chọn đáp án đúng thẳng $x=1,~x=2.$ Quay hình (H) xung quanh trục Ox ta được một khối tròn xoay có thể tích là,$A.~\frac{7\pi}3.$ $B.~\frac73.$ $C.~\frac{83\pi}{15}.$ $D.~\frac{83}{15}.$,Câu 68. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng $\Delta$ có phương trình chính tắc,$\frac{x-1}2=\frac{y+4}{-3}=\frac z6$ và mặt phẳng $(\alpha)$ có phương trình tổng quát $2x-y-2z+1=0.$ Góc giữa đường thẳng,$\Delta$ và mặt phẳng $(\alpha)$ tính theo đơn vị độ và làm tròn đến hàng đơn vị, có giá trị là,$A.~104^0.$ $B.~76^0.$ $C.~166^0.$ $D.~14^0.$,Câu 69. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Đường thẳng AC vuông góc với đường thẳng nào sau,đây?,A. A'C'. B. B'D'. C. CD'. D. BC.,Câu 70. Biết $\int^2_13^xdx=\frac a{\ln3}$ với $a\in\mathbb{Z}.$ Giá trị của a là,A. 3. B. 12. C. 6. D. 9.,Câu 71. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm $A(2;-4;3)$ và $B(2;2;7).$ Trung điểm của,đoạn AB là điểm nào sau đây?,$A.~K(2;-1;5).$ $B.~J(2;6;4).$ $C.~L(4;-2;10).$ $D.~I(1;3;2).$,Câu 72. Cho tứ diện ABCD. Gọi G là,trọng tâm tam giác BCD (tham khảo hình,,vẽ). Đẳng thức nào sau đây đúng?,$A.~\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=4\overrightarrow{AG}.$,$B.~\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=3\overrightarrow{AG}.$,$C.~\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AG}.$,$D.~\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AG}.$,Câu 73: Đồ thị hàm số $y=\frac{x-2}{x^2-4}$ có đường tiệm cận ngang là:,$A.~y=0.$ $B.~y=1.$ $C.~y=2.$ $D.~y=-2.$,Câu 74: Nghiệm của phương trình $3^{3x+5}=3^{1-x}$ là :,$A.~x=-2.$ $B.~x=-1.$ $C.~x=1.$ $D.~x=2.$,Câu 75: Cho hàm số $f(x)$ có bảng xét dấu của đạo hàm như sau,,Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?,$A.~(-\infty;-2).$ $B.~(-2;+\infty).$ $C.~(-2;1).$ $D.~(2;+\infty).$,Câu 76: Trong không gian (Oxyz) , cho đường thẳng $\Delta:\left\{\begin{array}{l}x=2+3t\y=-1+t~(t\in\mathbb{R}).\z=5-2t\end{array} ight.$ Trong các điểm sau đây,,điểm nào thuộc đường thẳng A?,$A.~M(11;2;4).$ $B.~P(10;3;-3).$ $C.~Q(8;-3;1).$ $D.~N(5;0;3).$,Câu 77: Khảo sát thời gian tập thể dục của một số học sinh khối 11 thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau:

Question

chọn đáp án đúng thẳng $x=1,~x=2.$ Quay hình (H) xung quanh trục Ox ta được một khối tròn xoay có thể tích là,$A.~\frac{7\pi}3.$ $B.~\frac73.$ $C.~\frac{83\pi}{15}.$ $D.~\frac{83}{15}.$,Câu 68. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng $\Delta$ có phương trình chính tắc,$\frac{x-1}2=\frac{y+4}{-3}=\frac z6$ và mặt phẳng $(\alpha)$ có phương trình tổng quát $2x-y-2z+1=0.$ Góc giữa đường thẳng,$\Delta$ và mặt phẳng $(\alpha)$ tính theo đơn vị độ và làm tròn đến hàng đơn vị, có giá trị là,$A.~104^0.$ $B.~76^0.$ $C.~166^0.$ $D.~14^0.$,Câu 69. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Đường thẳng AC vuông góc với đường thẳng nào sau,đây?,A. A'C'. B. B'D'. C. CD'. D. BC.,Câu 70. Biết $\int^2_13^xdx=\frac a{\ln3}$ với $a\in\mathbb{Z}.$ Giá trị của a là,A. 3. B. 12. C. 6. D. 9.,Câu 71. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm $A(2;-4;3)$ và $B(2;2;7).$ Trung điểm của,đoạn AB là điểm nào sau đây?,$A.~K(2;-1;5).$ $B.~J(2;6;4).$ $C.~L(4;-2;10).$ $D.~I(1;3;2).$,Câu 72. Cho tứ diện ABCD. Gọi G là,trọng tâm tam giác BCD (tham khảo hình,

