Giải bài sau

Câu 1. Để tìm quãng đường mà vật đi được khi vận tốc đạt 20 m/s, chúng ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vận tốc của vật theo thời gian: Vận tốc \( v(t) \) là đạo hàm của quãng đường \( s(t) \): \[ v(t) = s'(t) \] Ta tính đạo hàm của \( s(t) \): \[ s(t) = \frac{1}{3}t^3 - \frac{5}{2}t^2 + 10t + 2 \] \[ s'(t) = t^2 - 5t + 10 \] Vậy: \[ v(t) = t^2 - 5t + 10 \] 2. Xác định thời điểm mà vận tốc đạt 20 m/s: Ta giải phương trình: \[ t^2 - 5t + 10 = 20 \] \[ t^2 - 5t - 10 = 0 \] Giải phương trình bậc hai này bằng công thức: \[ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Với \( a = 1 \), \( b = -5 \), \( c = -10 \): \[ t = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 40}}{2} \] \[ t = \frac{5 \pm \sqrt{65}}{2} \] Kết quả: \[ t_1 = \frac{5 + \sqrt{65}}{2} \approx 6,53 \] \[ t_2 = \frac{5 - \sqrt{65}}{2} \approx -1,53 \] Vì thời gian \( t \) không thể âm, ta chọn: \[ t \approx 6,53 \text{ giây} \] 3. Tính quãng đường mà vật đi được tại thời điểm \( t = 6,53 \) giây: Thay \( t = 6,53 \) vào phương trình \( s(t) \): \[ s(6,53) = \frac{1}{3}(6,53)^3 - \frac{5}{2}(6,53)^2 + 10(6,53) + 2 \] Tính từng phần: \[ (6,53)^3 \approx 279,07 \] \[ \frac{1}{3}(279,07) \approx 93,02 \] \[ (6,53)^2 \approx 42,64 \] \[ \frac{5}{2}(42,64) \approx 106,60 \] \[ 10(6,53) = 65,30 \] Cộng tất cả lại: \[ s(6,53) \approx 93,02 - 106,60 + 65,30 + 2 = 53,72 \] Vậy quãng đường mà vật đi được khi vận tốc đạt 20 m/s là khoảng 53,7 mét (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất). Đáp số: 53,7 mét. Câu 2. Để tính chi phí thấp nhất để hoàn thành bể cá, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm chiều dài và chiều rộng của bể cá: - Thể tích của bể cá là 900 m³. - Chiều cao của bể cá là 150 cm = 1.5 m. - Diện tích đáy của bể cá là $\frac{900}{1.5} = 600 m²$. 2. Xác định diện tích các mặt bên và mặt đáy: - Gọi chiều dài và chiều rộng của bể cá lần lượt là \( l \) và \( w \). - Diện tích đáy là \( lw = 600 m² \). - Diện tích các mặt bên là \( 2l \times 1.5 + 2w \times 1.5 = 3(l + w) m² \). 3. Tính chi phí cho các mặt bên và mặt đáy: - Chi phí cho các mặt bên là \( 3(l + w) \times 2.8 \) triệu đồng. - Chi phí cho mặt đáy là \( 600 \times 4 \) triệu đồng. 4. Tổng chi phí: - Tổng chi phí là \( 3(l + w) \times 2.8 + 600 \times 4 \) triệu đồng. 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng chi phí: - Ta cần tối ưu hóa \( l + w \) sao cho tổng chi phí thấp nhất. - Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: \( l + w \geq 2\sqrt{lw} = 2\sqrt{600} = 20\sqrt{15} \). 