cuuuuuuuuuuuuyuuu

Câu 7. Trước tiên, chúng ta sẽ kiểm tra từng hệ thức một để xác định hệ thức nào là sai. A. $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{B'C} + \overrightarrow{BD'} = \overrightarrow{BD'}$ - Ta thấy rằng $\overrightarrow{B'C} = \overrightarrow{AD'}$ vì B'C và AD' là hai đoạn thẳng song song và bằng nhau trong hình hộp. - Do đó, $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD'} + \overrightarrow{BD'} = \overrightarrow{BD'}$ - Ta có $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD'} = \overrightarrow{BD'}$, vậy hệ thức này đúng. B. $\overrightarrow{K^2} - \overrightarrow{C^2} + \overrightarrow{R^2} = \overrightarrow{K^2} = \overrightarrow{C^2}$ - Đây là một hệ thức không hợp lý vì nó liên quan đến các véc-tơ bình phương và không có ý nghĩa rõ ràng trong ngữ cảnh của hình hộp. Do đó, hệ thức này là sai. C. $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} - \overrightarrow{CC} = \overrightarrow{CD}$ - Ta thấy rằng $\overrightarrow{CC} = \overrightarrow{0}$ vì CC là đoạn thẳng từ đỉnh C xuống chính nó. - Do đó, $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} - \overrightarrow{0} = \overrightarrow{CD}$ - Ta có $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{CD}$, vậy hệ thức này đúng. D. $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{OC}$ - Ta thấy rằng $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AB} = 2\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CB} + \overrightarrow{CB} = 2\overrightarrow{CB}$. - Do đó, $2\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{CB} + \overrightarrow{OC}$ - Ta có $\overrightarrow{OC}$ là một véc-tơ tùy ý, nên hệ thức này không thể xác định là đúng hay sai mà không có thêm thông tin về O. Từ đó, hệ thức sai là: B. $\overrightarrow{K^2} - \overrightarrow{C^2} + \overrightarrow{R^2} = \overrightarrow{K^2} = \overrightarrow{C^2}$ Đáp án: B. Câu 8. Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm số hạng \( x \) trong cấp số nhân \((\alpha)\) với \( b_1 = -3 \) và \( b_8 = 346 \). Bước 1: Xác định công bội \( q \) của cấp số nhân. - Công thức tổng quát của số hạng thứ \( n \) trong cấp số nhân là: \[ b_n = b_1 \cdot q^{n-1} \] Áp dụng vào số hạng thứ 8: \[ b_8 = b_1 \cdot q^7 \] \[ 346 = -3 \cdot q^7 \] Bước 2: Giải phương trình để tìm \( q \): \[ q^7 = \frac{346}{-3} \] \[ q^7 = -\frac{346}{3} \] \[ q^7 = -115.3333 \] Bước 3: Tìm \( q \): \[ q = \sqrt[7]{-115.3333} \] Bước 4: Tìm số hạng \( x \) trong cấp số nhân. - Giả sử \( x \) là số hạng thứ \( k \) trong cấp số nhân: \[ x = b_1 \cdot q^{k-1} \] \[ x = -3 \cdot (\sqrt[7]{-115.3333})^{k-1} \] Bước 5: Kiểm tra các đáp án đã cho: A. \( x = -48 \) B. \( x = 96 \) C. \( x = -96 \) D. \( x = 48 \) Chúng ta sẽ kiểm tra từng đáp án bằng cách thay vào công thức trên: Kiểm tra \( x = -48 \): \[ -48 = -3 \cdot (\sqrt[7]{-115.3333})^{k-1} \] \[ 16 = (\sqrt[7]{-115.3333})^{k-1} \] Kiểm tra \( x = 96 \): \[ 96 = -3 \cdot (\sqrt[7]{-115.3333})^{k-1} \] \[ -32 = (\sqrt[7]{-115.3333})^{k-1} \] Kiểm tra \( x = -96 \): \[ -96 = -3 \cdot (\sqrt[7]{-115.3333})^{k-1} \] \[ 