Giải đề sau

Câu 1: Để tính chi phí lát đá hoa cương của công viên, chúng ta cần thực hiện các bước sau: 1. Tính diện tích hình vuông: Diện tích hình vuông là: \[ S_{vuông} = 50 \times 50 = 2500 \text{ m}^2 \] 2. Xác định phương trình parabol: Ta biết rằng điểm O là đỉnh của parabol và nằm ở trung tâm của đoạn thẳng AB. Do đó, tọa độ của O là (25, 0). Điểm H nằm trên trục y và có tọa độ (0, 20). Phương trình parabol có dạng: \[ y = a(x - h)^2 + k \] Trong đó, (h, k) là đỉnh của parabol. Vì đỉnh là O(25, 0), nên phương trình trở thành: \[ y = a(x - 25)^2 \] Thay tọa độ của điểm H vào phương trình: \[ 20 = a(0 - 25)^2 \] \[ 20 = 625a \] \[ a = \frac{20}{625} = \frac{4}{125} \] Vậy phương trình parabol là: \[ y = \frac{4}{125}(x - 25)^2 \] 3. Tính diện tích phần parabol: Diện tích phần parabol từ x = 0 đến x = 50 là: \[ S_{parabol} = \int_{0}^{50} \frac{4}{125}(x - 25)^2 \, dx \] Thực hiện phép tích phân: \[ S_{parabol} = \frac{4}{125} \int_{0}^{50} (x - 25)^2 \, dx \] Đặt \( u = x - 25 \), thì \( du = dx \): \[ S_{parabol} = \frac{4}{125} \int_{-25}^{25} u^2 \, du \] Tích phân của \( u^2 \) là: \[ \int u^2 \, du = \frac{u^3}{3} \] Do đó: \[ S_{parabol} = \frac{4}{125} \left[ \frac{u^3}{3} \right]_{-25}^{25} \] \[ S_{parabol} = \frac{4}{125} \left( \frac{25^3}{3} - \frac{(-25)^3}{3} \right) \] \[ S_{parabol} = \frac{4}{125} \left( \frac{2 \times 25^3}{3} \right) \] \[ S_{parabol} = \frac{4}{125} \times \frac{2 \times 15625}{3} \] \[ S_{parabol} = \frac{4 \times 31250}{375} \] \[ S_{parabol} = \frac{125000}{375} \] \[ S_{parabol} = 333.33 \text{ m}^2 \] 4. Tính diện tích phần đá hoa cương: Diện tích phần đá hoa cương là: \[ S_{đá} = S_{vuông} - S_{parabol} \] \[ S_{đá} = 2500 - 333.33 = 2166.67 \text{ m}^2 \] 5. Tính chi phí lát đá hoa cương: Chi phí vật liệu đá hoa cương: \[ \text{Chi phí vật liệu} = 2166.67 \times 800000 = 1733336000 \text{ đồng} \] Chi phí công lát đá hoa cương: \[ \text{Chi phí công} = 2166.67 \times 200000 = 433334000 \text{ đồng} \] Tổng chi phí: \[ \text{Tổng chi phí} = 1733336000 + 433334000 = 2166670000 \text{ đồng} \] Làm tròn đến hàng triệu: \[ \text{Tổng chi phí} \approx 2167 \text{ triệu đồng} \] Đáp số: 2167 triệu đồng. Câu 2: Để tính số tiền nhà trường trả cho nhân công, chúng ta cần biết diện tích phần tô đậm của cổng. Chúng ta sẽ tính diện tích này bằng cách tính diện tích giữa hai đường parabol. Giả sử phương trình của hai đường parabol là: - Đường parabol ngoài: \( y = -x^2 + 4 \) - Đường parabol trong: \( y = -x^2 + 1 \) Diện tích giữa hai đường parabol từ \( x = -2 \) đến \( x = 2 \) là: \[ A = \int_{-2}^{2} [(-x^2 + 4) - (-x^2 + 1)] \, dx \] \[ A = \int_{-2}^{2} (4 - 1) \, dx \] \[ A = \int_{-2}^{2} 3 \, dx \] \[ A = 3 \left[ x \right]_{-2}^{2} \] \[ A = 3 (2 - (-2)) \] \[ A = 3 \times 4 \] \[ A = 12 \text{ m}^2 \] Chi phí nhân công là 30.000 đồng/m², do đó tổng chi phí là: \[ \text{Tổng chi phí} = 12 \times 30.000 = 360.000 \text{ đồng} \] Đáp số: 360.000 đồng Câu 3: Để tính khoảng cách giữa hai cọc SB và CM, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định tọa độ các điểm: - Gọi A(0, 0, 0), B(20, 0, 0), C(20, 20, 0), D(0, 20, 0). - Điểm S thẳng đứng trên đỉnh A, nên S(0, 0, 10). 2. Tìm tọa độ điểm M: - Điểm M nằm trên cọc SD và cách đều hai điểm S và D. - Vì M cách đều S và D, M sẽ nằm ở trung điểm của đoạn thẳng SD. - Tọa độ của M là: \[ M\left(\frac{0+0}{2}, \frac{0+20}{2}, \frac{10+0}{2}\right) = M(0, 10, 5) \] 3. Tìm tọa độ điểm B và C: - Điểm B đã cho là B(20, 0, 0). - Điểm C đã cho là C(20, 20, 0). 4. Tìm tọa độ điểm SB và CM: - Điểm SB nằm trên đường thẳng từ S đến B, nên SB có tọa độ (20, 0, 0). - Điểm CM nằm trên đường thẳng từ C đến M, nên CM có tọa độ (20, 20, 0). 5. Tính khoảng cách giữa hai cọc SB và CM: - Khoảng cách giữa hai điểm SB và CM là: \[ d = \sqrt{(20-20)^2 + (0-20)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{0 + 400 + 0} = \sqrt{400} = 20 \] Vậy khoảng cách giữa hai cọc SB và CM là 20m. Kết quả được làm tròn đến hàng phần trăm là 20.00. Đáp số: 20.00 Câu 4: Gọi \( A \) là sự kiện "sản phẩm lấy ra do máy thứ nhất sản xuất". Gọi \( B \) là sự kiện "sản phẩm lấy ra do máy thứ hai sản xuất". Gọi \( C \) là sự kiện "sản phẩm lấy ra đạt tiêu chuẩn". Ta có: - \( P(A) = 0,6 \) - \( P(B) = 0,4 \) - \( P(C|A) = 0,9 \) (xác suất sản phẩm đạt tiêu chuẩn khi lấy từ máy thứ nhất) - \( P(C|B) = 0,85 \) (xác suất sản phẩm đạt tiêu chuẩn khi lấy từ máy thứ hai) Theo công thức xác suất tổng, ta có: \[ P(C) = P(A) \cdot P(C|A) + P(B) \cdot P(C|B) \] \[ P(C) = 0,6 \cdot 0,9 + 0,4 \cdot 0,85 \] \[ P(C) = 0,54 + 0,34 \] \[ P(C) = 0,88 \] Bây giờ, ta cần tìm xác suất \( P(A|C) \), tức là xác suất sản phẩm do máy thứ nhất sản xuất khi biết rằng sản phẩm đạt tiêu chuẩn. Theo công thức Bayes, ta có: \[ P(A|C) = \frac{P(A) \cdot P(C|A)}{P(C)} \] \[ P(A|C) = \frac{0,6 \cdot 0,9}{0,88} \] \[ P(A|C) = \frac{0,54}{0,88} \] \[ P(A|C) \approx 0,6136 \] Làm tròn đến hàng phần trăm, ta có: \[ P(A|C) \approx 0,61 \] Vậy xác suất để sản phẩm đó do máy thứ nhất sản xuất là 0,61 hoặc 61%. Câu 5: Để tìm thời điểm \( t \) mà tốc độ tăng trưởng dân số tức thời \( p'(t) \) là lớn nhất, chúng ta