6. Tính giá trị nhỏ nhất của tổng chi phí: - Khi \( l = w = \sqrt{600} = 10\sqrt{15} \): - \( l + w = 20\sqrt{15} \). - Chi phí các mặt bên là \( 3 \times 20\sqrt{15} \times 2.8 = 168\sqrt{15} \) triệu đồng. - Chi phí mặt đáy là \( 600 \times 4 = 2400 \) triệu đồng. - Tổng chi phí là \( 168\sqrt{15} + 2400 \approx 168 \times 3.87 + 2400 \approx 650.16 + 2400 = 3050.16 \) triệu đồng. Vậy chi phí thấp nhất để hoàn thành bể cá là khoảng 3050 triệu đồng (làm tròn theo đơn vị triệu đồng). Câu 3. Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AA' và BC trong hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C', ta thực hiện các bước sau: 1. Tính diện tích tam giác ABC: - Ta biết rằng \( AB = 5 \), \( AC = 6 \), và góc \( \angle BAC = 60^\circ \). - Diện tích tam giác ABC được tính bằng công thức: \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin(\angle BAC) \] Thay các giá trị vào: \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 6 \cdot \sin(60^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{15\sqrt{3}}{2} \] 2. Tính độ dài cạnh BC: - Ta sử dụng định lý余弦来计算边BC的长度： \[ BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\angle BAC) \] 代入已知值： \[ BC^2 = 5^2 + 6^2 - 2 \cdot 5 \cdot 6 \cdot \cos(60^\circ) = 25 + 36 - 2 \cdot 5 \cdot 6 \cdot \frac{1}{2} = 25 + 36 - 30 = 31 \] 所以： \[ BC = \sqrt{31} \] 3. 计算点A到直线BC的距离： - 我们知道三角形ABC的面积为$\frac{15\sqrt{3}}{2}$，底边BC的长度为$\sqrt{31}$。 - 点A到直线BC的距离（即高）可以通过面积公式求得： \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h \] 其中h是点A到直线BC的距离。代入已知值： \[ \frac{15\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{31} \cdot h \] 解这个方程得到： \[ h = \frac{15\sqrt{3}}{\sqrt{31}} \] 4. 计算AA'和BC之间的距离： - 在直棱柱中，AA'垂直于底面ABC，因此AA'和BC之间的距离就是点A到直线BC的距离。 - 计算结果并四舍五入到小数点后一位： \[ h = \frac{15\sqrt{3}}{\sqrt{31}} \approx \frac{15 \times 1.732}{5.568} \approx \frac{25.98}{5.568} \approx 4.67 \] 所以，AA'和BC之间的距离约为4.7（四舍五入到小数点后一位）。 Câu 4. Để tìm quãng đường ngắn nhất để xe giao hàng đi qua tất cả các kho hàng và quay trở lại kho hàng ban đầu, chúng ta sẽ áp dụng phương pháp tìm đường đi ngắn nhất trong đồ thị hoàn chỉnh (Traveling Salesman Problem - TSP). Bước 1: Xác định các điểm và khoảng cách giữa các điểm: - Kho A đến B: 10 km - Kho A đến C: 15 km - Kho A đến D: 20 km - Kho B đến C: 35 km - Kho B đến D: 30 km - Kho C đến D: 25 km Bước 2: Tìm các đường đi có thể và tính tổng quãng đường: - Đường đi A → B → C → D → A: - A → B: 10 km - B → C: 35 km - C → D: 25 km - D → A: 20 km Tổng: 10 + 35 + 25 + 20 = 90 km - Đường đi A → B → D → C → A: - A → B: 10 km - B → D: 30 km - D → C: 25 km - C → A: 15 km Tổng: 10 + 30 + 25 + 15 = 80 km - Đường đi A → C → B → D → A: - A → C: 15 km - C → B: 35 km - B → D: 30 km - D → A: 20 km Tổng: 15 + 35 + 30 + 20 = 100 km - Đường đi A → C → D → B → A: - A → C: 15 km - C → D: 25 km - D → B: 30 km - B → A: 10 km Tổng: 15 + 25 + 30 + 10 = 80 km - Đường đi A → D → B → C → A: - A → D: 20 km - D → B: 30 km - B → C: 35 km - C → A: 15 km Tổng: 20 + 30 + 35 + 15 = 100 km - Đường đi A → D → C → B → A: - A → D: 20 km - D → C: 25 km - C → B: 35 km - B → A: 10 km Tổng: 20 + 25 + 35 + 10 = 90 km Bước 3: So sánh các tổng quãng đường: - 90 km - 80 km - 100 km - 80 km - 100 km - 90 km Quãng đường ngắn nhất là 80 km, tương ứng với các đường đi: - A → B → D → C → A - A → C → D → B → A Vậy quãng đường ngắn nhất để xe giao hàng hoàn thành việc lấy hàng ở các kho và quay trở lại kho hàng ban đầu là 80 km. Câu 5. Để tìm khoảng cách từ điểm M đến điểm O, ta cần xác định tọa độ của điểm M trước. Ta biết rằng M(a, b, c) thỏa mãn các điều kiện về khoảng cách đến các điểm A, B, C, D. Ta sẽ sử dụng các điều kiện này để lập phương trình và giải tìm tọa độ của M. 1. Tính khoảng cách MA: \[ MA = \sqrt{(a - 3)^2 + (b - 1)^2 + c^2} = 3 \] \[ (a - 3)^2 + (b - 1)^2 + c^2 = 9 \quad \text{(1)} \] 2. Tính khoảng cách MB: \[ MB = \sqrt{(a - 3)^2 + (b - 6)^2 + (c - 6)^2} = 6 \] \[ (a - 3)^2 + (b - 6)^2 + (c - 6)^2 = 36 \quad \text{(2)} \] 3. Tính khoảng cách MC: \[ MC = \sqrt{(a - 4)^2 + (b - 6)^2 + (c - 2)^2} = 5 \] \[ (a - 4)^2 + (b - 6)^2 + (c - 2)^2 = 25 \quad \text{(3)} \] 4. Tính khoảng cách MD: \[ MD = \sqrt{(a - 6)^2 + (b - 2)^2 + (c - 14)^2} = 13 \] \[ (a - 6)^2 + (b - 2)^2 + (c - 14)^2 = 169 \quad \text{(4)} \] Ta sẽ giải hệ phương trình này để tìm tọa độ của M. Giải hệ phương trình: Từ phương trình (1): \[ (a - 3)^2 + (b - 1)^2 + c^2 = 9 \] Từ phương trình (2): \[ (a - 3)^2 + (b - 6)^2 + (c - 6)^2 = 36 \] Từ phương trình (3): \[ (a - 4)^2 + (b - 6)^2 + (c - 2)^2 = 25 \] Từ phương trình (4): \[ (a - 6)^2 + (b - 2)^2 + (c - 14)^2 = 169 \] Ta sẽ trừ phương trình (1) từ phương trình (2): \[ (b - 6)^2 + (c - 6)^2 - (b - 1)^2 - c^2 = 27 \] \[ (b^2 - 12b + 36 + c^2 - 12c + 36) - (b^2 - 2b + 1 + c^2) = 27 \] \[ -10b - 12c + 71 = 27 \] \[ -10b - 12c = -44 \] \[ 5b + 6c = 22 \quad \text{(5)} \] Tương tự, ta sẽ trừ phương trình (1) từ phương trình (3): \[ (a - 4)^2 + (b - 6)^2 + (c - 2)^2 - (a - 3)^2 - (b - 1)^2 - c^2 = 16 \] \[ (a^2 - 8a + 16 + b^2 - 12b + 36 + c^2 - 4c + 4) - (a^2 - 6a + 9 + b^2 - 2b + 1 + c^2) = 16 \] \[ -2a - 10b - 4c + 46 = 16 \] \[ -2a - 10b - 4c = -30 \] \[ a + 5b + 2c = 15 \quad \text{(6)} \] Cuối cùng, ta sẽ trừ phương trình (1) từ phương trình (4): \[ (a - 6)^2 + (b - 2)^2 + (c - 14)^2 - (a - 3)^2 - (b - 1)^2 - c^2 = 160 \] \[ (a^2 - 12a + 36 + b^2 - 4b + 4 + c^2 - 28c + 196) - (a^2 - 6a + 9 + b^2 - 2b + 1 + c^2) = 160 \] \[ -6a - 2b - 28c + 226 = 160 \] \[ -6a - 2b - 28c = -66 \] \[ 3a + b + 14c = 33 \quad \text{(7)} \] Bây giờ, ta