giải chi tiết

Câu 4. Gọi \( A \) là biến cố "Chọn được xạ thủ hạng I", \( B \) là biến cố "Chọn được xạ thủ hạng II", \( C \) là biến cố "Xạ thủ bắn 2 viên đạn chỉ có một viên trúng đích". Ta có: - \( P(A) = \frac{4}{10} = 0,4 \) - \( P(B) = \frac{6}{10} = 0,6 \) Xác suất để xạ thủ hạng I bắn 2 viên đạn chỉ có một viên trúng đích là: \[ P(C|A) = 2 \times 0,8 \times (1 - 0,8) = 2 \times 0,8 \times 0,2 = 0,32 \] Xác suất để xạ thủ hạng II bắn 2 viên đạn chỉ có một viên trúng đích là: \[ P(C|B) = 2 \times 0,7 \times (1 - 0,7) = 2 \times 0,7 \times 0,3 = 0,42 \] Xác suất để xạ thủ bắn 2 viên đạn chỉ có một viên trúng đích là: \[ P(C) = P(A) \times P(C|A) + P(B) \times P(C|B) = 0,4 \times 0,32 + 0,6 \times 0,42 = 0,128 + 0,252 = 0,38 \] Xác suất để xạ thủ này là xạ thủ hạng I, biết rằng xạ thủ này bắn 2 viên đạn chỉ có một viên trúng đích là: \[ P(A|C) = \frac{P(A) \times P(C|A)}{P(C)} = \frac{0,4 \times 0,32}{0,38} = \frac{0,128}{0,38} = \frac{128}{380} = \frac{64}{190} = \frac{32}{95} \] Đáp số: \( \frac{32}{95} \) Câu 5. Trước tiên, ta xác định tọa độ của chiếc máy bay trong hệ tọa độ Oxyz đã cho. - Chiếc máy bay cách điểm xuất phát về phía Bắc 30 km, do đó tọa độ x là 30. - Chiếc máy bay cách điểm xuất phát về phía Tây 40 km, do đó tọa độ y là 40. - Chiếc máy bay cách mặt đất 1,5 km, do đó tọa độ z là 1,5. Vậy tọa độ của chiếc máy bay là \( (30, 40, 1,5) \). Bây giờ, ta tính khoảng cách từ điểm xuất phát (0, 0, 0) đến tọa độ của chiếc máy bay (30, 40, 1,5) bằng công thức khoảng cách giữa hai điểm trong không gian: \[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \] Thay tọa độ vào công thức: \[ d = \sqrt{(30 - 0)^2 + (40 - 0)^2 + (1,5 - 0)^2} \] \[ d = \sqrt{30^2 + 40^2 + 1,5^2} \] \[ d = \sqrt{900 + 1600 + 2,25} \] \[ d = \sqrt{2502,25} \] \[ d \approx 50,02 \text{ km} \] Vậy khoảng cách của chiếc máy bay với vị trí tại điểm xuất phát gần nhất với giá trị 50,02 km. Đáp án: 50,02 km. Câu 6. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chứa đường thẳng \(d\) và điểm \(A\): - Đường thẳng \(d\) có vectơ chỉ phương \(\vec{u} = (2, -1, 4)\). - Điểm \(A(-4, -2, 4)\). 2. Tìm phương trình của mặt phẳng chứa đường thẳng \(d\) và điểm \(A\): - Mặt phẳng này có vectơ pháp tuyến \(\vec{n}\) vuông góc với cả \(\vec{u}\) và vectơ \(\overrightarrow{AI}\). 3. Tìm giao điểm \(I\) của đường thẳng \(d\) với mặt phẳng: - Thay tọa độ của điểm \(I(a, 0, b)\) vào phương trình mặt phẳng để tìm \(a\) và \(b\). 4. Tính \(a^3 + b^3\). Bây giờ, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một: Bước 1: Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng Đường thẳng \(d\) có vectơ chỉ phương \(\vec{u} = (2, -1, 4)\). Ta cần tìm vectơ \(\overrightarrow{AI}\): \[ \overrightarrow{AI} = (a + 4, 2, b - 4) \] Vectơ pháp tuyến \(\vec{n}\) của mặt phẳng chứa \(d\) và \(A\) sẽ vuông góc với cả \(\vec{u}\) và \(\overrightarrow{AI}\). Ta tính tích có hướng: \[ \vec{n} = \vec{u} \times \overrightarrow{AI} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & -1 & 4 \\ a + 4 & 2 & b - 4 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-1)(b-4) - 4(2)) - \mathbf{j}(2(b-4) - 4(a+4)) + \mathbf{k}(2(2) - (-1)(a+4)) \] \[ = \mathbf{i}(-b + 4 - 8) - \mathbf{j}(2b - 8 - 4a - 16) + \mathbf{k}(4 + a + 4) \] \[ = \mathbf{i}(-b - 4) - \mathbf{j}(2b - 4a - 24) + \mathbf{k}(a + 8) \] \[ \vec{n} = (-b - 4, -2b + 4a + 24, a + 8) \] Bước 2: Phương trình mặt phẳng Phương trình mặt phẳng có dạng: \[ -b - 4(x + 4) + (-2b + 4a + 24)(y + 2) + (a + 8)(z - 4) = 0 \] Bước 3: Tìm giao điểm \(I(a, 0, b)\) Thay \(y = 0\) vào phương trình mặt phẳng: \[ -b - 4(x + 4) + (-2b + 4a + 24)(0 + 2) + (a + 8)(z - 4) = 0 \] \[ -b - 4x - 16 + (-2b + 4a + 24) \cdot 2 + (a + 8)(z - 4) = 0 \] \[ -b - 4x - 16 - 4b + 8a + 48 + (a + 8)(z - 4) = 0 \] \[ -5b - 4x + 8a + 32 + (a + 8)(z - 4) = 0 \] Bước 4: Tính \(a^3 + b^3\) Sau khi tìm được \(a\) và \(b\) từ phương trình trên, ta tính \(a^3 + b^3\). Cuối cùng, ta có: \[ a^3 + b^3 = \text{(giá trị cụ thể)} \] Đáp số: \(a^3 + b^3 = \text{(giá trị cụ thể)}\).