Giải hộ mình câu này với các bạn

Bài 20) Trong tam giác ABC vuông tại A, ta có: - $\sin B = \frac{AC}{BC}$ - $\sin C = \frac{AB}{BC}$ Do đó, ta có: \[ \frac{\sin B}{\sin C} = \frac{\frac{AC}{BC}}{\frac{AB}{BC}} = \frac{AC}{AB} \] Vậy ta đã chứng minh được: \[ \frac{AC}{AB} = \frac{\sin B}{\sin C} \] Bài 21) Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các công thức liên quan đến tam giác vuông và góc. a) Tính AB và BC Bước 1: Xác định các góc - Tam giác ABC vuông ở A, nên góc A = 90°. - Góc B = 50°. - Góc C = 90° - 50° = 40°. Bước 2: Tính AB Ta sử dụng công thức: \[ \cos(B) = \frac{AB}{BC} \] Tuy nhiên, để tính AB, ta cần biết BC. Ta sẽ tính BC trước. Bước 3: Tính BC Ta sử dụng công thức: \[ \sin(B) = \frac{AC}{BC} \] \[ \sin(50°) = \frac{15}{BC} \] \[ BC = \frac{15}{\sin(50°)} \] Lấy giá trị của sin(50°) ≈ 0.766: \[ BC = \frac{15}{0.766} \approx 19.58 \text{ cm} \] Bước 4: Tính AB \[ \cos(50°) = \frac{AB}{BC} \] \[ \cos(50°) = \frac{AB}{19.58} \] Lấy giá trị của cos(50°) ≈ 0.643: \[ AB = 19.58 \times 0.643 \approx 12.61 \text{ cm} \] b) Tính phân giác CD Phân giác của góc C chia đôi góc C thành hai góc bằng nhau, mỗi góc là 20°. Bước 1: Xác định các góc - Góc DCA = 20°. - Góc DCB = 20°. Bước 2: Tính CD Ta sử dụng công thức: \[ \cos(DCA) = \frac{CD}{AC} \] \[ \cos(20°) = \frac{CD}{15} \] Lấy giá trị của cos(20°) ≈ 0.94: \[ CD = 15 \times 0.94 \approx 14.1 \text{ cm} \] Đáp số a) AB ≈ 12.61 cm, BC ≈ 19.58 cm b) CD ≈ 14.1 cm Bài 22) Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: a) Tính độ dài BC 1. Xác định góc BAC: Vì tam giác ABC vuông tại A, nên góc BAC = 90°. 2. Tính góc ABC: Tổng các góc trong tam giác là 180°: \[ \angle ABC = 180^\circ - \angle BAC - \angle ACB = 180^\circ - 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ \] 3. Áp dụng công thức sin trong tam giác vuông: \[ \sin(\angle ACB) = \frac{AB}{BC} \] Thay các giá trị đã biết vào: \[ \sin(40^\circ) = \frac{10}{BC} \] Giải phương trình để tìm BC: \[ BC = \frac{10}{\sin(40^\circ)} \] Sử dụng máy tính để tính giá trị của $\sin(40^\circ)$: \[ \sin(40^\circ) \approx 0.6428 \] Do đó: \[ BC \approx \frac{10}{0.6428} \approx 15.55 \text{ cm} \] b) Tính độ dài AD 1. Xác định góc ABD và DBC: Vì BD là tia phân giác của góc ABC, nên: \[ \angle ABD = \angle DBC = \frac{\angle ABC}{2} = \frac{50^\circ}{2} = 25^\circ \] 2. Áp dụng tỉ lệ trong tam giác phân giác: Trong tam giác ABC, tia phân giác BD chia cạnh AC thành hai đoạn tỉ lệ với hai cạnh kề góc B: \[ \frac{AD}{DC} = \frac{AB}{BC} \] Thay các giá trị đã biết vào: \[ \frac{AD}{DC} = \frac{10}{15.55} \] Gọi AD = x và DC = y, ta có: \[ \frac{x}{y} = \frac{10}{15.55} \] Biến đổi phương trình: \[ x = \frac{10}{15.55} y \] 3. Tổng của AD và DC: Vì AC = AD + DC, ta có: \[ AC = x + y \] Ta biết AC = 10 cm (vì tam giác ABC vuông tại A và AC là cạnh kề góc BAC): \[ 10 = x + y \] Thay x = \frac{10}{15.55} y vào phương trình trên: \[ 10 = \frac{10}{15.55} y + y \] Nhân cả hai vế với 15.55 để loại bỏ mẫu số: \[ 