Giả sử p và q là các số nguyên tố thỏa mãn đẳng thức p(p - 1) = q(q² - 1). Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương k sao cho p - 1 = qk; q² - 1 =kp.

Để chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương k sao cho p - 1 = qk và q² - 1 = kp, ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xét p = 2 - Thay p = 2 vào đẳng thức p(p - 1) = q(q² - 1): 2(2 - 1) = q(q² - 1) 2 = q(q² - 1) - Ta thấy rằng q(q² - 1) phải bằng 2. Do đó, q phải là số nguyên tố chia hết cho 2, tức là q = 2. - Thay q = 2 vào q(q² - 1): 2(2² - 1) = 2(4 - 1) = 2 × 3 = 6 - Điều này mâu thuẫn với 2 = q(q² - 1). Vậy p không thể bằng 2. Bước 2: Xét p > 2 - Vì p là số nguyên tố lớn hơn 2, nên p là số lẻ. - Do đó, p - 1 là số chẵn. Bước 3: Xét q = 2 - Thay q = 2 vào đẳng thức p(p - 1) = q(q² - 1): p(p - 1) = 2(2² - 1) p(p - 1) = 2(4 - 1) p(p - 1) = 2 × 3 p(p - 1) = 6 - Ta thấy rằng p(p - 1) phải bằng 6. Do đó, p phải là số nguyên tố chia hết cho 6, tức là p = 3. - Thay p = 3 vào p(p - 1): 3(3 - 1) = 3 × 2 = 6 - Điều này đúng. Vậy p = 3 và q = 2. Bước 4: Tìm số nguyên dương k - Ta có p - 1 = 3 - 1 = 2 - Ta có q² - 1 = 2² - 1 = 4 - 1 = 3 - Để p - 1 = qk và q² - 1 = kp, ta cần tìm k sao cho: 2 = 2k 3 = 3k - Từ 2 = 2k, ta có k = 1. - Từ 3 = 3k, ta cũng có k = 1. Vậy, tồn tại số nguyên dương k = 1 sao cho p - 1 = qk và q² - 1 = kp. Đáp số: k = 1