Câu 17.17. Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh 2, ABC =120°, SB =2. Mặt phẳng (SAD) vuông góc với đáy và cạnh bên SA tạo với mặt phẳng đáy một góc 60°. Thể tích khối chóp S.ABCD bằng

Question

Timi · Accepted Answer

Câu 17.17.
Để tính thể tích khối chóp S.ABCD, ta thực hiện các bước sau:

1. Tính diện tích đáy ABCD:
   - Đáy ABCD là hình thoi có cạnh bằng 2 và góc ABC = 120°.
   - Diện tích hình thoi được tính bằng công thức:
     $$
     S_{ABCD} = \frac{1}{2} \times d_1 \times d_2
     $$
     Trong đó, $d_1$ và $d_2$ là các đường chéo của hình thoi.
   - Ta biết rằng trong hình thoi, các đường chéo vuông góc và chia đôi nhau. Do đó, ta có thể chia hình thoi thành 4 tam giác đều.
   - Mỗi tam giác đều có cạnh bằng 2 và góc giữa hai cạnh là 60°.
   - Diện tích mỗi tam giác đều là:
     $$
     S_{\text{tam giác}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 2^2 = \sqrt{3}
     $$
   - Vậy diện tích toàn bộ hình thoi là:
     $$
     S_{ABCD} = 4 \times \sqrt{3} = 4\sqrt{3}
     $$

2. Tính chiều cao khối chóp từ đỉnh S xuống đáy ABCD:
   - Mặt phẳng (SAD) vuông góc với đáy ABCD, do đó chiều cao của khối chóp là khoảng cách từ đỉnh S đến đáy ABCD.
   - Gọi H là chân đường cao hạ từ S xuống đáy ABCD.
   - Vì SA tạo với mặt phẳng đáy một góc 60°, ta có:
     $$
     \sin(60^\circ) = \frac{SH}{SA}
     $$
     Biết rằng $SA = 2$, ta có:
     $$
     SH = SA \times \sin(60^\circ) = 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}
     $$

3. Tính thể tích khối chóp S.ABCD:
   - Thể tích khối chóp được tính bằng công thức:
     $$
     V = \frac{1}{3} \times S_{\text{đáy}} \times \text{chiều cao}
     $$
   - Thay các giá trị đã tìm được vào công thức:
     $$
     V = \frac{1}{3} \times 4\sqrt{3} \times \sqrt{3} = \frac{1}{3} \times 4 \times 3 = 4
     $$

Vậy thể tích khối chóp S.ABCD là 4.