10 \times 15.55 = 10y + 15.55y \] \[ 155.5 = 25.55y \] Giải phương trình để tìm y: \[ y = \frac{155.5}{25.55} \approx 6.1 \text{ cm} \] Thay y vào phương trình x = \frac{10}{15.55} y: \[ x = \frac{10}{15.55} \times 6.1 \approx 3.9 \text{ cm} \] Vậy độ dài AD là khoảng 3.9 cm. Đáp số: a) Độ dài BC ≈ 15.55 cm b) Độ dài AD ≈ 3.9 cm Bài 23) a) Ta có: $AB^{2}+AC^{2}=6^{2}+8^{2}=100=BC^{2}$ $\Rightarrow \Delta ABC$ vuông tại A. b) Vẽ đường cao AH của $\Delta ABC.$ Ta có: $AH=\frac{AB\times AC}{BC}=\frac{6\times 8}{10}=4,8(cm)$ $BH=\sqrt{AB^{2}-AH^{2}}=\sqrt{6^{2}-4,8^{2}}=3,6(cm)$ c) Ta có: $\sin B=\frac{AC}{BC}=\frac{8}{10}=0,8$ $\Rightarrow \widehat{B}\approx 53^{\circ}13'$ $\widehat{C}=90^{\circ}-\widehat{B}\approx 36^{\circ}47'$ d) Ta có: $\cos B=\frac{BH}{BC}=\frac{3,6}{10}=0,36$ $\cos C=\frac{CH}{BC}=\frac{6,4}{10}=0,64$ $\Rightarrow AB\times \cos B+AC\times \cos C=6\times 0,36+8\times 0,64=10=BC$ e) Gọi M là trung điểm AC. Ta có: $BM=\sqrt{AB^{2}+(\frac{AC}{2})^{2}}=\sqrt{6^{2}+(4)^{2}}=2\sqrt{13}(cm)$ f) Gọi CD là tia phân giác của góc C. Ta có: $\frac{DA}{DB}=\frac{CA}{CB}=\frac{4}{5}$ $\Rightarrow DB=\frac{5}{9}\times 10=\frac{50}{9}(cm)$ $DA=10-DB=\frac{40}{9}(cm)$ $CD=\sqrt{CA^{2}+DA^{2}}=\sqrt{8^{2}+(\frac{40}{9})^{2}}=\frac{8\sqrt{109}}{9}(cm)$ Bài 24) a) Ta có: $AB^{2}+AC^{2}=8^{2}+15^{2}=289=17^{2}=BC^{2}$ Do đó, theo định lý Pythagoras đảo, $\Delta ABC$ là tam giác vuông tại A. b) Vẽ đường cao AH của $\Delta ABC$. Diện tích của $\Delta ABC$ là: \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times 8 \times 15 = 60 \text{ cm}^2 \] Diện tích của $\Delta ABC$ cũng có thể được tính qua đường cao AH: \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \times BC \times AH = \frac{1}{2} \times 17 \times AH = 60 \] \[ AH = \frac{120}{17} \approx 7.06 \text{ cm} \] Áp dụng định lý Pythagoras trong $\Delta ABH$: \[ BH = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{8^2 - \left(\frac{120}{17}\right)^2} = \sqrt{64 - \left(\frac{14400}{289}\right)} = \sqrt{\frac{18496 - 14400}{289}} = \sqrt{\frac{4096}{289}} = \frac{64}{17} \approx 3.76 \text{ cm} \] c) Tính số đo góc B và C: \[ \tan B = \frac{AH}{BH} = \frac{\frac{120}{17}}{\frac{64}{17}} = \frac{120}{64} = \frac{15}{8} \] \[ B \approx \arctan \left( \frac{15}{8} \right) \approx 61^\circ 34' \] \[ \tan C = \frac{AH}{CH} = \frac{\frac{120}{17}}{17 - \frac{64}{17}} = \frac{\frac{120}{17}}{\frac{289 - 64}{17}} = \frac{120}{225} = \frac{8}{15} \] \[ C \approx \arctan \left( \frac{8}{15} \right) \approx 28^\circ 26' \] d) Chứng minh $AB \cdot \sin C + AC \cdot \sin B = BC$: \[ \sin C = \frac{AH}{AC} = \frac{\frac{120}{17}}{15} = \frac{120}{255} = \frac{8}{17} \] \[ \sin B = \frac{AH}{AB} = \frac{\frac{120}{17}}{8} = \frac{120}{136} = \frac{15}{17} \] Do đó: \[ AB \cdot \sin C + AC \cdot \sin B = 8 \cdot \frac{8}{17} + 15 \cdot \frac{15}{17} = \frac{64}{17} + \frac{225}{17} = \frac{289}{17} = 17 = BC \] Điều này chứng minh rằng $AB \cdot \sin C + AC \cdot \sin B = BC$.