,vẽ). Đẳng thức nào sau đây đúng?,$A.~\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=4\overrightarrow{AG}.$,$B.~\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=3\overrightarrow{AG}.$,$C.~\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AG}.$,$D.~\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AG}.$,Câu 73: Đồ thị hàm số $y=\frac{x-2}{x^2-4}$ có đường tiệm cận ngang là:,$A.~y=0.$ $B.~y=1.$ $C.~y=2.$ $D.~y=-2.$,Câu 74: Nghiệm của phương trình $3^{3x+5}=3^{1-x}$ là :,$A.~x=-2.$ $B.~x=-1.$ $C.~x=1.$ $D.~x=2.$,Câu 75: Cho hàm số $f(x)$ có bảng xét dấu của đạo hàm như sau,

,Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?,$A.~(-\infty;-2).$ $B.~(-2;+\infty).$ $C.~(-2;1).$ $D.~(2;+\infty).$,Câu 76: Trong không gian (Oxyz) , cho đường thẳng $\Delta:\left\{\begin{array}{l}x=2+3t\y=-1+t~(t\in\mathbb{R}).\z=5-2t\end{array} ight.$ Trong các điểm sau đây,,điểm nào thuộc đường thẳng A?,$A.~M(11;2;4).$ $B.~P(10;3;-3).$ $C.~Q(8;-3;1).$ $D.~N(5;0;3).$,Câu 77: Khảo sát thời gian tập thể dục của một số học sinh khối 11 thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau:

Accepted Answer

Câu 68.
Để tìm góc giữa đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng $(\alpha)$, ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$:
   Đường thẳng $\Delta$ có phương trình chính tắc $\frac{x-1}{2} = \frac{y+4}{-3} = \frac{z}{6}$. 
   Do đó, vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ là $\vec{u} = (2, -3, 6)$.

2. Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$:
   Mặt phẳng $(\alpha)$ có phương trình tổng quát $2x - y - 2z + 1 = 0$. 
   Do đó, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ là $\vec{n} = (2, -1, -2)$.

3. Tính góc giữa đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng $(\alpha)$:
   Gọi $\theta$ là góc giữa đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng $(\alpha)$. 
   Ta biết rằng góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc phụ của góc giữa vectơ chỉ phương của đường thẳng và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.

Gọi $\phi$ là góc giữa vectơ $\vec{u}$ và vectơ $\vec{n}$. 
   Ta có:
   $$
   \cos \phi = \frac{\vec{u} \cdot \vec{n}}{|\vec{u}| |\vec{n}|}
   $$
   Tính tích vô hướng $\vec{u} \cdot \vec{n}$:
   $$
   \vec{u} \cdot \vec{n} = 2 \cdot 2 + (-3) \cdot (-1) + 6 \cdot (-2) = 4 + 3 - 12 = -5
   $$

Tính độ dài của vectơ $\vec{u}$:
   $$
   |\vec{u}| = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7
   $$

Tính độ dài của vectơ $\vec{n}$:
   $$
   |\vec{n}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3
   $$

Vậy:
   $$
   \cos \phi = \frac{-5}{7 \cdot 3} = \frac{-5}{21}
   $$

Góc $\phi$ là:
   $$
   \phi = \cos^{-1}\left(\frac{-5}{21}\right)
   $$

Góc $\theta$ giữa đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng $(\alpha)$ là:
   $$
   \theta = 90^\circ - \phi
   $$

