Cho đường tròn (O), tam giác ABC nội tiếp đường tròn đó.
D là trung điểm cung BC (không chứa A).
AD cắt BC tại E.
Trên tia đối của AD lấy điểm F sao cho ∠CBF = ∠CAF.

Chứng minh: F thuộc đường tròn (O).

Question

Cho đường tròn (O), tam giác ABC nội tiếp đường tròn đó.
D là trung điểm cung BC (không chứa A).
AD cắt BC tại E.
Trên tia đối của AD lấy điểm F sao cho ∠CBF = ∠CAF.

Chứng minh: F thuộc đường tròn (O).

ft. Hoàng · Accepted Answer

{"userId":5296830,"userName":"plll"}

D là trung điểm cung BC ⇒ AD là phân giác ∠BAC ⇒ ∠BAD = ∠CAD.

Mà ∠CAF = ∠CAD (do F nằm trên tia đối AD) ⇒ ∠CAF = ∠BAD.

Theo giả thiết: ∠CBF = ∠CAF.

Kết hợp với kết quả trên: ∠CBF = ∠BAD.

Ta có: ∠CBF = ∠CAF (chứng minh trên).

⇒ Tứ giác ABFC có hai đỉnh kề F và B cùng nhìn cạnh AC dưới góc bằng nhau.

⇒ ABFC là tứ giác nội tiếp.

Vì tứ giác ABFC nội tiếp và ba điểm A, B, C ∈ (O).

⇒ Điểm F cũng thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, tức F ∈ (O).

Timi · Answer

Để chứng minh F thuộc đường tròn (O), ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác nội tiếp và góc nội tiếp.

1. Xác định các góc liên quan:
   - Vì D là trung điểm cung BC (không chứa A), nên góc BAD = góc CAD.
   - Ta có ∠CBF = ∠CAF (theo đề bài).

2. Tính chất góc nội tiếp:
   - Góc nội tiếp chắn cùng một cung thì bằng nhau. Do đó, ∠BAD = ∠CAD = ∠BFD (vì D là trung điểm cung BC).

3. Chứng minh F thuộc đường tròn (O):
   - Ta cần chứng minh rằng F nằm trên đường tròn (O). Để làm điều này, ta sẽ chứng minh rằng ∠BAF + ∠BCF = 180° (tổng của hai góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

4. Tính góc BAF và BCF:
   - ∠BAF = ∠BAD (vì F nằm trên tia đối của AD).
   - ∠BCF = ∠BCA + ∠ACF.
   - ∠BCA = ∠BDA (góc nội tiếp chắn cùng một cung).
   - ∠ACF = ∠ABF (góc nội tiếp chắn cùng một cung).

5. Tổng các góc:
   - ∠BAF + ∠BCF = ∠BAD + (∠BDA + ∠ABF).
   - ∠BAD + ∠BDA + ∠ABF = 180° (vì tổng các góc trong tam giác ABD bằng 180°).

Do đó, ∠BAF + ∠BCF = 180°, chứng tỏ F thuộc đường tròn (O).

Kết luận: F thuộc đường tròn (O).

Cho đường tròn (O), tam giác ABC nội tiếp đường tròn đó. D là trung điểm cung BC (không chứa A). AD cắt BC tại E. Trên tia đối của AD lấy điểm F sao cho ∠CBF = ∠CAF. Chứng minh: F thuộc đường tròn (O...