cần thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số \( p(t) \): Hàm số \( p(t) = \frac{800}{1 + 7e^{-0,2t}} \). Áp dụng quy tắc đạo hàm của hàm phân thức: \[ p'(t) = \frac{d}{dt} \left( \frac{800}{1 + 7e^{-0,2t}} \right) \] Đặt \( u = 1 + 7e^{-0,2t} \), thì \( p(t) = \frac{800}{u} \). Ta có: \[ p'(t) = 800 \cdot \frac{-1}{u^2} \cdot \frac{du}{dt} \] Tiếp theo, tính đạo hàm của \( u \): \[ \frac{du}{dt} = \frac{d}{dt}(1 + 7e^{-0,2t}) = 7 \cdot (-0,2) e^{-0,2t} = -1,4 e^{-0,2t} \] Thay vào biểu thức đạo hàm: \[ p'(t) = 800 \cdot \frac{-1}{(1 + 7e^{-0,2t})^2} \cdot (-1,4 e^{-0,2t}) \] \[ p'(t) = \frac{1120 e^{-0,2t}}{(1 + 7e^{-0,2t})^2} \] 2. Tìm đạo hàm của \( p'(t) \) để xác định cực đại: \[ p''(t) = \frac{d}{dt} \left( \frac{1120 e^{-0,2t}}{(1 + 7e^{-0,2t})^2} \right) \] Áp dụng quy tắc đạo hàm của thương: \[ p''(t) = \frac{(1 + 7e^{-0,2t})^2 \cdot \frac{d}{dt}(1120 e^{-0,2t}) - 1120 e^{-0,2t} \cdot \frac{d}{dt}((1 + 7e^{-0,2t})^2)}{(1 + 7e^{-0,2t})^4} \] Tính đạo hàm từng phần: \[ \frac{d}{dt}(1120 e^{-0,2t}) = 1120 \cdot (-0,2) e^{-0,2t} = -224 e^{-0,2t} \] \[ \frac{d}{dt}((1 + 7e^{-0,2t})^2) = 2(1 + 7e^{-0,2t}) \cdot (-1,4 e^{-0,2t}) = -2,8 e^{-0,2t} (1 + 7e^{-0,2t}) \] Thay vào biểu thức đạo hàm: \[ p''(t) = \frac{(1 + 7e^{-0,2t})^2 \cdot (-224 e^{-0,2t}) - 1120 e^{-0,2t} \cdot (-2,8 e^{-0,2t} (1 + 7e^{-0,2t}))}{(1 + 7e^{-0,2t})^4} \] Rút gọn biểu thức: \[ p''(t) = \frac{-224 e^{-0,2t} (1 + 7e^{-0,2t})^2 + 3136 e^{-0,4t} (1 + 7e^{-0,2t})}{(1 + 7e^{-0,2t})^4} \] \[ p''(t) = \frac{-224 e^{-0,2t} (1 + 7e^{-0,2t}) + 3136 e^{-0,4t}}{(1 + 7e^{-0,2t})^3} \] Để tìm cực đại, ta giải phương trình \( p''(t) = 0 \): \[ -224 e^{-0,2t} (1 + 7e^{-0,2t}) + 3136 e^{-0,4t} = 0 \] Chia cả hai vế cho \( e^{-0,4t} \): \[ -224 e^{0,2t} (1 + 7e^{-0,2t}) + 3136 = 0 \] \[ -224 e^{0,2t} - 1568 + 3136 = 0 \] \[ -224 e^{0,2t} + 1568 = 0 \] \[ e^{0,2t} = 7 \] \[ 0,2t = \ln 7 \] \[ t = \frac{\ln 7}{0,2} \approx 12 \] Vậy thời điểm \( t \) để tốc độ tăng trưởng dân số tức thời là lớn nhất là \( t \approx 12 \). Câu 6: Mặt phẳng (Oxy) có phương trình là \( z = 0 \). Giao tuyến của mặt phẳng (Oxy) và mặt cầu (S) là đường tròn nằm trong mặt phẳng \( z = 0 \). Thay \( z = 0 \) vào phương trình của mặt cầu (S): \[ (x - 1)^2 + (y - 1)^2 + 0^2 = 4 \] Điều này dẫn đến phương trình: \[ (x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 4 \] Phương trình trên là phương trình của một đường tròn tâm \( (1, 1) \) và bán kính \( r = 2 \). Vậy, bán kính của đường tròn giao tuyến là \( 2 \). Đáp số: Bán kính của đường tròn giao tuyến là \( 2 \).