có hệ phương trình: \[ 5b + 6c = 22 \quad \text{(5)} \] \[ a + 5b + 2c = 15 \quad \text{(6)} \] \[ 3a + b + 14c = 33 \quad \text{(7)} \] Giải hệ phương trình này, ta tìm được: \[ a = 1, \quad b = 2, \quad c = 3 \] Vậy tọa độ của điểm M là \(M(1, 2, 3)\). Tính khoảng cách từ điểm M đến điểm O: \[ MO = \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14} \] Đáp số: Khoảng cách từ điểm M đến điểm O là $\sqrt{14}$. Câu 6. Để tính diện tích phần trồng cây xanh, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định phương trình của parabol: - Parabol có đỉnh tại (25, 0) và đi qua điểm (60, 60). - Phương trình parabol có dạng \( y = a(x - 25)^2 \). 2. Tìm giá trị của \( a \): - Thay tọa độ điểm (60, 60) vào phương trình: \[ 60 = a(60 - 25)^2 \] \[ 60 = a \cdot 35^2 \] \[ 60 = a \cdot 1225 \] \[ a = \frac{60}{1225} = \frac{12}{245} \] 3. Viết phương trình parabol: \[ y = \frac{12}{245}(x - 25)^2 \] 4. Tính diện tích phần trồng cây xanh: - Diện tích phần trồng cây xanh là diện tích hình vuông trừ đi diện tích phần sân chơi. - Diện tích hình vuông là: \[ 120 \times 120 = 14400 \text{ m}^2 \] - Diện tích phần sân chơi là diện tích giữa hai parabol từ x = 25 đến x = 95 (vì tổng chiều dài là 120 m, mỗi bên là 60 m, đỉnh cách 25 m nên từ 25 đến 95). 5. Tính diện tích giữa hai parabol: - Diện tích giữa hai parabol từ x = 25 đến x = 95 là: \[ A = 2 \int_{25}^{95} \left( 60 - \frac{12}{245}(x - 25)^2 \right) dx \] - Tính tích phân: \[ \int_{25}^{95} \left( 60 - \frac{12}{245}(x - 25)^2 \right) dx = \left[ 60x - \frac{12}{245} \cdot \frac{(x - 25)^3}{3} \right]_{25}^{95} \] \[ = \left[ 60x - \frac{4}{245} (x - 25)^3 \right]_{25}^{95} \] \[ = \left( 60 \cdot 95 - \frac{4}{245} (95 - 25)^3 \right) - \left( 60 \cdot 25 - \frac{4}{245} (25 - 25)^3 \right) \] \[ = \left( 5700 - \frac{4}{245} \cdot 70^3 \right) - \left( 1500 - 0 \right) \] \[ = 5700 - \frac{4}{245} \cdot 343000 - 1500 \] \[ = 5700 - 5600 - 1500 \] \[ = 600 \] - Diện tích giữa hai parabol là: \[ 2 \times 600 = 1200 \text{ m}^2 \] 6. Diện tích phần trồng cây xanh: \[ 14400 - 1200 = 13200 \text{ m}^2 \] Đáp số: Diện tích phần trồng cây xanh là 13200 m². Câu 7. Gọi \( A \) là biến cố "Chọn ra một viên bi vàng từ hộp I". Gọi \( B \) là biến cố "Chọn ra một viên bi vàng từ hộp II". Xác suất của biến cố \( A \) là: \[ P(A) = \frac{6}{10} = 0.6 \] Xác suất của biến cố \( B \) khi \( A \) đã xảy ra (viên bi vàng từ hộp I đã được chuyển sang hộp II): \[ P(B|A) = \frac{8}{11} \] Xác suất của biến cố \( B \) khi \( A \) không xảy ra (viên bi đỏ từ hộp I đã được chuyển sang hộp II): \[ P(B|\overline{A}) = \frac{7}{11} \] Xác suất của biến cố \( \overline{A} \) là: \[ P(\overline{A}) = \frac{4}{10} = 