nendmdmdmdmdmmd

Câu 3. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước theo yêu cầu của đề bài. Bước 1: Xác định $F(x)$ Biết rằng $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x) = 4x$, ta có: \[ F(x) = \int 4x \, dx = 2x^2 + C \] Vì $F(0) = 0$, suy ra $C = 0$. Do đó: \[ F(x) = 2x^2 \] Bước 2: Kiểm tra các phát biểu a) $\int f(x) \, dx = F(x) + C, C \in \mathbb{R}$ Phát biểu này đúng vì $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ và thêm hằng số $C$ để bao gồm tất cả các nguyên hàm. b) $F(x) = 4x^2$ Phát biểu này sai vì $F(x) = 2x^2$ như đã xác định ở trên. c) Diện tích của hình phẳng (H) giới hạn bởi (C) và (d) là $S = \int_0^2 (4x - 2x^2) \, dx$ Phát biểu này đúng vì diện tích giữa hai đường $y = 4x$ và $y = 2x^2$ từ $x = 0$ đến $x = 2$ được tính bằng: \[ S = \int_0^2 (4x - 2x^2) \, dx \] d) Gọi $V$ là thể tích của vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay (H) quanh trục hoành. Nếu $\frac{V}{S} = \frac{a}{b}\pi$ (với $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản) thì $a - b = 17$. Phát biểu này cần kiểm tra chi tiết hơn. Bước 3: Tính diện tích $S$ \[ S = \int_0^2 (4x - 2x^2) \, dx \] \[ S = \left[ 2x^2 - \frac{2x^3}{3} \right]_0^2 \] \[ S = \left( 2(2)^2 - \frac{2(2)^3}{3} \right) - (0) \] \[ S = 8 - \frac{16}{3} = \frac{24}{3} - \frac{16}{3} = \frac{8}{3} \] Bước 4: Tính thể tích $V$ Thể tích của vật thể tròn xoay khi quay quanh trục hoành: \[ V = \pi \int_0^2 \left( (4x)^2 - (2x^2)^2 \right) \, dx \] \[ V = \pi \int_0^2 \left( 16x^2 - 4x^4 \right) \, dx \] \[ V = \pi \left[ \frac{16x^3}{3} - \frac{4x^5}{5} \right]_0^2 \] \[ V = \pi \left( \frac{16(2)^3}{3} - \frac{4(2)^5}{5} \right) \] \[ V = \pi \left( \frac{128}{3} - \frac{128}{5} \right) \] \[ V = \pi \left( \frac{640}{15} - \frac{384}{15} \right) \] \[ V = \pi \left( \frac{256}{15} \right) \] Bước 5: Tính $\frac{V}{S}$ \[ \frac{V}{S} = \frac{\frac{256}{15} \pi}{\frac{8}{3}} = \frac{256}{15} \cdot \frac{3}{8} \pi = \frac{256 \cdot 3}{15 \cdot 8} \pi = \frac{768}{120} \pi = \frac{32}{5} \pi \] Do đó, $\frac{V}{S} = \frac{32}{5} \pi$, suy ra $a = 32$ và $b = 5$. Vậy: \[ a - b = 32 - 5 = 27 \] Kết luận Phát biểu đúng là: a) $\int f(x) \, dx = F(x) + C, C \in \mathbb{R}$ c) Diện tích của hình phẳng (H) giới hạn bởi (C) và (d) là $S = \int_0^2 (4x - 2x^2) \, dx$ Phát biểu d) sai vì $a - b = 27$, không phải 17. Câu 4. Dựa vào bảng biến thiên của hàm số $y = f(x)$, ta có thể suy ra các tính chất và thông tin về hàm số như sau: 1. Tìm tập xác định: - Hàm số $y = f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}$, tức là tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}$. 2. Tìm các điểm cực trị: - Từ bảng biến thiên, ta thấy: - Hàm số đạt cực đại tại điểm $x = -1$ với giá trị cực đại là $f(-1) = 3$. - Hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x = 1$ với giá trị cực tiểu là $f(1) = -1$. 3. Xác định khoảng đồng biến và nghịch biến: - Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty, -1)$ và $(1, +\infty)$. - Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-1, 1)$. 4. Tìm giới hạn của hàm số: - $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$ - $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ 5. Tìm giao điểm với trục tọa độ: - Giao điểm với trục $Oy$: $f(0) = 1$, vậy giao điểm là $(0, 1)$. - Giao điểm với trục $Ox$: Ta thấy từ bảng biến thiên rằng hàm số cắt trục $Ox$ tại hai điểm $x = -2$ và $x = 2$. Vậy giao điểm là $(-2, 0)$ và $(2, 0)$. 6. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn: - Trên đoạn $[-2, 2]$, giá trị lớn nhất của hàm số là $f(-1) = 3$. - Trên đoạn $[-2, 2]$, giá trị nhỏ nhất của hàm số là $f(1) = -1$. 7. Tóm tắt kết quả: - Tập xác định: $\mathbb{R}$ - Cực đại: $f(-1) = 3$ - Cực tiểu: $f(1) = -1$ - Đồng biến: $(-\infty, -1)$ và $(1, +\infty)$ - Nghịch biến: $(-1, 1)$ - Giới hạn: $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$, $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ - Giao điểm với trục $Oy$: $(0, 1)$ - Giao điểm với trục $Ox$: $(-2, 0)$ và $(2, 0)$ - Giá trị lớn nhất trên đoạn $[-2, 2]$: $3$ - Giá trị nhỏ nhất trên đoạn $[-2, 2]$: $-1$ Như vậy, ta đã hoàn thành việc phân tích và lập luận từng bước cho hàm số $y = f(x)$ dựa trên bảng biến thiên.