Giải chi tiết giúp mình với

Câu 1. Để tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB trong hình chóp S.ABCD, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định tọa độ các đỉnh: - Vì SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và ABCD là hình vuông cạnh 3, ta có thể đặt tọa độ các đỉnh như sau: - A(0, 0, 0) - B(3, 0, 0) - C(3, 3, 0) - D(0, 3, 0) - S(0, 0, 9) 2. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (SAC): - Vectơ SA = (0, 0, 9) - Vectơ AC = (3, 3, 0) - Vectơ pháp tuyến n của mặt phẳng (SAC) là tích vector của SA và AC: \[ \vec{n} = \vec{SA} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & 0 & 9 \\ 3 & 3 & 0 \end{vmatrix} = (-27, 27, 0) \] 3. Tìm khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC): - Phương trình mặt phẳng (SAC) có dạng: \[ -27x + 27y + 0z + d = 0 \] - Thay tọa độ điểm S(0, 0, 9) vào phương trình để tìm d: \[ -27 \cdot 0 + 27 \cdot 0 + 0 \cdot 9 + d = 0 \Rightarrow d = 0 \] - Vậy phương trình mặt phẳng (SAC) là: \[ -27x + 27y = 0 \Rightarrow x = y \] - Khoảng cách từ điểm B(3, 0, 0) đến mặt phẳng (SAC): \[ d(B, (SAC)) = \frac{|-27 \cdot 3 + 27 \cdot 0|}{\sqrt{(-27)^2 + 27^2}} = \frac{81}{\sqrt{729 + 729}} = \frac{81}{\sqrt{1458}} = \frac{81}{27\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2} \] 4. Kết luận: - Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB là: \[ \frac{3\sqrt{2}}{2} \approx 2.12 \] Đáp số: Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB là 2.12. Câu 2. Trước tiên, ta xét rằng trong đa giác đều 8 cạnh, mỗi đỉnh sẽ kề với 2 đỉnh khác. Do đó, tổng số cặp đỉnh kề nhau là: \[ 8 \times 2 : 2 = 8 \] Ta đã tô 5 đỉnh màu đỏ và 3 đỉnh màu xanh. Ta sẽ xét các trường hợp khác nhau về số cặp đỉnh màu đỏ kề nhau (d) và số cặp đỉnh màu xanh kề nhau (x). 1. Cặp đỉnh màu đỏ kề nhau (d) = 0: - Điều này có nghĩa là tất cả các đỉnh màu đỏ đều không kề nhau. - Do đó, các đỉnh màu xanh cũng không kề nhau, tức là x = 0. - Kết luận: (d, x) = (0, 0) 2. Cặp đỉnh màu đỏ kề nhau (d) = 1: - Điều này có nghĩa là có 1 cặp đỉnh màu đỏ kề nhau. - Các đỉnh còn lại là 4 đỉnh đỏ và 3 đỉnh xanh, trong đó 4 đỉnh đỏ không kề nhau. - Do đó, các đỉnh màu xanh cũng không kề nhau, tức là x = 0. - Kết luận: (d, x) = (1, 0) 3. Cặp đỉnh màu đỏ kề nhau (d) = 2: - Điều này có nghĩa là có 2 cặp đỉnh màu đỏ kề nhau. - Các đỉnh còn lại là 3 đỉnh đỏ và 3 đỉnh xanh, trong đó 3 đỉnh đỏ không kề nhau. - Do đó, các đỉnh màu xanh cũng không kề nhau, tức là x = 0. - Kết luận: (d, x) = (2, 0) 4. Cặp đỉnh màu đỏ kề nhau (d) = 3: - Điều này có nghĩa là có 3 cặp đỉnh màu đỏ kề nhau. - Các đỉnh còn lại là 2 đỉnh đỏ và 3 đỉnh xanh, trong đó 2 đỉnh đỏ không kề nhau. - Do đó, các đỉnh màu xanh cũng không kề nhau, tức là x = 0. - Kết luận: (d, x) = (3, 0) 5. Cặp đỉnh màu đỏ kề nhau (d) = 4: - Điều này có nghĩa là có 4 cặp đỉnh màu đỏ kề nhau. - Các đỉnh còn lại là 1 đỉnh đỏ và 3 đỉnh xanh, trong đó 1 đỉnh đỏ không kề nhau. - Do đó, các đỉnh màu xanh cũng không kề nhau, tức là x = 0. - Kết luận: (d, x) = (4, 0) 6. Cặp đỉnh màu đỏ kề nhau (d) = 5: - Điều này có nghĩa là có 5 cặp đỉnh màu đỏ kề nhau. - Các đỉnh còn lại là 0 đỉnh đỏ và 3 đỉnh xanh, trong đó 3 đỉnh xanh không kề nhau. - Do đó, các đỉnh màu xanh cũng không kề nhau, tức là x = 0. - Kết luận: (d, x) = (5, 0) Tóm lại, các bộ số (d, x) có thể nhận là: - (0, 0) - (1, 0) - (2, 0) - (3, 0) - (4, 0) - (5, 0) Vậy có 6 bộ số (d, x) có thể nhận. Câu 3. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm thời gian \( t \) mà viên đạn bay đến điểm \( M \): - Viên đạn được bắn từ điểm \( A(3;4;2) \) với vectơ vận tốc \( \overrightarrow{v} = (4;5;1) \). - Trong 4 giây, đầu đạn đi được 45,5 đơn vị với vận tốc không đổi. 2. Tính khoảng cách từ điểm \( A \) đến điểm \( M \): - Khoảng cách giữa hai điểm \( A \) và \( M \) là: \[ d = \sqrt{(13-3)^2 + (b-4)^2 + (c-2)^2} \] - Biết rằng trong 4 giây, đầu đạn đi được 45,5 đơn vị, nên: \[ 4 \times \sqrt{4^2 + 5^2 + 1^2} = 45,5 \] - Tính \( \sqrt{4^2 + 5^2 + 1^2} \): \[ \sqrt{16 + 25 + 1} = \sqrt{42} \] - Vậy: \[ 4 \times \sqrt{42} = 45,5 \] 3. Tìm thời gian \( t \) mà viên đạn bay đến điểm \( M \): - Gọi thời gian viên đạn bay đến điểm \( M \) là \( t \), thì: \[ t \times \sqrt{42} = 45,5 \] - Giải phương trình: \[ t = \frac{45,5}{\sqrt{42}} = \frac{45,5}{6,4807} \approx 7 \] 4. Tìm tọa độ của điểm \( M \): - Viên đạn bay với vectơ vận tốc \( \overrightarrow{v} = (4;5;1) \) trong thời gian \( t = 7 \) giây, nên tọa độ của điểm \( M \) là: \[ x = 3 + 4 \times 7 = 3 + 28 = 31 \] \[ y = 4 + 5 \times 7 = 4 + 35 = 39 \] \[ z = 2 + 1 \times 7 = 2 + 7 = 9 \] - Vậy điểm \( M \) có tọa độ \( (31; 39; 9) \). 5. Tính \( b + 2c \): - Từ tọa độ của điểm \( M \), ta có \( b = 39 \) và \( c = 9 \). - Vậy: \[ b + 2c = 39 + 2 \times 9 = 39 + 18 = 57 \] Đáp số: \( b + 2c = 57 \). Câu 4. Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần biết thêm thông tin về vận tốc ban đầu của xe mô tô và gia tốc của nó. Tuy nhiên, giả sử rằng xe mô tô bắt đầu từ trạng thái đứng yên (vận tốc ban đầu là 0) và có gia tốc là \(a\). Bước 1: Xác định các đại lượng đã biết và cần tìm. - Vận tốc ban đầu của xe mô tô: \(v_0 = 0\) m/s. - Gia tốc của xe mô tô: \(a\) m/s². - Thời gian xe mô tô phóng nhanh: \(t\) giây. - Vận tốc của xe mô tô sau thời gian \(t\): \(v\) m/s. Bước 2: Áp dụng công thức vận động thẳng đều để tính vận tốc của xe mô tô sau thời gian \(t\). Công thức vận tốc của vật chuyển động với gia tốc đều: \[ v = v_0 + at \] Bước 3: Thay các giá trị đã biết vào công thức. \[ v = 0 + at \] \[ v = at \] Bước 4: Kết luận. Vận tốc của xe mô tô sau thời gian \(t\) là \(at\) m/s. Đáp số: Vận tốc của xe mô tô sau thời gian \(t\) là \(at\) m/s.