...........

Câu 1. Để tìm số nghiệm thực của phương trình \( f(x) = 1 \), ta cần xem xét đồ thị của hàm số \( y = f(x) \) và đường thẳng \( y = 1 \). Bước 1: Xác định giao điểm của đường thẳng \( y = 1 \) với đồ thị của hàm số \( y = f(x) \). Bước 2: Quan sát đồ thị, ta thấy đường thẳng \( y = 1 \) cắt đồ thị của hàm số \( y = f(x) \) tại ba điểm khác nhau. Bước 3: Mỗi giao điểm này tương ứng với một nghiệm thực của phương trình \( f(x) = 1 \). Do đó, phương trình \( f(x) = 1 \) có 3 nghiệm thực. Đáp án đúng là: D. 3. Câu 2. Để tìm nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu, chúng ta cần thực hiện các bước sau: 1. Tính tổng số lượng học sinh: Tổng số học sinh = 5 + 9 + 12 + 10 + 6 = 42 học sinh. 2. Tìm vị trí của tứ phân vị thứ nhất: Tứ phân vị thứ nhất (Q1) nằm ở vị trí $\frac{n}{4}$, trong đó n là tổng số lượng học sinh. \[ \frac{42}{4} = 10.5 \] Do đó, Q1 nằm ở vị trí thứ 10.5, tức là giữa học sinh thứ 10 và học sinh thứ 11. 3. Xác định nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất: - Nhóm [0; 20) có 5 học sinh. - Nhóm [20; 40) có 9 học sinh. - Nhóm [40; 60) có 12 học sinh. Tổng số học sinh từ nhóm [0; 20) và [20; 40) là: \[ 5 + 9 = 14 \] Vì 10.5 nằm trong khoảng từ 14 học sinh đầu tiên, nên Q1 nằm trong nhóm [20; 40). Do đó, nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu trên là: \[ \boxed{C.~[20;40)} \] Câu 3. Để tìm tọa độ của một vectơ $\overrightarrow{n}$ vuông góc với cả hai vectơ $\overrightarrow{a} = (1; 1; -2)$ và $\overrightarrow{b} = (1; 0; 3)$, ta có thể sử dụng phép nhân véc-tơ (còn gọi là tích ngoài) của hai véc-tơ này. Phép nhân véc-tơ của hai véc-tơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ được tính như sau: \[ \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & -2 \\ 1 & 0 & 3 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1 \cdot 3 - (-2) \cdot 0) - \mathbf{j}(1 \cdot 3 - (-2) \cdot 1) + \mathbf{k}(1 \cdot 0 - 1 \cdot 1) \] \[ = \mathbf{i}(3 - 0) - \mathbf{j}(3 + 2) + \mathbf{k}(0 - 1) \] \[ = 3\mathbf{i} - 5\mathbf{j} - \mathbf{k} \] Do đó, tọa độ của vectơ $\overrightarrow{n}$ vuông góc với cả hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ là $(3; -5; -1)$. Vậy đáp án đúng là: \[ A.~(3; -5; -1) \] Câu 4. Trước tiên, ta xác định khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng (ABC). Vì SA vuông góc với (ABC), nên khoảng cách từ S đến (ABC) chính là độ dài đoạn thẳng SA. Ta gọi H là trung điểm của BC và hạ đường cao SH từ S xuống (ABC). Ta có góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (SBC) là góc giữa đường thẳng SH và mặt phẳng (ABC). Vì tam giác ABC đều cạnh a, nên ta có: - Độ dài đoạn thẳng AH = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ (đường cao của tam giác đều) - Độ dài đoạn thẳng BH = $\frac{a}{2}$ Trong tam giác SBC, ta có góc SBC = 60° (góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (SBC)). Ta tính khoảng cách từ S đến (ABC) bằng cách sử dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng trong không gian. Trong tam giác SBC, ta có: - Độ dài đoạn thẳng SB = $\sqrt{SH^2 + HB^2}$ Vì góc SBC = 60°, ta có: - Độ dài đoạn thẳng SH = SB sin(60°) = SB $\frac{\sqrt{3}}{2}$ Ta cũng biết rằng: - Độ dài đoạn thẳng SB = $\sqrt{SA^2 + AB^2}$ Vì SA vuông góc với (ABC), ta có: - Độ dài đoạn thẳng SA = SH Do đó, ta có: - SA = SB $\frac{\sqrt{3}}{2}$ Thay vào công thức tính khoảng cách từ S đến (ABC): - SA = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ Vậy khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng (ABC) là $\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Đáp án đúng là: B. $\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Câu 5. Để tìm $u_5$, ta sử dụng công thức của cấp số nhân: $u_n = u_1 \cdot q^{n-1}$. Trong đó: - $u_1 = -3$ - $q = \frac{2}{3}$ - $n = 5$ Thay vào công thức, ta có: \[ u_5 = u_1 \cdot q^{5-1} = -3 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^4 \] Tính $\left(\frac{2}{3}\right)^4$: \[ \left(\frac{2}{3}\right)^4 = \frac{2^4}{3^4} = \frac{16}{81} \] Do đó: \[ u_5 = -3 \cdot \frac{16}{81} = -\frac{3 \cdot 16}{81} = -\frac{48}{81} = -\frac{16}{27} \] Vậy mệnh đề đúng là: \[ C.~u_5 = -\frac{16}{27}. \] Câu 6. Để xác định đường thẳng \( y = -2x + 3 \) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số nào, ta cần kiểm tra từng hàm số đã cho để xem liệu khi \( x \to \infty \) hoặc \( x \to -\infty \), biểu thức của hàm số có tiến đến đường thẳng \( y = -2x + 3 \). Xét từng đáp án: Đáp án A: \( y = \frac{1}{-2x + 3} \) - Khi \( x \to \infty \) hoặc \( x \to -\infty \), \( \frac{1}{-2x + 3} \to 0 \). - Vậy, \( y \to 0 \), không tiến đến \( y = -2x + 3 \). Đáp án B: \( y = -2x - 3 - \frac{3}{x - 2} \) - Khi \( x \to \infty \) hoặc \( x \to -\infty \), \( \frac{3}{x - 2} \to 0 \). - Vậy, \( y \to -2x - 3 \), không tiến đến \( y = -2x + 3 \). Đáp án C: \( y = x + 1 + \frac{1}{-2x + 3} \) - Khi \( x \to \infty \) hoặc \( x \to -\infty \), \( \frac{1}{-2x + 3} \to 0 \). - Vậy, \( y \to x + 1 \), không tiến đến \( y = -2x + 3 \). Đáp án D: \( y = \frac{3}{2x - 1} - 2x + 3 \) - Khi \( x \to \infty \) hoặc \( x \to -\infty \), \( \frac{3}{2x - 1} \to 0 \). - Vậy, \( y \to -2x + 3 \), đúng với đường thẳng \( y = -2x + 3 \). Do đó, đáp án đúng là: \[ \boxed{D.~y = \frac{3}{2x - 1} - 2x + 3} \] Câu 7. Để xác định mặt phẳng nào song song với mặt phẳng $(\alpha):~x-2y-z+5=0$, ta cần kiểm tra các vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng đã cho. Mặt phẳng $(\alpha)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}_\alpha = (1, -2, -1)$. Ta sẽ kiểm tra từng mặt phẳng: A. Mặt phẳng $(\beta_2):~2x-4y-2z+7=0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}_{\beta_2} = (2, -4, -2)$. Ta thấy rằng: \[ \vec{n}_{\beta_2} = 2 \cdot \vec{n}_\alpha \] Do đó, $(\beta_2)$ song song với $(\alpha)$. B. Mặt phẳng $(\beta_1):~3x+y+z-3=0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}_{\beta_1} = (3, 1, 1)$. Ta thấy rằng: \[ \vec{n}_{\beta_1} \neq k \cdot \vec{n}_\alpha \text{ với } k \text{ là hằng số thực} \] Do đó, $(\beta_1)$ không song song với $(\alpha)$. C. Mặt phẳng $(\beta_3):~2x-4y-2z+10=0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}_{\beta_3} = (2, -4, -2)$. Ta thấy rằng: \[ \vec{n}_{\beta_3} = 2 \cdot \vec{n}_\alpha \] Do đó, $(\beta_3)$ song song với $(\alpha)$. D. Mặt phẳng $(\beta_4):~-2x+4y-2z-7=0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}_{\beta_4} = (-2, 4, -2)$. Ta thấy rằng: \[ \vec{n}_{\beta_4} = -2 \cdot \vec{n}_\alpha \] Do đó, $(\beta_4)$ song song với $(\alpha)$. Như vậy, các mặt phẳng song song với mặt phẳng $(\alpha)$ là: \[ A.~(\beta_2):~2x-4y-2z+7=0 \] \[ C.~(\beta_3):~2x-4y-2z+10=0 \] \[ D.~(\beta_4):~-2x+4y-2z-7=0 \] Tuy nhiên, trong các đáp án được đưa ra, chỉ có một lựa chọn đúng theo yêu cầu của đề bài. Do đó, đáp án đúng là: \[ A.~(\beta_2):~2x-4y-2z+7=0 \]