Hoi bai mn

Câu 2: Trước tiên, ta xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SO trong hình chóp S.ABCD. 1. Xác định các thông số cơ bản: - Đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh 1cm. - Cạnh bên SA vuông góc với đáy. - Góc $\widehat{SBD} = 60^\circ$. 2. Tính chiều cao SA: - Vì SA vuông góc với đáy, ta có tam giác SAB vuông tại A. - Ta biết rằng BD là đường chéo của hình vuông ABCD, do đó BD = $\sqrt{2}$ cm. - Trong tam giác SBD, ta có: \[ \tan(60^\circ) = \frac{SA}{\frac{BD}{2}} = \frac{SA}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \sqrt{3} \] \[ SA = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{2} = \frac{\sqrt{6}}{2} \text{ cm} \] 3. Tìm khoảng cách giữa AB và SO: - Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SO là khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng AB. - Vì O là tâm của hình vuông ABCD, O nằm chính giữa đoạn thẳng AC và BD, do đó khoảng cách từ O đến AB là nửa cạnh của hình vuông: \[ d(O, AB) = \frac{1}{2} \text{ cm} \] 4. Kết luận: - Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SO là $\frac{1}{2}$ cm. Do đó, khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SO là 0.50 cm. Câu 3: Giá bán x tấn sản phẩm là: \[ P(x) \times x = (45 - 0,001x^2) \times x = 45x - 0,001x^3 \text{ (triệu đồng)} \] Chi phí để sản xuất x tấn sản phẩm là: \[ 100 + 30x \text{ (triệu đồng)} \] Lợi nhuận khi bán x tấn sản phẩm là: \[ R(x) = (45x - 0,001x^3) - (100 + 30x) = 15x - 0,001x^3 - 100 \text{ (triệu đồng)} \] Để tìm giá trị x sao cho lợi nhuận lớn nhất, ta tính đạo hàm của R(x): \[ R'(x) = 15 - 0,003x^2 \] Đặt R'(x) = 0 để tìm điểm cực đại: \[ 15 - 0,003x^2 = 0 \] \[ 0,003x^2 = 15 \] \[ x^2 = \frac{15}{0,003} = 5000 \] \[ x = \sqrt{5000} \approx 70,7 \] Kiểm tra điều kiện xác định: \( 0 < x \leq 100 \) Do đó, x = 70,7 nằm trong khoảng xác định. Để kiểm tra x = 70,7 là điểm cực đại, ta tính đạo hàm thứ hai: \[ R''(x) = -0,006x \] Tại x = 70,7: \[ R''(70,7) = -0,006 \times 70,7 < 0 \] Vậy x = 70,7 là điểm cực đại, tức là lợi nhuận lớn nhất. Kết luận: Nhà máy A cần bán cho nhà máy B khoảng 70,7 tấn sản phẩm mỗi tháng để lợi nhuận thu được lớn nhất. Câu 4: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tính diện tích hình tròn: - Bán kính của hình tròn là \( r \). - Diện tích hình tròn là \( S_{\text{tròn}} = \pi r^2 \). 2. Tính diện tích hình vuông: - Cạnh của hình vuông là 4 m. - Diện tích hình vuông là \( S_{\text{vuông}} = 4 \times 4 = 16 \, m^2 \). 3. Tính diện tích phần còn lại của hình tròn: - Diện tích phần còn lại của hình tròn là \( S_{\text{còn lại}} = S_{\text{tròn}} - S_{\text{vuông}} \). 4. Tính diện tích phần dùng để trồng hoa và trồng cỏ: - Diện tích phần dùng để trồng hoa là \( S_{\text{hoa}} = \frac{1}{2} S_{\text{còn lại}} \). - Diện tích phần dùng để trồng cỏ là \( S_{\text{cỏ}} = \frac{1}{2} S_{\text{còn lại}} \). 