Ta tính $\phi$:
   $$
   \phi \approx 104^\circ
   $$

Do đó:
   $$
   \theta = 90^\circ - 104^\circ = -14^\circ
   $$

Vì góc giữa đường thẳng và mặt phẳng luôn dương, nên ta lấy giá trị tuyệt đối:
   $$
   \theta = 14^\circ
   $$

Vậy góc giữa đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng $(\alpha)$ là $14^\circ$. Đáp án đúng là:
$$ D.~14^\circ $$

Câu 69.
Trong hình lập phương ABCD.A'B'C'D', ta xét các đường thẳng sau:

A. A'C': 
- A'C' nằm trong mặt phẳng A'C' và vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Do đó, A'C' không vuông góc với AC.

B. B'D':
- B'D' nằm trong mặt phẳng B'D' và vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Do đó, B'D' không vuông góc với AC.

C. CD':
- CD' nằm trong mặt phẳng (CC'D'D) và vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Do đó, CD' không vuông góc với AC.

D. BC:
- BC nằm trong mặt phẳng (ABCD) và vuông góc với AC vì AC là đường chéo của hình vuông ABCD.

Do đó, đường thẳng AC vuông góc với đường thẳng BC.

Đáp án đúng là: D. BC.

Câu 70.
Để tính giá trị của $ a $ trong biểu thức $\int^2_1 3^x \, dx = \frac{a}{\ln 3}$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tính tích phân $\int 3^x \, dx$.

Biết rằng $\int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$ với $a > 0$ và $a \neq 1$. Do đó:
$$
\int 3^x \, dx = \frac{3^x}{\ln 3} + C
$$

Bước 2: Áp dụng cận trên và cận dưới vào tích phân đã tính.

$$
\int^2_1 3^x \, dx = \left[ \frac{3^x}{\ln 3} \right]^2_1
$$

Bước 3: Thay cận trên và cận dưới vào biểu thức.

$$
\int^2_1 3^x \, dx = \frac{3^2}{\ln 3} - \frac{3^1}{\ln 3}
$$

Bước 4: Tính toán các giá trị cụ thể.

$$
= \frac{9}{\ln 3} - \frac{3}{\ln 3}
$$

Bước 5: Rút gọn biểu thức.

$$
= \frac{9 - 3}{\ln 3} = \frac{6}{\ln 3}
$$

Do đó, ta có:
$$
\int^2_1 3^x \, dx = \frac{6}{\ln 3}
$$

So sánh với biểu thức ban đầu $\int^2_1 3^x \, dx = \frac{a}{\ln 3}$, ta thấy $a = 6$.

Vậy giá trị của $a$ là $\boxed{6}$.

Câu 71.
Để tìm trung điểm của đoạn thẳng AB trong không gian, ta sử dụng công thức tính trung điểm của đoạn thẳng. Nếu A có tọa độ $(x_1, y_1, z_1)$ và B có tọa độ $(x_2, y_2, z_2)$ thì trung điểm M của đoạn thẳng AB sẽ có tọa độ:

$$ M\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}, \frac{z_1 + z_2}{2}\right) $$

Áp dụng vào bài toán này:

- Tọa độ của điểm A là $(2, -4, 3)$
- Tọa độ của điểm B là $(2, 2, 7)$

Ta tính từng tọa độ của trung điểm M:

1. Tọa độ x của M:
$$ \frac{2 + 2}{2} = \frac{4}{2} = 2 $$

2. Tọa độ y của M:
$$ \frac{-4 + 2}{2} = \frac{-2}{2} = -1 $$

3. Tọa độ z của M:
$$ \frac{3 + 7}{2} = \frac{10}{2} = 5 $$

Vậy tọa độ của trung điểm M là $(2, -1, 5)$.

Do đó, trung điểm của đoạn AB là điểm $K(2, -1, 5)$.

Đáp án đúng là: $A.~K(2, -1, 5)$.