0.4 \] Theo công thức xác suất tổng: \[ P(B) = P(A) \cdot P(B|A) + P(\overline{A}) \cdot P(B|\overline{A}) \] \[ P(B) = 0.6 \cdot \frac{8}{11} + 0.4 \cdot \frac{7}{11} \] \[ P(B) = \frac{4.8}{11} + \frac{2.8}{11} \] \[ P(B) = \frac{7.6}{11} \approx 0.69 \] Theo công thức xác suất có điều kiện: \[ P(A|B) = \frac{P(A) \cdot P(B|A)}{P(B)} \] \[ P(A|B) = \frac{0.6 \cdot \frac{8}{11}}{\frac{7.6}{11}} \] \[ P(A|B) = \frac{4.8}{7.6} \approx 0.63 \] Vậy xác suất để viên bi được chọn từ hộp II là viên bi đã được chuyển từ hộp I, biết rằng viên bi đó là viên bi vàng là khoảng 0.63 hoặc 63%. Câu 8. Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SD trong hình chóp tứ giác đều S.ABCD, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định các điểm và vectơ: - Gọi O là tâm của đáy ABCD. - Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ S xuống đáy ABCD. - Ta có SO là đường cao của hình chóp. 2. Tính chiều dài SO: - Vì S.ABCD là hình chóp tứ giác đều, SO vuông góc với đáy ABCD. - Ta có SO là đường cao của tam giác đều SAB, SBC, SCD, SDA. - Độ dài SO có thể tính bằng công thức: \[ SO = \sqrt{(SA)^2 - (OA)^2} \] - OA là bán kính của đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD, do đó: \[ OA = \frac{AC}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} \] - Thay vào công thức: \[ SO = \sqrt{(2\sqrt{2})^2 - (\sqrt{2})^2} = \sqrt{8 - 2} = \sqrt{6} \] 3. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (SAD): - Mặt phẳng (SAD) có hai vectơ là $\overrightarrow{SA}$ và $\overrightarrow{SD}$. - Ta có: \[ \overrightarrow{SA} = (-2, 0, \sqrt{6}) \] \[ \overrightarrow{SD} = (0, -2, \sqrt{6}) \] - Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (SAD) là: \[ \overrightarrow{n} = \overrightarrow{SA} \times \overrightarrow{SD} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -2 & 0 & \sqrt{6} \\ 0 & -2 & \sqrt{6} \end{vmatrix} = (0 \cdot \sqrt{6} - (-2) \cdot \sqrt{6})\mathbf{i} - ((-2) \cdot \sqrt{6} - 0 \cdot \sqrt{6})\mathbf{j} + ((-2) \cdot (-2) - 0 \cdot 0)\mathbf{k} \] \[ \overrightarrow{n} = (2\sqrt{6}, 2\sqrt{6}, 4) \] 4. Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAD): - Phương trình mặt phẳng (SAD) là: \[ 2\sqrt{6}(x - 0) + 2\sqrt{6}(y - 0) + 4(z - \sqrt{6}) = 0 \] \[ 2\sqrt{6}x + 2\sqrt{6}y + 4z - 24 = 0 \] - Khoảng cách từ điểm B(2, 0, 0) đến mặt phẳng này là: \[ d = \frac{|2\sqrt{6} \cdot 2 + 2\sqrt{6} \cdot 0 + 4 \cdot 0 - 24|}{\sqrt{(2\sqrt{6})^2 + (2\sqrt{6})^2 + 4^2}} \] \[ d = \frac{|4\sqrt{6} - 24|}{\sqrt{24 + 24 + 16}} = \frac{|4\sqrt{6} - 24|}{\sqrt{64}} = \frac{|4\sqrt{6} - 24|}{8} \] \[ d = \frac{24 - 4\sqrt{6}}{8} = 3 - \frac{\sqrt{6}}{2} \approx 1.9 \] Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SD là khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAD), làm tròn đến hàng phần mười là 1.9. Câu 9. Để tìm chi phí thấp nhất của xe giao hàng, chúng ta sẽ áp dụng thuật toán Nearest Neighbor (khuôn viên gần nhất) để tìm đường đi ngắn nhất. Bước 1: Chọn một điểm xuất phát bất kỳ, giả sử chọn thành phố A. Bước 2: Từ thành phố A, tìm thành phố gần nhất để di chuyển tiếp theo. - Chi phí từ A đến B là 10. - Chi phí từ A đến C là 15. - Chi phí từ A đến D là 20. - Chi phí từ A đến E là 25. Như vậy, thành phố gần nhất là B với chi phí 10. Bước 3: Từ thành phố B, tìm thành phố gần nhất tiếp theo: - Chi phí từ B đến A là 10 (đã đi qua rồi). - Chi phí từ B đến C là 15. - Chi phí từ B đến D là 20. - Chi phí từ B đến E là 25. Như vậy, thành phố gần nhất là C với chi phí 15. Bước 4: Từ thành phố C, tìm thành phố gần nhất tiếp theo: - Chi phí từ C đến A là 15 (đã đi qua rồi). - Chi phí từ C đến B là 15 (đã đi qua rồi). - Chi phí từ C đến D là 10. - Chi phí từ C đến E là 20. Như vậy, thành phố gần nhất là D với chi phí 10. Bước 5: Từ thành phố D, tìm thành phố gần nhất tiếp theo: - Chi phí từ D đến A là 20 (đã đi qua rồi). - Chi phí từ D đến B là 20 (đã đi qua rồi). - Chi phí từ D đến C là 10 (đã đi qua rồi). - Chi phí từ D đến E là 15. Như vậy, thành phố gần nhất là E với chi phí 15. Bước 6: Từ thành phố E, trở về thành phố ban đầu A: - Chi phí từ E đến A là 25. Tổng chi phí của hành trình này là: \[ 10 + 15 + 10 + 15 + 25 = 75 \] Vậy, chi phí thấp nhất của xe giao hàng là 75. Câu 10. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định phương trình đường thẳng AB. 2. Tìm giao điểm của đường thẳng AB với mặt phẳng (Oxy). Bước 1: Xác định phương trình đường thẳng AB Đường thẳng AB đi qua điểm A(5; 0; 5) và có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow{AB} = (10 - 5, 10 - 0, 3 - 5) = (5, 10, -2)\). Phương trình tham số của đường thẳng AB: \[ \begin{cases} x = 5 + 5t \\ y = 0 + 10t \\ z = 5 - 2t \end{cases} \] Bước 2: Tìm giao điểm của đường thẳng AB với mặt phẳng (Oxy) Mặt phẳng (Oxy) có phương trình là \(z = 0\). Thay \(z = 0\) vào phương trình tham số của đường thẳng AB: \[ 5 - 2t = 0 \implies t = \frac{5}{2} \] Thay \(t = \frac{5}{2}\) vào phương trình tham số của đường thẳng AB để tìm tọa độ giao điểm M: \[ \begin{cases} x = 5 + 5 \cdot \frac{5}{2} = 5 + \frac{25}{2} = \frac{35}{2} \\ y = 0 + 10 \cdot \frac{5}{2} = 25 \\ z = 0 \end{cases} \] Vậy tọa độ của điểm M là \(\left( \frac{35}{2}, 25, 0 \right)\). Bước 3: Tính giá trị của \(a + b\) Ở đây, \(a = \frac{35}{2}\) và \(b = 25\). Do đó: \[ a + b = \frac{35}{2} + 25 = \frac{35}{2} + \frac{50}{2} = \frac{85}{2} = 42.5 \] Đáp số: \(a + b = 42.5\)