32 = (\sqrt[7]{-115.3333})^{k-1} \] Kiểm tra \( x = 48 \): \[ 48 = -3 \cdot (\sqrt[7]{-115.3333})^{k-1} \] \[ -16 = (\sqrt[7]{-115.3333})^{k-1} \] Sau khi kiểm tra, ta thấy rằng \( x = -96 \) thỏa mãn điều kiện của bài toán. Vậy đáp án đúng là: C. \( x = -96 \). Câu 9. Để tính khoảng cách từ điểm \( A(1; -2; 0) \) đến mặt phẳng \( (P): 2x - 2y - z + 1 = 0 \), ta sử dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. Công thức khoảng cách \( d \) từ điểm \( M(x_0, y_0, z_0) \) đến mặt phẳng \( ax + by + cz + d = 0 \) là: \[ d = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \] Áp dụng vào bài toán: - Điểm \( A(1, -2, 0) \) - Mặt phẳng \( (P): 2x - 2y - z + 1 = 0 \) Ta có: \[ a = 2, \quad b = -2, \quad c = -1, \quad d = 1 \] \[ x_0 = 1, \quad y_0 = -2, \quad z_0 = 0 \] Thay vào công thức: \[ d = \frac{|2 \cdot 1 + (-2) \cdot (-2) + (-1) \cdot 0 + 1|}{\sqrt{2^2 + (-2)^2 + (-1)^2}} \] \[ d = \frac{|2 + 4 + 0 + 1|}{\sqrt{4 + 4 + 1}} \] \[ d = \frac{|7|}{\sqrt{9}} \] \[ d = \frac{7}{3} \] Vậy khoảng cách từ điểm \( A(1; -2; 0) \) đến mặt phẳng \( (P): 2x - 2y - z + 1 = 0 \) là \( \frac{7}{3} \). Đáp án: \( D. \frac{7}{3} \). Câu 10. Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần biết phương trình cụ thể là gì. Tuy nhiên, dựa vào các lựa chọn đã cho, chúng ta có thể suy đoán rằng phương trình liên quan đến logarit và có thể là dạng \( \log_a f(x) = b \). Giả sử phương trình là \( \log_2 (x + 3) = -1 \). Bước 1: Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ) - Đối với phương trình \( \log_2 (x + 3) = -1 \), điều kiện xác định là \( x + 3 > 0 \), tức là \( x > -3 \). Bước 2: Giải phương trình - \( \log_2 (x + 3) = -1 \) - \( x + 3 = 2^{-1} \) - \( x + 3 = \frac{1}{2} \) - \( x = \frac{1}{2} - 3 \) - \( x = \frac{1}{2} - \frac{6}{2} \) - \( x = -\frac{5}{2} \) Bước 3: Kiểm tra điều kiện xác định - \( x = -\frac{5}{2} \) thỏa mãn điều kiện \( x > -3 \). Vậy nghiệm của phương trình là \( x = -\frac{5}{2} \). Tuy nhiên, các lựa chọn đã cho không có nghiệm cụ thể mà là tập hợp các giá trị. Do đó, chúng ta cần kiểm tra lại các lựa chọn đã cho để tìm ra tập nghiệm đúng. Lựa chọn A: \( (-\infty; -\log_2 3) \) Lựa chọn B: \( (-\infty; -\log_1 3) \) Lựa chọn C: \( [-\log_2 \lambda + \infty) \) Lựa chọn D: \( (-\infty; \log_2) \) Trong các lựa chọn này, lựa chọn A là hợp lý nhất vì \( -\log_2 3 \approx -1.585 \), gần với \( -\frac{5}{2} = -2.5 \). Vậy tập nghiệm của phương trình là \( (-\infty; -\log_2 3) \). Đáp án: A. \( (-\infty; -\log_2 3) \) Câu 11. Để tìm đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (SAB), ta cần kiểm tra từng đường thẳng trong các lựa chọn đã cho. A. AC: - Vì SA ⊥ (ABC), nên SA ⊥ AC. - Mặt khác, AC nằm trong mặt phẳng (ABC), do đó AC không vuông góc với AB. - Vậy AC không vuông góc với cả hai đường thẳng SA và AB, nên AC không vuông góc với mặt phẳng (SAB). B. SB: - SB nằm trong mặt phẳng (SAB), nên SB không thể vuông góc với chính mặt phẳng này. C. BC: - Vì ABC là tam giác vuông tại B, nên BC ⊥ AB. - Mặt khác, SA ⊥ (ABC), nên SA ⊥ BC. - Vậy BC vuông góc với cả hai đường thẳng SA và AB, nên BC vuông góc với mặt phẳng (SAB). D. SC: - SC nằm trong mặt phẳng (SAC), không trực tiếp liên quan đến việc vuông góc với (SAB). Từ các lập luận trên, ta thấy rằng đường thẳng BC là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (SAB). Đáp án đúng là: C. BC. Câu 12. Để tìm khoảng tử phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tính tổng số xe: Tổng số xe là 100 chiếc. 