên khoảng $(1;2)$. Vậy đáp án đúng là: $B.~(1;2).$ Câu 2: Để xác định đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số, ta cần xem xét giới hạn của hàm số khi \( x \) tiến đến vô cùng (\( x \to +\infty \)) và khi \( x \) tiến đến âm vô cùng (\( x \to -\infty \)). Trên đồ thị, ta thấy rằng khi \( x \) tiến đến dương vô cùng (\( x \to +\infty \)), giá trị của hàm số \( y = f(x) \) tiến gần đến giá trị 2. Tương tự, khi \( x \) tiến đến âm vô cùng (\( x \to -\infty \)), giá trị của hàm số \( y = f(x) \) cũng tiến gần đến giá trị 2. Do đó, đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là \( y = 2 \). Vậy đáp án đúng là: \[ C.~y=2. \] Câu 3: Muốn tìm họ nguyên hàm của hàm số \( f(x) = \sin x \), ta cần tìm tất cả các hàm số \( F(x) \) sao cho đạo hàm của chúng bằng \( \sin x \). Ta biết rằng đạo hàm của \( -\cos x \) là: \[ \frac{d}{dx}(-\cos x) = \sin x \] Do đó, một nguyên hàm của \( \sin x \) là \( -\cos x \). Vì vậy, họ nguyên hàm của \( \sin x \) sẽ là: \[ F(x) = -\cos x + C \] trong đó \( C \) là hằng số tùy ý. Vậy đáp án đúng là: \[ A.~-\cos x + C \] Câu 4: Phương trình mặt phẳng $(P)$ được cho là $2x - y + z + 3 = 0$. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ có dạng $(a, b, c)$, trong đó $a$, $b$, và $c$ là các hệ số của $x$, $y$, và $z$ tương ứng trong phương trình mặt phẳng. Do đó, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là $\overrightarrow{n} = (2, -1, 1)$. So sánh với các lựa chọn đã cho: - $A.~\overrightarrow{n_1} = (2, -1, 1)$ - $B.~\overrightarrow{n_2} = (2, 1, 1)$ - $C.~\overrightarrow{n_3} = (2, -1, 3)$ - $D.~\overrightarrow{n_4} = (-1, 1, 3)$ Ta thấy rằng $\overrightarrow{n_1} = (2, -1, 1)$ chính là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$. Vậy đáp án đúng là: $A.~\overrightarrow{n_1} = (2, -1, 1)$. Câu 5: Phương trình tham số của đường thẳng trong không gian tọa độ Oxyz có dạng: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \\ z = z_0 + ct \end{array} \right. \] trong đó \( (x_0, y_0, z_0) \) là tọa độ một điểm trên đường thẳng và \( (a, b, c) \) là các số thực đại diện cho các thành phần của vectơ chỉ phương của đường thẳng. Ta sẽ kiểm tra từng phương án để xác định phương trình nào đúng theo dạng này: A. \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 2 + t^2 \\ y = 3 - t \\ z = 4 + t \end{array} \right. \] - Phương án này không đúng vì \( x = 2 + t^2 \) có dạng bậc hai, không phải dạng tuyến tính \( x = x_0 + at \). B. \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 2 + y \\ y = 3 - t^2 \\ z = -4 + 2t \end{array} \right. \] - Phương án này không đúng vì \( y = 3 - t^2 \) có dạng bậc hai, không phải dạng tuyến tính \( y = y_0 + bt \). C. \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 2 + t \\ y = 3 - t \\ z = t^2 \end{array} \right. \] - Phương án này không đúng vì \( z = t^2 \) có dạng bậc hai, không phải dạng tuyến tính \( z = z_0 + ct \). D. \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 2 + 3t \\ y = 4 + 5t \\ z = 5 + 6t \end{array} \right. \] - Phương án này đúng vì tất cả các phương trình đều có dạng tuyến tính \( x = x_0 + at \), \( y = y_0 + bt \), \( z = z_0 + ct \). Vậy phương trình tham số của đường thẳng là: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 2 + 3t \\ y = 4 + 5t \\ z = 5 + 6t \end{array} \right. \] Đáp án đúng là D. Câu 6: Phương pháp giải: - Xác định tâm và bán kính của mặt cầu từ phương trình đã cho. - So sánh với các đáp án để chọn lựa. Bước 1: Xác định tâm và bán kính của mặt cầu. Phương trình mặt cầu cho là: \[ (S):~(x-6)^2+(y+7)^2+(z-8)^2=9^2 \] Từ phương trình này, ta nhận thấy rằng: - Tâm của mặt cầu là \( I(6, -7, 8) \). - Bán kính của mặt cầu là \( R = 9 \). Bước 2: So sánh với các đáp án. - Đáp án A: \( (6, -7, 8) \) - Đáp án B: \( (-6, 7, 8) \) - Đáp án C: \( (6, 7, -8) \) - Đáp án D: \( (6, 7, 8) \) Tâm của mặt cầu là \( (6, -7, 8) \), do đó đáp án đúng là: \[ A.~(6, -7, 8) \] Đáp số: \( A.~(6, -7, 8) \) Câu 7: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng công thức xác suất tổng hợp. Công thức xác suất tổng hợp cho biết xác suất của biến cố A có thể được tính dựa trên xác suất của các biến cố con và điều kiện liên quan đến chúng. Công thức xác suất tổng hợp là: \[ P(A) = P(B) \cdot P(A|B) + P(\overline{B}) \cdot P(A|\overline{B}) \] Trong đó: - \( P(A|B) \) là xác suất của biến cố A xảy ra khi biết rằng biến cố B đã xảy ra. - \( P(A|\overline{B}) \) là xác suất của biến cố A xảy ra khi biết rằng biến cố B không xảy ra. - \( P(B) \) là xác suất của biến cố B. - \( P(\overline{B}) \) là xác suất của biến cố B không xảy ra, tức là \( P(\overline{B}) = 1 - P(B) \). Do đó, phát biểu đúng là: \[ D.~P(A) = P(B) \cdot P(A|B) + P(\overline{B}) \cdot P(A|\overline{B}). \] Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{D} \]