Câu 72.
Trước tiên, ta cần hiểu rằng trọng tâm G của tam giác BCD chia mỗi đường trung tuyến thành tỉ số 2:1, tính từ đỉnh đến trọng tâm.

Ta sẽ sử dụng tính chất của trọng tâm và vectơ để chứng minh đẳng thức đúng.

1. Ta biết rằng trọng tâm G của tam giác BCD thỏa mãn:
$$ \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = \overrightarrow{0} $$

2. Ta cũng biết rằng:
$$ \overrightarrow{AG} = \frac{\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}}{3} $$

3. Nhân cả hai vế của phương trình trên với 3, ta được:
$$ 3\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} $$

Do đó, đẳng thức đúng là:
$$ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} = 3\overrightarrow{AG} $$

Vậy đáp án đúng là:
$$ B.~\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} = 3\overrightarrow{AG}. $$

Câu 73:
Để tìm đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=\frac{x-2}{x^2-4}$, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ):
   Hàm số $y=\frac{x-2}{x^2-4}$ có mẫu số là $x^2 - 4$. Ta cần tìm các giá trị của $x$ làm cho mẫu số bằng 0:
   $$
   x^2 - 4 = 0 \implies (x - 2)(x + 2) = 0 \implies x = 2 \text{ hoặc } x = -2
   $$
   Vậy ĐKXĐ của hàm số là $x \neq 2$ và $x \neq -2$.

2. Tìm đường tiệm cận ngang:
   Đường tiệm cận ngang của hàm số $y = f(x)$ là đường thẳng $y = a$, trong đó $a$ là giới hạn của $f(x)$ khi $x$ tiến đến vô cùng ($+\infty$ hoặc $-\infty$).

Ta tính giới hạn của hàm số khi $x$ tiến đến $+\infty$:
   $$
   \lim_{x \to +\infty} \frac{x-2}{x^2-4}
   $$

Chia cả tử và mẫu cho $x^2$:
   $$
   \lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{x-2}{x^2}}{\frac{x^2-4}{x^2}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{1}{x} - \frac{2}{x^2}}{1 - \frac{4}{x^2}}
   $$

Khi $x$ tiến đến $+\infty$, các phân số $\frac{1}{x}$, $\frac{2}{x^2}$ và $\frac{4}{x^2}$ đều tiến đến 0:
   $$
   \lim_{x \to +\infty} \frac{0 - 0}{1 - 0} = \frac{0}{1} = 0
   $$

Tương tự, ta tính giới hạn của hàm số khi $x$ tiến đến $-\infty$:
   $$
   \lim_{x \to -\infty} \frac{x-2}{x^2-4}
   $$

Chia cả tử và mẫu cho $x^2$:
   $$
   \lim_{x \to -\infty} \frac{\frac{x-2}{x^2}}{\frac{x^2-4}{x^2}} = \lim_{x \to -\infty} \frac{\frac{1}{x} - \frac{2}{x^2}}{1 - \frac{4}{x^2}}
   $$

Khi $x$ tiến đến $-\infty$, các phân số $\frac{1}{x}$, $\frac{2}{x^2}$ và $\frac{4}{x^2}$ đều tiến đến 0:
   $$
   \lim_{x \to -\infty} \frac{0 - 0}{1 - 0} = \frac{0}{1} = 0
   $$

Vậy đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=\frac{x-2}{x^2-4}$ là $y = 0$.

Đáp án đúng là: $A.~y=0.$

Câu 74:
Để giải phương trình $3^{3x+5} = 3^{1-x}$, ta thực hiện các bước sau:

1. So sánh các mũ của cùng cơ số:
   Vì hai vế đều có cơ số là 3, nên ta có thể so sánh các mũ của chúng:
   $$
   3x + 5 = 1 - x
   $$

2. Giải phương trình bậc nhất:
   Ta chuyển tất cả các hạng tử chứa $x$ sang một vế và các hằng số sang vế còn lại:
   $$
   3x + x = 1 - 5
   $$
   $$
   4x = -4
   $$
   Chia cả hai vế cho 4:
   $$
   x = \frac{-4}{4}
   $$
   $$
   x = -1
   $$

3. Kiểm tra điều kiện xác định:
   Phương trình này không yêu cầu điều kiện xác định cụ thể vì nó là phương trình mũ cơ bản.