5. Tính chi phí trồng hoa và trồng cỏ: - Chi phí trồng hoa là \( C_{\text{hoa}} = S_{\text{hoa}} \times 150,000 \, \text{đồng/m}^2 \). - Chi phí trồng cỏ là \( C_{\text{cỏ}} = S_{\text{cỏ}} \times 100,000 \, \text{đồng/m}^2 \). 6. Tổng chi phí: - Tổng chi phí là \( C_{\text{tổng}} = C_{\text{hoa}} + C_{\text{cỏ}} \). Bây giờ, chúng ta sẽ thực hiện các bước trên: 1. Tính diện tích hình tròn: - Bán kính \( r \) chưa biết, nhưng diện tích hình tròn là \( S_{\text{tròn}} = \pi r^2 \). 2. Tính diện tích hình vuông: - Diện tích hình vuông là \( S_{\text{vuông}} = 16 \, m^2 \). 3. Tính diện tích phần còn lại của hình tròn: - Diện tích phần còn lại của hình tròn là \( S_{\text{còn lại}} = \pi r^2 - 16 \). 4. Tính diện tích phần dùng để trồng hoa và trồng cỏ: - Diện tích phần dùng để trồng hoa là \( S_{\text{hoa}} = \frac{1}{2} (\pi r^2 - 16) \). - Diện tích phần dùng để trồng cỏ là \( S_{\text{cỏ}} = \frac{1}{2} (\pi r^2 - 16) \). 5. Tính chi phí trồng hoa và trồng cỏ: - Chi phí trồng hoa là \( C_{\text{hoa}} = \frac{1}{2} (\pi r^2 - 16) \times 150,000 \). - Chi phí trồng cỏ là \( C_{\text{cỏ}} = \frac{1}{2} (\pi r^2 - 16) \times 100,000 \). 6. Tổng chi phí: - Tổng chi phí là \( C_{\text{tổng}} = \frac{1}{2} (\pi r^2 - 16) \times 150,000 + \frac{1}{2} (\pi r^2 - 16) \times 100,000 \). Chúng ta cần biết bán kính \( r \) để tính toán chính xác. Giả sử bán kính \( r = 4 \, m \): - Diện tích hình tròn là \( S_{\text{tròn}} = \pi \times 4^2 = 16\pi \, m^2 \). - Diện tích phần còn lại của hình tròn là \( S_{\text{còn lại}} = 16\pi - 16 \, m^2 \). - Diện tích phần dùng để trồng hoa là \( S_{\text{hoa}} = \frac{1}{2} (16\pi - 16) \, m^2 \). - Diện tích phần dùng để trồng cỏ là \( S_{\text{cỏ}} = \frac{1}{2} (16\pi - 16) \, m^2 \). Chi phí trồng hoa: \[ C_{\text{hoa}} = \frac{1}{2} (16\pi - 16) \times 150,000 = 8(4\pi - 4) \times 150,000 = 1200,000(4\pi - 4) \] Chi phí trồng cỏ: \[ C_{\text{cỏ}} = \frac{1}{2} (16\pi - 16) \times 100,000 = 8(4\pi - 4) \times 100,000 = 800,000(4\pi - 4) \] Tổng chi phí: \[ C_{\text{tổng}} = 1200,000(4\pi - 4) + 800,000(4\pi - 4) = 2000,000(4\pi - 4) \] Kết quả cuối cùng: \[ C_{\text{tổng}} = 2000,000(4\pi - 4) \approx 2000,000 \times 8.566 = 17,132,000 \, \text{đồng} \] Do đó, nhà trường cần khoảng 17,13 triệu đồng để trồng bồn hoa đó. Câu 5: Để tính giá trị nhỏ nhất của \(MA + MB\) với điểm \(M(x; y; z)\) thuộc bề mặt Trái Đất, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định tọa độ của điểm M trên bề mặt Trái Đất: - Bề mặt Trái Đất là một hình cầu có tâm ở gốc tọa độ \(O(0, 0, 0)\) và bán kính \(R = 6\) (nghìn km). - Do đó, tọa độ của điểm \(M(x, y, z)\) phải thỏa mãn phương trình: \[ x^2 + y^2 + z^2 = 6^2 = 36 \] 2. Tính khoảng cách từ điểm M đến các vệ tinh A và B: - Khoảng cách từ \(M(x, y, z)\) đến \(A(26, 0, 0)\): \[ MA = \sqrt{(x - 26)^2 + y^2 + z^2} \] - Khoảng cách từ \(M(x, y, z)\) đến \(B(0, 26, 0)\): \[ MB = \sqrt{x^2 + (y - 26)^2 + z^2} \] 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của \(MA + MB\): - Ta cần tối thiểu hóa tổng \(MA + MB\). Để làm điều này, ta sử dụng phương pháp biến đổi và tính toán. - Gọi \(d_1 = MA\) và \(d_2 = MB\). Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của \(d_1 + d_2\). 4. Áp dụng bất đẳng thức tam giác: - Theo bất đẳng thức tam giác, ta có: \[ d_1 + d_2 \geq AB \] - Khoảng cách giữa hai vệ tinh \(A\) và \(B\): \[ AB = \sqrt{(26 - 0)^2 + (0 - 26)^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{26^2 + 26^2} = \sqrt{2 \times 26^2} = 26\sqrt{2} \] - Do đó: \[ d_1 + d_2 \geq 26\sqrt{2} \] 5. Kiểm tra điều kiện để đạt giá trị nhỏ nhất: - Để \(d_1 + d_2\) đạt giá trị nhỏ nhất, điểm \(M\) phải nằm trên đường thẳng nối \(A\) và \(B\), và nằm trên bề mặt Trái Đất. - Điểm \(M\) nằm trên đường thẳng nối \(A\) và \(B\) và thỏa mãn phương trình của bề mặt Trái Đất. 6. Tính toán cụ thể: - Ta có \(AB = 26\sqrt{2}\). - Giá trị nhỏ nhất của \(MA + MB\) là \(26\sqrt{2}\). 7. Làm tròn kết quả: - \(26\sqrt{2} \approx 26 \times 1.414 = 36.764\) - Làm tròn đến hàng đơn vị: \(37\) Vậy giá trị nhỏ nhất của \(MA + MB\) là \(\boxed{37}\) (nghìn km). Câu 6: Số tiền anh Bình gửi tiết kiệm mỗi tháng là 1 triệu đồng với lãi suất 8% năm, tức là 8% : 12 = 0,67% tháng. Sau mỗi tháng, số tiền trong tài khoản của anh Bình sẽ tăng lên theo công thức lãi kép: \[ A = P \left(1 + \frac{r}{100}\right)^t \] Trong đó: - \( A \) là số tiền cuối kỳ, - \( P \) là số tiền ban đầu, - \( r \) là lãi suất %, - \( t \) là thời gian (tháng). Vì anh Bình gửi mỗi tháng 1 triệu đồng, ta cần tính tổng số tiền sau \( n \) tháng. Số tiền sau \( n \) tháng sẽ là: \[ A_n = 1 \times \left(1 + \frac{0,67}{100}\right)^n + 1 \times \left(1 + \frac{0,67}{100}\right)^{n-1} + ... + 1 \times \left(1 + \frac{0,67}{100}\right) + 1 \] Công thức trên là tổng của dãy số hình học với số hạng đầu tiên \( a = 1 \) và tỉ số công bội \( q = 1 + \frac{0,67}{100} = 1,0067 \). Tổng của dãy số hình học \( S_n \) là: \[ S_n = a \frac{q^n - 1}{q - 1} \] Áp dụng vào bài toán: \[ A_n = 1 \times \frac{(1,0067)^n - 1}{1,0067 - 1} \] \[ A_n = \frac{(1,0067)^n - 1}{0,0067} \] Ta cần tìm \( n \) sao cho \( A_n \geq 21 \): \[ \frac{(1,0067)^n - 1}{0,0067} \geq 21 \] \[ (1,0067)^n - 1 \geq 21 \times 0,0067 \] \[ (1,0067)^n - 1 \geq 0,1407 \] \[ (1,0067)^n \geq 1,1407 \] Lấy logarit cả hai vế: \[ n \log(1,0067) \geq \log(1,1407) \] \[ n \geq \frac{\log(1,1407)}{\log(1,0067)} \] Tính giá trị: \[ \log(1,1407) \approx 0,0569 \] \[ \log(1,0067) \approx 0,0029 \] \[ n \geq \frac{0,0569}{0,0029} \approx 19,62 \] Vậy, sau khoảng 20 tháng, anh Bình sẽ có đủ 21 triệu đồng để mua xe máy. Đáp số: 20 tháng.