giuópoppoopop

Câu 1. Để xác định đồ thị của hàm số nào trong các phương án A, B, C, D, chúng ta sẽ kiểm tra từng phương án một. Phương án A: \( y = \frac{2x + 1}{x + 1} \) - Ta thấy rằng khi \( x = -1 \), mẫu số \( x + 1 = 0 \), do đó hàm số không xác định tại điểm này. Điều này cho thấy đồ thị của hàm số này có đường thẳng \( x = -1 \) là đường tiệm cận đứng. - Để kiểm tra đường tiệm cận ngang, ta tính giới hạn của hàm số khi \( x \to \pm \infty \): \[ \lim_{x \to \pm \infty} \frac{2x + 1}{x + 1} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{2 + \frac{1}{x}}{1 + \frac{1}{x}} = 2 \] Do đó, đường tiệm cận ngang là \( y = 2 \). Phương án B: \( y = \frac{2x - 1}{x - 1} \) - Ta thấy rằng khi \( x = 1 \), mẫu số \( x - 1 = 0 \), do đó hàm số không xác định tại điểm này. Điều này cho thấy đồ thị của hàm số này có đường thẳng \( x = 1 \) là đường tiệm cận đứng. - Để kiểm tra đường tiệm cận ngang, ta tính giới hạn của hàm số khi \( x \to \pm \infty \): \[ \lim_{x \to \pm \infty} \frac{2x - 1}{x - 1} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{2 - \frac{1}{x}}{1 - \frac{1}{x}} = 2 \] Do đó, đường tiệm cận ngang là \( y = 2 \). Phương án C: \( y = 2x + \frac{1}{x + 1} \) - Ta thấy rằng khi \( x = -1 \), mẫu số \( x + 1 = 0 \), do đó hàm số không xác định tại điểm này. Điều này cho thấy đồ thị của hàm số này có đường thẳng \( x = -1 \) là đường tiệm cận đứng. - Để kiểm tra đường tiệm cận ngang, ta tính giới hạn của hàm số khi \( x \to \pm \infty \): \[ \lim_{x \to \pm \infty} \left( 2x + \frac{1}{x + 1} \right) = \lim_{x \to \pm \infty} 2x + \lim_{x \to \pm \infty} \frac{1}{x + 1} = \pm \infty + 0 = \pm \infty \] Do đó, hàm số này không có đường tiệm cận ngang. Phương án D: \( y = x^3 - 3x + 1 \) - Đây là một hàm đa thức bậc ba, không có đường tiệm cận đứng hoặc ngang. So sánh với đồ thị đã cho, ta thấy rằng đồ thị có đường tiệm cận đứng là \( x = -1 \) và đường tiệm cận ngang là \( y = 2 \). Do đó, hàm số đúng là: \[ y = \frac{2x + 1}{x + 1} \] Đáp án: A. \( y = \frac{2x + 1}{x + 1} \) Câu 2. Thể tích của khối chóp được tính theo công thức: \[ V = \frac{1}{3} \times B \times h \] Trong đó: - \( B \) là diện tích đáy của khối chóp. - \( h \) là chiều cao của khối chóp. Theo đề bài, diện tích đáy \( B = a^2 \) và chiều cao \( h = 30 \). Áp dụng vào công thức trên, ta có: \[ V = \frac{1}{3} \times a^2 \times 30 \] \[ V = \frac{1}{3} \times 30 \times a^2 \] \[ V = 10 \times a^2 \] \[ V = 10a^2 \] Do đó, thể tích của khối chóp là \( 10a^2 \). Đáp án đúng là: \( D.~10a^2 \). Câu 3. Trước tiên, ta xét tính chất của hình bình hành ABCD có tâm O. Ta biết rằng trong hình bình hành, đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường chéo. Do đó, ta có: \[ \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = 2\overrightarrow{OO} = \overrightarrow{0} \] \[ \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD} = 2\overrightarrow{OO} = \overrightarrow{0} \] Bây giờ, ta xét các vectơ từ đỉnh S đến các đỉnh của đáy ABCD: \[ \overrightarrow{SA} = \overrightarrow{SO} + \overrightarrow{OA} \] \[ \overrightarrow{SB} = \overrightarrow{SO} + \overrightarrow{OB} \] \[ \overrightarrow{SC} = \overrightarrow{SO} + \overrightarrow{OC} \] \[ \overrightarrow{SD} = \overrightarrow{SO} + \overrightarrow{OD} \] Ta cộng các vectơ này lại: \[ \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SC} + \overrightarrow{SD} = (\overrightarrow{SO} + \overrightarrow{OA}) + (\overrightarrow{SO} + \overrightarrow{OB}) + (\overrightarrow{SO} + \overrightarrow{OC}) + (\overrightarrow{SO} + \overrightarrow{OD}) \] \[ = 4\overrightarrow{SO} + (\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD}) \] Do tính chất của hình bình hành, ta có: \[ \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{0} \] \[ \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{0} \] Vậy: \[ \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{0} \] Do đó: \[ \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SC} + \overrightarrow{SD} = 4\overrightarrow{SO} + \overrightarrow{0} = 4\overrightarrow{SO} \] Như vậy, khẳng định đúng là: \[ C.~\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SC} + \overrightarrow{SD} = 4\overrightarrow{SO}. \] Đáp án: C. Câu 4. Để xác định hàm số nào đồng biến trên R, chúng ta sẽ kiểm tra tính chất của mỗi hàm số đã cho. A. \( y = \left( \frac{2024}{2025} \right)^x \) Hàm số này có dạng \( y = a^x \) với \( 0 < a < 1 \). Các hàm số dạng này nghịch biến trên R, do đó hàm số này không đồng biến trên R. B. \( y = \log_m x \) Hàm số này có dạng \( y = \log_a x \). Để hàm số này đồng biến trên R, cơ số \( m \) phải lớn hơn 1 (\( m > 1 \)). Tuy nhiên, hàm số này chỉ xác định trên khoảng \( (0, +\infty) \), không phải trên toàn bộ R. C. \( y = \ln x \) Hàm số này có dạng \( y = \ln x \). Hàm số này đồng biến trên khoảng \( (0, +\infty) \), nhưng không xác định trên toàn bộ R. D. \( y = e^x \) Hàm số này có dạng \( y = a^x \) với \( a > 1 \). Các hàm số dạng này đồng biến trên R. Do đó, hàm số đồng biến trên R là: Đáp án đúng là: D. \( y = e^x \) Câu 5. Mặt phẳng (P) đi qua điểm $A(1;2;3)$ và vuông góc với trục hoành, tức là nó song song với mặt phẳng yOz. Phương trình của mặt phẳng (P) sẽ có dạng $x = d$, trong đó $d$ là khoảng cách từ gốc tọa độ đến mặt phẳng (P). Do mặt phẳng (P) đi qua điểm $A(1;2;3)$, ta thay tọa độ của điểm A vào phương trình mặt phẳng để tìm $d$: \[ x = d \] \[ 1 = d \] Vậy phương trình của mặt phẳng (P) là: \[ x - 1 = 0 \] Đáp án đúng là: C. $x - 1 = 0$. Câu 6. Để giải bất phương trình $\log_2(x-1) < 3$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Đối với bất phương trình $\log_2(x-1)$, ta cần đảm bảo rằng $x-1 > 0$. Do đó: \[ x > 1 \] 2. Giải bất phương trình: - Ta có $\log_2(x-1) < 3$. Để giải bất phương trình này, ta chuyển về dạng tương đương bằng cách sử dụng tính chất của lôgarit: \[ \log_2(x-1) < \log_2(2^3) \] - Điều này tương đương với: \[ \log_2(x-1) < \log_2(8) \] - Vì hàm lôgarit cơ số 2 là hàm đồng biến, nên ta có: \[ x-1 < 8 \] - Giải bất phương trình này: \[ x < 9 \] 3. Xác định tập nghiệm: - Kết hợp điều kiện xác định $x > 1$ và kết quả từ bước 2 ($x < 9$), ta có: \[ 1 < x < 9 \] - Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: \[ S = (1, 9) \] Do đó, đáp án đúng là: \[ C.~S=(1;9) \] Câu 7. Để tính diện tích S của hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị (C), trục hoành và hai đường thẳng \( x = a \) và \( x = b \), ta sử dụng công thức tích phân. Cụ thể, diện tích S được tính theo công thức: \[ S = \int_{a}^{b} |f(x)| \, dx \] Trong đó: - \( f(x) \) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. - \( |f(x)| \) là giá trị tuyệt đối của hàm số \( f(x) \). Do đó, đáp án đúng là: \[ B.~S = \int_{a}^{b} |f(x)| \, dx \] Lập luận từng bước: 1. Xác định đoạn [a; b] trên trục hoành. 2. Tính tích phân của giá trị tuyệt đối của hàm số \( f(x) \) từ \( x = a \) đến \( x = b \). Đáp án: \( B.~S = \int_{a}^{b} |f(x)| \, dx \)