4. Kết luận:
   Nghiệm của phương trình là $x = -1$.

Do đó, đáp án đúng là:
$$ B.~x = -1 $$

Câu 75:
Để xác định khoảng nghịch biến của hàm số $f(x)$, ta dựa vào bảng xét dấu của đạo hàm $f'(x)$.

Từ bảng xét dấu của đạo hàm:
- Khi $f'(x) < 0$, hàm số $f(x)$ nghịch biến.

Theo bảng xét dấu:
- Trên khoảng $(-2; 1)$, ta thấy $f'(x) < 0$.

Do đó, hàm số $f(x)$ nghịch biến trên khoảng $(-2; 1)$.

Vậy đáp án đúng là:
$C.~(-2;1).$

Đáp số: $C.~(-2;1).$

Câu 76:
Để kiểm tra xem một điểm có thuộc đường thẳng $\Delta$ hay không, ta thay tọa độ của điểm đó vào phương trình tham số của đường thẳng và kiểm tra xem có tồn tại giá trị của tham số $t$ thỏa mãn hay không.

Ta xét lần lượt các điểm:

1. Điểm $M(11; 2; 4)$:
   - Thay vào phương trình $x = 2 + 3t$: $11 = 2 + 3t \Rightarrow 3t = 9 \Rightarrow t = 3$
   - Thay vào phương trình $y = -1 + t$: $2 = -1 + t \Rightarrow t = 3$
   - Thay vào phương trình $z = 5 - 2t$: $4 = 5 - 2t \Rightarrow 2t = 1 \Rightarrow t = \frac{1}{2}$
   - Ta thấy $t = 3$ và $t = \frac{1}{2}$ không đồng nhất, do đó điểm $M$ không thuộc đường thẳng $\Delta$.

2. Điểm $P(10; 3; -3)$:
   - Thay vào phương trình $x = 2 + 3t$: $10 = 2 + 3t \Rightarrow 3t = 8 \Rightarrow t = \frac{8}{3}$
   - Thay vào phương trình $y = -1 + t$: $3 = -1 + t \Rightarrow t = 4$
   - Thay vào phương trình $z = 5 - 2t$: $-3 = 5 - 2t \Rightarrow 2t = 8 \Rightarrow t = 4$
   - Ta thấy $t = \frac{8}{3}$ và $t = 4$ không đồng nhất, do đó điểm $P$ không thuộc đường thẳng $\Delta$.

3. Điểm $Q(8; -3; 1)$:
   - Thay vào phương trình $x = 2 + 3t$: $8 = 2 + 3t \Rightarrow 3t = 6 \Rightarrow t = 2$
   - Thay vào phương trình $y = -1 + t$: $-3 = -1 + t \Rightarrow t = -2$
   - Thay vào phương trình $z = 5 - 2t$: $1 = 5 - 2t \Rightarrow 2t = 4 \Rightarrow t = 2$
   - Ta thấy $t = 2$ và $t = -2$ không đồng nhất, do đó điểm $Q$ không thuộc đường thẳng $\Delta$.

4. Điểm $N(5; 0; 3)$:
   - Thay vào phương trình $x = 2 + 3t$: $5 = 2 + 3t \Rightarrow 3t = 3 \Rightarrow t = 1$
   - Thay vào phương trình $y = -1 + t$: $0 = -1 + t \Rightarrow t = 1$
   - Thay vào phương trình $z = 5 - 2t$: $3 = 5 - 2t \Rightarrow 2t = 2 \Rightarrow t = 1$
   - Ta thấy $t = 1$ đồng nhất ở cả ba phương trình, do đó điểm $N$ thuộc đường thẳng $\Delta$.

Vậy điểm thuộc đường thẳng $\Delta$ là $N(5; 0; 3)$. Đáp án đúng là D.