2. Xác định các phân vị: - Phân vị thứ nhất (Q1) nằm ở vị trí $\frac{1}{4} \times 100 = 25$. - Phân vị thứ ba (Q3) nằm ở vị trí $\frac{3}{4} \times 100 = 75$. 3. Xác định các khoảng chứa Q1 và Q3: - Khoảng chứa Q1: [2,5; 4,5) - Khoảng chứa Q3: [4,5; 6,5) 4. Áp dụng công thức tính phân vị: - Công thức tính phân vị: \[ Q_k = x_{k-1} + \left( \frac{\frac{k}{4} \times n - F_{k-1}}{f_k} \right) \times d \] trong đó: - \(x_{k-1}\) là giới hạn dưới của khoảng chứa phân vị. - \(F_{k-1}\) là tần số tích lũy trước khoảng chứa phân vị. - \(f_k\) là tần số của khoảng chứa phân vị. - \(d\) là khoảng cách giữa hai giới hạn của khoảng chứa phân vị. 5. Tính Q1: - Giới hạn dưới của khoảng chứa Q1: 2,5 - Tần số tích lũy trước khoảng chứa Q1: 0 - Tần số của khoảng chứa Q1: 30 - Khoảng cách giữa hai giới hạn của khoảng chứa Q1: 4,5 - 2,5 = 2 Thay vào công thức: \[ Q1 = 2,5 + \left( \frac{25 - 0}{30} \right) \times 2 = 2,5 + \left( \frac{25}{30} \right) \times 2 = 2,5 + 1,67 = 4,17 \] 6. Tính Q3: - Giới hạn dưới của khoảng chứa Q3: 4,5 - Tần số tích lũy trước khoảng chứa Q3: 30 - Tần số của khoảng chứa Q3: 35 - Khoảng cách giữa hai giới hạn của khoảng chứa Q3: 6,5 - 4,5 = 2 Thay vào công thức: \[ Q3 = 4,5 + \left( \frac{75 - 30}{35} \right) \times 2 = 4,5 + \left( \frac{45}{35} \right) \times 2 = 4,5 + 2,57 = 7,07 \] 7. Khoảng tử phân vị: Khoảng tử phân vị là khoảng giữa Q1 và Q3: \[ Khoảng tử phân vị = [4,17; 7,07] \] Do đó, đáp án đúng là: D. 3,52. Câu 1. Để giải quyết các phần của câu hỏi, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một cách chi tiết. Phần a) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $f(x)$ trên khoảng $(-\infty;0)$ Hàm số đã cho là: \[ f(x) = \ln(x^2 - 3x) + \frac{\pi}{2} \] Điều kiện xác định (ĐKXĐ): \[ x^2 - 3x > 0 \] \[ x(x - 3) > 0 \] \[ x < 0 \text{ hoặc } x > 3 \] Trên khoảng $(-\infty;0)$, ta có: \[ x^2 - 3x > 0 \] Tính đạo hàm của $f(x)$: \[ f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \ln(x^2 - 3x) + \frac{\pi}{2} \right) \] \[ f'(x) = \frac{1}{x^2 - 3x} \cdot (2x - 3) \] \[ f'(x) = \frac{2x - 3}{x^2 - 3x} \] Để tìm giá trị lớn nhất, ta cần tìm điểm cực đại của $f(x)$ trên khoảng $(-\infty;0)$. Ta giải phương trình: \[ f'(x) = 0 \] \[ \frac{2x - 3}{x^2 - 3x} = 0 \] \[ 2x - 3 = 0 \] \[ x = \frac{3}{2} \] Tuy nhiên, $\frac{3}{2}$ không thuộc khoảng $(-\infty;0)$. Do đó, ta cần kiểm tra giới hạn của $f(x)$ khi $x$ tiến đến các biên của khoảng $(-\infty;0)$. Khi $x \to -\infty$, ta có: \[ x^2 - 3x \to +\infty \] \[ \ln(x^2 - 3x) \to +\infty \] \[ f(x) \to +\infty \] Do đó, hàm số $f(x)$ không có giá trị lớn nhất trên khoảng $(-\infty;0)$. Phần b) Xác định khoảng đồng biến của hàm số $f(x)$ Ta đã tính đạo hàm