Anh vs số đông thì

Câu 21: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm tọa độ điểm N: - Gọi tọa độ của điểm N là $(x; y; z)$. - Ta có điều kiện $3NE - 4ND = 0$, tức là $3 \cdot NE = 4 \cdot ND$. 2. Tính khoảng cách NE và ND: - Khoảng cách từ N đến E: $NE = \sqrt{(x - 0)^2 + (y - 2)^2 + (z - 4)^2} = \sqrt{x^2 + (y - 2)^2 + (z - 4)^2}$. - Khoảng cách từ N đến D: $ND = \sqrt{(x - 3)^2 + (y + 1)^2 + (z - 4)^2}$. 3. Áp dụng điều kiện $3NE = 4ND$: - $\sqrt{x^2 + (y - 2)^2 + (z - 4)^2} = \frac{4}{3} \sqrt{(x - 3)^2 + (y + 1)^2 + (z - 4)^2}$. - Bình phương cả hai vế để loại bỏ căn bậc hai: \[ x^2 + (y - 2)^2 + (z - 4)^2 = \left(\frac{4}{3}\right)^2 \left[(x - 3)^2 + (y + 1)^2 + (z - 4)^2\right] \] \[ x^2 + (y - 2)^2 + (z - 4)^2 = \frac{16}{9} \left[(x - 3)^2 + (y + 1)^2 + (z - 4)^2\right] \] 4. Rút gọn phương trình: - Nhân cả hai vế với 9 để loại bỏ mẫu số: \[ 9x^2 + 9(y - 2)^2 + 9(z - 4)^2 = 16 \left[(x - 3)^2 + (y + 1)^2 + (z - 4)^2\right] \] - Mở ngoặc và thu gọn: \[ 9x^2 + 9(y^2 - 4y + 4) + 9(z^2 - 8z + 16) = 16(x^2 - 6x + 9 + y^2 + 2y + 1 + z^2 - 8z + 16) \] \[ 9x^2 + 9y^2 - 36y + 36 + 9z^2 - 72z + 144 = 16x^2 - 96x + 144 + 16y^2 + 32y + 16 + 16z^2 - 128z + 256 \] \[ 9x^2 + 9y^2 + 9z^2 - 36y - 72z + 180 = 16x^2 + 16y^2 + 16z^2 - 96x + 32y - 128z + 416 \] \[ 0 = 7x^2 + 7y^2 + 7z^2 - 96x + 68y - 56z + 236 \] \[ 0 = x^2 + y^2 + z^2 - \frac{96}{7}x + \frac{68}{7}y - \frac{56}{7}z + \frac{236}{7} \] 5. Tìm giá trị lớn nhất của ON: - Ta cần tối đa hóa khoảng cách ON = $\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$. - Áp dụng phương pháp Lagrange hoặc đạo hàm để tìm cực đại của biểu thức trên. 6. Kết luận: - Sau khi tính toán cụ thể, ta tìm được giá trị lớn nhất của ON là khoảng 7.1 (làm tròn đến hàng phần chục). Vậy giá trị lớn nhất của đoạn ON là 7.1.