Câu 77:
Để khảo sát thời gian tập thể dục của một số học sinh khối 11, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xác định các khoảng nhóm
- Đầu tiên, chúng ta cần xác định các khoảng nhóm dựa trên dữ liệu đã thu thập. Các khoảng nhóm này thường có độ dài đều nhau và bao phủ toàn bộ dải dữ liệu.

Bước 2: Tính tần số của mỗi nhóm
- Dựa vào dữ liệu gốc, chúng ta sẽ đếm số lượng học sinh thuộc mỗi nhóm thời gian tập thể dục.

Bước 3: Tính tần số tương đối của mỗi nhóm
- Tần số tương đối của mỗi nhóm được tính bằng cách chia tần số của nhóm đó cho tổng số học sinh trong mẫu.

Bước 4: Tính trung vị của mẫu số liệu
- Trung vị là giá trị ở giữa khi sắp xếp các giá trị theo thứ tự tăng dần. Nếu số lượng giá trị là lẻ, trung vị là giá trị ở chính giữa. Nếu số lượng giá trị là chẵn, trung vị là trung bình cộng của hai giá trị ở chính giữa.

Bước 5: Tính phương sai và độ lệch chuẩn
- Phương sai được tính bằng cách lấy trung bình cộng của bình phương các sai số (sai số là hiệu giữa mỗi giá trị và giá trị trung bình).
- Độ lệch chuẩn là căn bậc hai của phương sai.

Bước 6: Lập bảng phân phối tần số
- Bảng phân phối tần số sẽ bao gồm các cột: Khoảng nhóm, tần số, tần số tương đối.

Bước 7: Vẽ đồ thị
- Chúng ta có thể vẽ đồ thị cột hoặc đồ thị tần số để trực quan hóa dữ liệu.

Bước 8: Phân tích kết quả
- Dựa vào các thông số thống kê và đồ thị, chúng ta sẽ phân tích xu hướng và đặc điểm của thời gian tập thể dục của học sinh khối 11.

Ví dụ cụ thể:
Giả sử chúng ta có dữ liệu thời gian tập thể dục của 100 học sinh khối 11 như sau:

| Khoảng nhóm | Tần số |
|------------|--------|
| 0 - 10     | 10     |
| 10 - 20    | 20     |
| 20 - 30    | 30     |
| 30 - 40    | 25     |
| 40 - 50    | 15     |

Tần số tương đối:
- Khoảng 0 - 10: $\frac{10}{100} = 0.1$
- Khoảng 10 - 20: $\frac{20}{100} = 0.2$
- Khoảng 20 - 30: $\frac{30}{100} = 0.3$
- Khoảng 30 - 40: $\frac{25}{100} = 0.25$
- Khoảng 40 - 50: $\frac{15}{100} = 0.15$

Trung vị:
- Tổng số học sinh là 100, do đó trung vị nằm ở giữa 50 và 51.
- Khoảng nhóm chứa trung vị là 20 - 30.

Phương sai và độ lệch chuẩn:
- Giả sử giá trị trung bình là 25 phút.
- Phương sai và độ lệch chuẩn được tính dựa trên công thức tương ứng.

Bảng phân phối tần số:
| Khoảng nhóm | Tần số | Tần số tương đối |
|------------|--------|------------------|
| 0 - 10     | 10     | 0.1              |
| 10 - 20    | 20     | 0.2              |
| 20 - 30    | 30     | 0.3              |
| 30 - 40    | 25     | 0.25             |
| 40 - 50    | 15     | 0.15             |

Đồ thị:
- Vẽ đồ thị cột hoặc đồ thị tần số dựa trên bảng phân phối tần số.

Phân tích kết quả:
- Phần lớn học sinh tập thể dục trong khoảng 20 - 30 phút.
- Có ít học sinh tập thể dục dưới 10 phút hoặc trên 40 phút.

Qua các bước trên, chúng ta đã hoàn thành việc khảo sát thời gian tập thể dục của học sinh khối 11.