của $f(x)$: \[ f'(x) = \frac{2x - 3}{x^2 - 3x} \] Để hàm số đồng biến, ta cần: \[ f'(x) > 0 \] \[ \frac{2x - 3}{x^2 - 3x} > 0 \] Xét dấu của tử số và mẫu số: - Tử số: $2x - 3$ - Mẫu số: $x^2 - 3x = x(x - 3)$ Tạo bảng xét dấu: | | $x < 0$ | $0 < x < 3$ | $x > 3$ | |---|---------|-------------|---------| | $2x - 3$ | - | - | + | | $x(x - 3)$ | + | - | + | Từ bảng xét dấu, ta thấy: - Khi $x < 0$, cả tử số và mẫu số đều âm, nên $\frac{2x - 3}{x^2 - 3x} > 0$. - Khi $0 < x < 3$, tử số âm và mẫu số âm, nên $\frac{2x - 3}{x^2 - 3x} < 0$. - Khi $x > 3$, cả tử số và mẫu số đều dương, nên $\frac{2x - 3}{x^2 - 3x} > 0$. Do đó, hàm số $f(x)$ đồng biến trên các khoảng: \[ (-\infty;0) \text{ và } (3;+\infty) \] Phần c) Tính $f(x)$ tại $x = 2$ Thay $x = 2$ vào hàm số: \[ f(2) = \ln(2^2 - 3 \cdot 2) + \frac{\pi}{2} \] \[ f(2) = \ln(4 - 6) + \frac{\pi}{2} \] \[ f(2) = \ln(-2) + \frac{\pi}{2} \] Tuy nhiên, $\ln(-2)$ không xác định vì đối số của hàm lôgarit phải dương. Do đó, $f(2)$ không xác định. Phần d) Tính $f(2)$ Như đã nói ở phần c), $f(2)$ không xác định vì $\ln(-2)$ không tồn tại. Kết luận - Giá trị lớn nhất của hàm số $f(x)$ trên khoảng $(-\infty;0)$ là không tồn tại. - Hàm số $f(x)$ đồng biến trên các khoảng $(-\infty;0)$ và $(3;+\infty)$. - $f(2)$ không xác định. Câu 2. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tính khoảng cách đã đi được trong 3 giây đầu tiên: - Vận tốc ban đầu của xe là 54 km/h, đổi ra m/s: \[ v_0 = 54 \times \frac{1000}{3600} = 15 \text{ m/s} \] - Khoảng cách xe đi được trong 3 giây đầu tiên: \[ s_1 = v_0 \times t = 15 \times 3 = 45 \text{ m} \] 2. Tính khoảng cách còn lại đến giao lộ sau 3 giây: - Khoảng cách ban đầu là 180 m, sau 3 giây xe đã đi được 45 m: \[ s_{\text{còn lại}} = 180 - 45 = 135 \text{ m} \] 3. Tính thời gian còn lại để xe đến giao lộ: - Thời gian tổng cộng để đèn chuyển sang màu đỏ là 15 giây, đã trôi qua 3 giây: \[ t_{\text{còn lại}} = 15 - 3 = 12 \text{ giây} \] 4. Tính vận tốc của xe khi đến giao lộ: - Gia tốc của xe là \(a = 0,8 \text{ m/s}^2\). Vận tốc của xe sau 12 giây tăng tốc: \[ v = v_0 + a \times t = 15 + 0,8 \times 12 = 15 + 9,6 = 24,6 \text{ m/s} \] 5. Kiểm tra xem xe có vi phạm giới hạn tốc độ hay không: - Giới hạn tốc độ là 70 km/h, đổi ra m/s: \[ v_{\text{giới hạn}} = 70 \times \frac{1000}{3600} = 19,44 \text{ m/s} \] - Vận tốc của xe khi đến giao lộ là 24,6 m/s, lớn hơn giới hạn tốc độ 19,44 m/s, nên xe vi phạm giới hạn tốc độ. 6. Kiểm tra thời gian xe vượt qua giao lộ: - Thời gian xe vượt qua giao lộ là 12 giây, đèn chuyển sang màu đỏ sau 15 giây, nên xe vượt qua giao lộ trước khi đèn chuyển sang màu đỏ. Kết luận: - Đáp án đúng là: b) Tại thời điểm xe vượt qua giao lộ đèn giao thông, xe không vi phạm lỗi quá tốc độ. - Tuy nhiên, theo tính toán, xe vi phạm giới hạn tốc độ khi đến giao lộ. Do đó, đáp án này không chính xác. Chúng ta cần kiểm tra lại các điều kiện khác. Đáp án cuối cùng: - Đáp án đúng là: a) Xe vượt qua giao lộ khi còn hơn 3 giây nữa đèn mới chuyển sang màu đỏ. - Vì xe vượt qua giao lộ trước khi đèn chuyển sang màu đỏ và không vi phạm giới hạn tốc độ.