cho hình hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có AB=AA'=a, AC'=2a. tính khoảng cách từ.

a) d(D, (ACD'))

b) d(BB', AC')

Question

cho hình hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có AB=AA'=a, AC'=2a. tính khoảng cách từ.

a) d(D, (ACD'))

b) d(BB', AC')

Accepted Answer

Để giải quyết các bài toán về khoảng cách trong hình học không gian, ta sẽ áp dụng các phương pháp và công thức liên quan đến hình hộp chữ nhật và khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, đường thẳng đến mặt phẳng.

a) Tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng (ACD')

Bước 1: Xác định các thông số và tính toán

- Hình hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có AB = AA' = a và AC' = 2a.
- Ta biết rằng AC' là đường chéo của hình hộp chữ nhật, do đó:
$$ AC'^2 = AB^2 + BC^2 + CC'^2 $$
$$ (2a)^2 = a^2 + a^2 + a^2 $$
$$ 4a^2 = 3a^2 $$
$$ a^2 = a^2 $$

Bước 2: Tìm diện tích S của tam giác ACD'

- Diện tích tam giác ACD' có thể tính bằng công thức Heron hoặc trực tiếp từ các cạnh đã biết.
- Ta có:
$$ AD' = \sqrt{AD^2 + DD'^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2} $$
$$ CD' = \sqrt{CD^2 + DD'^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2} $$
$$ AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2} $$

Diện tích tam giác ACD':
$$ S_{ACD'} = \frac{1}{2} \times AD' \times CD' \times \sin(\angle ADC') $$
$$ S_{ACD'} = \frac{1}{2} \times a\sqrt{2} \times a\sqrt{2} \times \sin(90^\circ) $$
$$ S_{ACD'} = \frac{1}{2} \times 2a^2 \times 1 = a^2 $$

Bước 3: Tính thể tích V của hình chóp D-ACD'

- Thể tích V của hình chóp D-ACD' là:
$$ V = \frac{1}{3} \times S_{ACD'} \times h $$
$$ V = \frac{1}{3} \times a^2 \times a = \frac{a^3}{3} $$

Bước 4: Tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng (ACD')

- Khoảng cách từ D đến mặt phẳng (ACD') là:
$$ d(D, (ACD')) = \frac{3V}{S_{ACD'}} = \frac{3 \times \frac{a^3}{3}}{a^2} = a $$

b) Tính khoảng cách từ BB' đến AC'

Bước 1: Xác định các thông số và tính toán

- Đường thẳng BB' song song với AA', do đó khoảng cách từ BB' đến AC' là khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng AC'.

Bước 2: Tính khoảng cách từ B đến AC'

- Ta sử dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng trong không gian:
$$ d(B, AC') = \frac{| \vec{BA} \times \vec{BC'} |}{| \vec{AC'} |} $$

- Các vector:
$$ \vec{BA} = (-a, 0, 0) $$
$$ \vec{BC'} = (0, a, a) $$
$$ \vec{AC'} = (a, a, a) $$

- Tích vector:
$$ \vec{BA} \times \vec{BC'} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \
-a & 0 & 0 \
0 & a & a
\end{vmatrix} = (0, a^2, -a^2) $$

- Độ dài của tích vector:
$$ | \vec{BA} \times \vec{BC'} | = \sqrt{(0)^2 + (a^2)^2 + (-a^2)^2} = \sqrt{2a^4} = a^2\sqrt{2} $$

- Độ dài của AC':
$$ | \vec{AC'} | = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = a\sqrt{3} $$

- Khoảng cách:
$$ d(B, AC') = \frac{a^2\sqrt{2}}{a\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{6}}{3} $$

Đáp số:
a) Khoảng cách từ D đến mặt phẳng (ACD') là $ a $.

b) Khoảng cách từ BB' đến AC' là $ \frac{a\sqrt{6}}{3} $.