Câu 15: Một xe xuất phát tại A và một xe xuất phát tại B chuyển động thẳng đều cùng hướng theo hướng từ A đến B. Nếu hai xe xuất phát cùng lúc thì hai xe gặp nhau tại điểm C sau 3 giờ chuyển động, nếu...

Cho đề bài: - Hai xe xuất phát tại A và B cùng hướng từ A đến B. - Nếu xuất phát cùng lúc thì gặp nhau tại C sau 3 giờ. - Nếu xe tại A xuất phát chậm 10 phút (1/6 giờ) thì gặp nhau tại D. - AB = 30 km, CD = 20 km. --- **Gọi:** - Vận tốc xe tại A là \( v_A \) (km/h). - Vận tốc xe tại B là \( v_B \) (km/h). --- ### a) Tìm vận tốc của mỗi xe 1. **Xuất phát cùng lúc, gặp nhau tại C sau 3 giờ** - Xe A đi từ A đến C: quãng đường AC = \( v_A \times 3 \) - Xe B đi từ B đến C ngược chiều (nhưng cùng hướng), vì cả hai đi cùng hướng nên xe B xuất phát từ B đến C, khoảng cách CB = \( v_B \times 3 \) - Vì A và B cách nhau 30 km, nên: \[ AC + CB = AB = 30 \Rightarrow 3v_A + 3v_B = 30 \Rightarrow v_A + v_B = 10 \quad (1) \] 2. **Xe A xuất phát chậm hơn 10 phút (1/6 giờ), gặp nhau tại D** - Thời gian chuyển động của xe A lúc này là \( t_A = t_D - \frac{1}{6} \) - Thời gian chuyển động của xe B vẫn là \( t_D \) (vì xe B xuất phát đúng giờ) - Gọi \( t_D \) là thời gian mà xe B đi từ B đến D. - Quãng đường AD = \( v_A (t_D - \frac{1}{6}) \) - Quãng đường BD = \( v_B t_D \) - Vì AD + BD = AB = 30 km, nên: \[ v_A \left(t_D - \frac{1}{6}\right) + v_B t_D = 30 \quad (2) \] - Khoảng cách giữa điểm C và D là 20 km, và theo hướng từ A đến B: \[ CD = 20 \] - Vì hai điểm C và D cùng nằm trên đoạn AB, xét vị trí của C và D: Xe gặp nhau tại C lúc 3 giờ, tức: - Khoảng cách AC = \( 3 v_A \) - Khoảng cách AD = \( v_A \left(t_D - \frac{1}{6}\right) \) Vì C và D cùng trên đoạn AB và CD = 20, ta có thể xác định vị trí điểm D so với C. Hai trường hợp: - D nằm sau C (tức \( AD > AC \)) hoặc - D nằm trước C (\( AD < AC \)). Giả sử D nằm sau C, tức \( AD = AC + 20 \): \[ v_A \left(t_D - \frac{1}{6}\right) = 3 v_A + 20 \] Chia cả hai vế cho \( v_A \) (không bằng 0): \[ t_D - \frac{1}{6} = 3 + \frac{20}{v_A} \Rightarrow t_D = 3 + \frac{20}{v_A} + \frac{1}{6} = 3 + \frac{1}{6} + \frac{20}{v_A} = \frac{19}{6} + \frac{20}{v_A} \quad (3) \] Thay (3) vào (2): \[ v_A \left( \frac{19}{6} + \frac{20}{v_A} - \frac{1}{6} \right) + v_B \left( \frac{19}{6} + \frac{20}{v_A} \right) = 30 \] Rút gọn biểu thức bên trong dấu ngoặc: \[ \frac{19}{6} - \frac{1}{6} = \frac{18}{6} = 3 \] Vậy: \[ v_A \left(3 + \frac{20}{v_A}\right) + v_B \left( \frac{19}{6} + \frac{20}{v_A} \right) = 30 \] Mở ngoặc: \[ v_A \times 3 + v_A \times \frac{20}{v_A} + v_B \times \frac{19}{6} + v_B \times \frac{20}{v_A} = 30 \] Rút gọn: \[ 3 v_A + 20 + \frac{19}{6} v_B + \frac{20}{v_A} v_B = 30 \] Suy ra: \[ 3 v_A + \frac{19}{6} v_B + \frac{20}{v_A} v_B = 10 \quad (4) \] Nhớ lại từ (1): \[ v_A + v_B = 10 \Rightarrow v_B = 10 - v_A \] Thay vào (4): \[ 3 v_A + \frac{19}{6}(10 - v_A) + \frac{20}{v_A} (10 - v_A) = 10 \] Mở rộng: \[ 3 v_A + \frac{190}{6} - \frac{19}{6} v_A + \frac{200}{v_A} - 20 = 10 \] Rút gọn các số: \[ 3 v_A - \frac{19}{6} v_A + \frac{190}{6} - 20 + \frac{200}{v_A} = 10 \] Tính \( \frac{190}{6} - 20 \): \[ \frac{190}{6} - 20 = \frac{190}{6} - \frac{120}{6} = \frac{70}{6} = \frac{35}{3} \] Vậy: \[ 3 v_A - \frac{19}{6} v_A + \frac{35}{3} + \frac{200}{v_A} = 10 \] Tính phần \( 3 v_A - \frac{19}{6} v_A \): \[ 3 = \frac{18}{6} \Rightarrow \frac{18}{6} v_A - \frac{19}{6} v_A = - \frac{1}{6} v_A \] Thay lại: \[ - \frac{1}{6} v_A + \frac{35}{3} + \frac{200}{v_A} = 10 \] Chuyển số hạng: \[ - \frac{1}{6} v_A + \frac{200}{v_A} = 10 - \frac{35}{3} = \frac{30}{3} - \frac{35}{3} = -\frac{5}{3} \] Nhân hai vế với \( 6 v_A \) để khử mẫu: \[ 6 v_A \times \left(- \frac{1}{6} v_A + \frac{200}{v_A}\right) = 6 v_A \times \left(- \frac{5}{3}\right) \] Tính vế trái: \[ 6 v_A \times \left(- \frac{1}{6} v_A \right) + 6 v_A \times \frac{200}{v_A} = -v_A^2 + 1200 \] Tính vế phải: \[ 6 v_A \times \left(- \frac{5}{3} \right) = -10 v_A \] Phương trình: \[ - v_A^2 + 1200 = -10 v_A \] Chuyển sang dạng chuẩn: \[ - v_A^2 + 10 v_A + 1200 = 0 \] Nhân cả hai vế với -1: \[ v_A^2 - 10 v_A - 1200 = 0 \] Giải phương trình bậc hai: \[ \Delta = (-10)^2 - 4 \times 1 \times (-1200) = 100 + 4800 = 4900 \] \[ \sqrt{\Delta} = 70 \] Nghiệm: \[ v_A = \frac{10 \pm 70}{2} \] Hai nghiệm: - \( v_A = \frac{10 + 70}{2} = \frac{80}{2} = 40 \) km/h - \( v_A = \frac{10 - 70}{2} = \frac{-60}{2} = -30 \) km/h (loại vì vận tốc không âm) Vậy \( v_A = 40 \) km/h. Từ (1): \[ v_B = 10 - v_A = 10 - 40 = -30 \text{ km/h} \] Không hợp lý (vận tốc xe B âm). Điều này cho thấy giả thiết D nằm sau C không hợp lệ. --- 3. **Giả sử điểm D nằm trước C: \( AD = AC - 20 \)** Tương tự: \[ v_A \left( t_D - \frac{1}{6} \right) = 3 v_A - 20 \] Chia cho \( v_A \): \[ t_D - \frac{1}{6} = 3 - \frac{20}{v_A} \Rightarrow t_D = 3 - \frac{20}{v_A} + \frac{1}{6} = \frac{19}{6} - \frac{20}{v_A} \quad (5) \] Thay (5) vào (2): \[ v_A \left( \frac{19}{6} - \frac{20}{v_A} - \frac{1}{6} \right) + v_B \left( \frac{19}{6} - \frac{20}{v_A} \right) = 30 \] Rút gọn trong dấu ngoặc: \[ \frac{19}{6} - \frac{1}{6} = 3 \] Nên: \[ v_A \left( 3 - \frac{20}{v_A} \right) + v_B \left( \frac{19}{6} - \frac{20}{v_A} \right) = 30 \] Mở ngoặc: \[ 3 v_A - 20 + \frac{19}{6} v_B - \frac{20}{v_A} v_B = 30 \] Chuyển số hạng: \[ 3 v_A + \frac{19}{6} v_B - \frac{20}{v_A} v_B = 50 \quad (6) \] Thay \( v_B = 10 - v_A \) vào (6): \[ 3 v_A + \frac{19}{6}(10 - v_A) - \frac{20}{v_A}(10 - v_A) = 50 \] Mở rộng: \[ 3 v_A + \frac{190}{6} - \frac{19}{6} v_A - \frac{200}{v_A} + 20 = 50 \] Nhóm các số: \[ 3 v_A - \frac{19}{6} v_A + \frac{190}{6} + 20 - \frac{200}{v_A} = 50 \] Tính \( \frac{190}{6} + 20 = \frac{190}{6} + \frac{120}{6} = \frac{310}{6} = \frac{155}{3} \): \[ 3 v_A - \frac{19}{6} v_A + \frac{155}{3} - \frac{200}{v_A} = 50 \] Tính phần vận tốc: \[ 3 = \frac{18}{6} \Rightarrow 3 v_A - \frac{19}{6} v_A = - \frac{1}{6} v_A \] Thay lại: \[ - \frac{1}{6} v_A + \frac{155}{3} - \frac{200}{v_A} = 50 \] Chuyển vế: \[ - \frac{1}{6} v_A - \frac{200}{v_A} = 50 - \frac{155}{3} = \frac{150}{3} - \frac{155}{3} = -\frac{5}{3} \] Nhân cả hai vế với \( 6 v_A \): \[ 6 v_A \times \left( - \frac{1}{6} v_A - \frac{200}{v_A} \right) = 6 v_A \times \left( - \frac{5}{3} \right) \] Vế trái: \[ 6 v_A \times \left( - \frac{1}{6} v_A \right) + 6 v_A \times \left( - \frac{200}{v_A} \right) = -v_A^2 - 1200 \] Vế phải: \[ 6 v_A \times \left( - \frac{5}{3} \right) = -10 v_A \] Phương trình: \[ - v_A^2 - 1200 = -10 v_A \] Chuyển về dạng chuẩn: \[ - v_A^2 + 10 v_A - 1200 = 0 \] Nhân cả hai vế với -1: \[ v_A^2 - 10 v_A + 1200 = 0 \] Tính delta: \[ \Delta = (-10)^2 - 4 \times 1 \times 1200 = 100 - 4800 = -4700 < 0 \] Phương trình vô nghiệm thực. --- Kết luận: Không có nghiệm hợp lý với giả thiết D nằm trước C hay sau C. --- ### Giải pháp khác: Xét lại hướng chuyển động: Vì hai xe chuyển động cùng hướng từ A đến B, xe tại A đi từ A đến B, xe tại B đi từ B đến A (theo đề thì cùng hướng từ A đến B, nhưng xe ở B đứng ở cuối đoạn AB thì chuyển động cùng hướng từ A đến B không hợp lý). Giả sử xe tại B chuyển động từ B về A (nghịch chiều). Lúc này, nếu hai xe xuất phát cùng lúc, gặp nhau tại C sau 3 giờ. Lúc này: - Quãng đường AC = \( v_A \times 3 \) - Quãng đường BC = \( v_B \times 3 \) Do xe B chạy ngược chiều, tổng khoảng cách AC + BC = AB = 30 km: \[ 3 v_A + 3 v_B = 30 \Rightarrow v_A + v_B = 10 \quad (1) \] Khi xe A xuất phát muộn 10 phút: - Thời gian xe A chuyển động: \( t - \frac{1}{6} \) - Thời gian xe B chuyển động: \( t \) - Khoảng cách từ A đến D là \( v_A (t - \frac{1}{6}) \) - Khoảng cách từ B đến D là \( v_B t \) Vì xe B chạy ngược chiều, quãng đường \( AD + BD = 30 \) (do D nằm giữa A và B): \[ v_A (t - \frac{1}{6}) + v_B t = 30 \quad (2) \] Điểm C và D cách nhau 20 km trên đoạn AB: \[ CD = 20 \] Vì C và D nằm trên AB, ta giả sử: - \( AD = AC - 20 \) (D nằm giữa A và C) - \( AC = 3 v_A \) Thay: \[ v_A (t - \frac{1}{6}) = 3 v_A - 20 \Rightarrow t - \frac{1}{6} = 3 - \frac{20}{v_A} \Rightarrow t = \frac{19}{6} - \frac{20}{v_A} \] Thay vào (2): \[ v_A \left( \frac{19}{6} - \frac{20}{v_A} - \frac{1}{6} \right) + v_B \left( \frac{19}{6} - \frac{20}{v_A} \right) = 30 \] \[ v_A \left( 3 - \frac{20}{v_A} \right) + v_B \left( \frac{19}{6} - \frac{20}{v_A} \right) = 30 \] Mở rộng: \[ 3 v_A - 20 + \frac{19}{6} v_B - \frac{20}{v_A} v_B = 30 \] Sắp xếp: \[ 3 v_A + \frac{19}{6} v_B - \frac{20}{v_A} v_B = 50 \] Thay \( v_B = 10 - v_A \): \[ 3 v_A + \frac{19}{6} (10 - v_A) - \frac{20}{v_A} (10 - v_A) = 50 \] Mở rộng: \[ 3 v_A + \frac{190}{6} - \frac{19}{6} v_A - \frac{200}{v_A} + 20 = 50 \] \[ 3 v_A - \frac{19}{6} v_A + \frac{310}{6} - \frac{200}{v_A} = 50 \] Tính \( 3 v_A - \frac{19}{6} v_A = \frac{18}{6} v_A - \frac{19}{6} v_A = - \frac{1}{6} v_A \): \[ - \frac{1}{6} v_A + \frac{155}{3} - \frac{200}{v_A} = 50 \] Chuyển vế: \[ - \frac{1}{6} v_A - \frac{200}{v_A} = 50 - \frac{155}{3} = \frac{150}{3} - \frac{155}{3} = - \frac{5}{3} \] Nhân cả hai vế với \( 6 v_A \): \[ 6 v_A \times \left( - \frac{1}{6} v_A - \frac{200}{v_A} \right) = 6 v_A \times \left( - \frac{