giải giúp mình với

Câu 7: Để hàm số $y=\frac{x+m}{x+2}$ đồng biến trên các khoảng xác định, ta cần tính đạo hàm của hàm số này và đảm bảo đạo hàm dương trên các khoảng xác định. Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số: \[ y' = \left( \frac{x+m}{x+2} \right)' = \frac{(x+2) - (x+m)}{(x+2)^2} = \frac{2-m}{(x+2)^2} \] Bước 2: Xác định điều kiện để đạo hàm dương: \[ y' > 0 \] \[ \frac{2-m}{(x+2)^2} > 0 \] Do $(x+2)^2$ luôn dương (trừ khi $x = -2$, nhưng tại điểm này hàm số không xác định), nên ta chỉ cần: \[ 2 - m > 0 \] \[ m < 2 \] Vậy, để hàm số $y=\frac{x+m}{x+2}$ đồng biến trên các khoảng xác định, giá trị của $m$ phải thỏa mãn: \[ m < 2 \] Đáp án đúng là: $B.~m< 2.$ Câu 8: Để hàm số $y = \sqrt{3}\sin x + \cos x - mx + 5$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$, ta cần tìm điều kiện của tham số $m$ sao cho đạo hàm của hàm số luôn nhỏ hơn hoặc bằng 0 trên $\mathbb{R}$. Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số: \[ y' = (\sqrt{3}\sin x + \cos x - mx + 5)' \] \[ y' = \sqrt{3}\cos x - \sin x - m \] Bước 2: Để hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$, ta cần: \[ y' \leq 0 \] \[ \sqrt{3}\cos x - \sin x - m \leq 0 \] \[ \sqrt{3}\cos x - \sin x \leq m \] Bước 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $\sqrt{3}\cos x - \sin x$: \[ \sqrt{3}\cos x - \sin x = 2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x - \frac{1}{2}\sin x\right) \] \[ = 2\left(\cos \frac{\pi}{6} \cos x - \sin \frac{\pi}{6} \sin x\right) \] \[ = 2\cos\left(x + \frac{\pi}{6}\right) \] Biểu thức $\cos\left(x + \frac{\pi}{6}\right)$ có giá trị lớn nhất là 1, do đó: \[ 2\cos\left(x + \frac{\pi}{6}\right) \leq 2 \] Vậy: \[ \sqrt{3}\cos x - \sin x \leq 2 \] Do đó, để hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$, ta cần: \[ m \geq 2 \] Kết luận: Đáp án đúng là: \[ A.~m \geq 2 \] Câu 9: Để hàm số $f(x) = \frac{1}{3}mx^3 - 2mx^2 + (m-5)x + 2021$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$, ta cần tìm điều kiện của $m$ sao cho đạo hàm của $f(x)$ luôn âm trên $\mathbb{R}$. Bước 1: Tính đạo hàm của $f(x)$: \[ f'(x) = m x^2 - 4mx + (m-5) \] Bước 2: Để hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$, ta cần $f'(x) < 0$ cho mọi $x \in \mathbb{R}$. Điều này tương đương với việc $m x^2 - 4mx + (m-5) < 0$ cho mọi $x \in \mathbb{R}$. Bước 3: Xét dấu của tam thức bậc hai $g(x) = m x^2 - 4mx + (m-5)$. Để $g(x) < 0$ cho mọi $x$, tam thức này phải có hệ số cao nhất âm ($m < 0$) và biệt thức nhỏ hơn 0 ($\Delta < 0$). Bước 4: Tính biệt thức của tam thức $g(x)$: \[ \Delta = (-4m)^2 - 4 \cdot m \cdot (m-5) = 16m^2 - 4m(m-5) = 16m^2 - 4m^2 + 20m = 12m^2 + 20m \] Bước 5: Yêu cầu $\Delta < 0$: \[ 12m^2 + 20m < 0 \] \[ 4m(3m + 5) < 0 \] Bước 6: Giải bất phương trình $4m(3m + 5) < 0$: - Ta thấy $4m < 0$ khi $m < 0$. - Ta thấy $3m + 5 < 0$ khi $m < -\frac{5}{3}$. Do đó, $4m(3m + 5) < 0$ khi $-\frac{5}{3} < m < 0$. Bước 7: Kết hợp điều kiện $m < 0$ từ bước 3 và $-\frac{5}{3} < m < 0$ từ bước 6, ta có: \[ -\frac{5}{3} < m < 0 \] Bước 8: Tìm các giá trị nguyên của $m$ trong khoảng $-\frac{5}{3} < m < 0$: - Các giá trị nguyên thỏa mãn là $m = -1$. Vậy có duy nhất 1 giá trị nguyên của $m$ sao cho hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$. Đáp án đúng là: A. 1. Câu 10: Để hàm số $y = \frac{x + m^2}{x + 4}$ đồng biến trên từng khoảng xác định của nó, ta cần tính đạo hàm của hàm số này và kiểm tra điều kiện đạo hàm dương. Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số: \[ y' = \left( \frac{x + m^2}{x + 4} \right)' = \frac{(x + m^2)'(x + 4) - (x + m^2)(x + 4)'}{(x + 4)^2} = \frac{(1)(x + 4) - (x + m^2)(1)}{(x + 4)^2} = \frac{x + 4 - x - m^2}{(x + 4)^2} = \frac{4 - m^2}{(x + 4)^2} \] Bước 2: Để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó, đạo hàm phải dương: \[ y' > 0 \] \[ \frac{4 - m^2}{(x + 4)^2} > 0 \] Do $(x + 4)^2$ luôn dương (trừ khi $x = -4$, nhưng tại điểm này hàm số không xác định), nên ta chỉ cần: \[ 4 - m^2 > 0 \] \[ m^2 < 4 \] Bước 3: Giải bất phương trình $m^2 < 4$: \[ -2 < m < 2 \] Bước 4: Tìm các giá trị nguyên của $m$ trong khoảng $-2 < m < 2$: \[ m = -1, 0, 1 \] Vậy có 3 giá trị nguyên của tham số $m$ thỏa mãn điều kiện đề bài. Đáp án đúng là: D. 3. Câu 11: Để hàm số $y=\frac{(m^2-m)x^3}3+(m^2-m)x^2+mx+2$ đồng biến trên $\mathbb{R}$, ta cần tìm điều kiện của $m$ sao cho đạo hàm của hàm số luôn dương trên $\mathbb{R}$. Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số: \[ y' = (m^2 - m)x^2 + 2(m^2 - m)x + m \] Bước 2: Để hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$, đạo hàm $y'$ phải luôn dương trên $\mathbb{R}$. Điều này có nghĩa là: \[ y' > 0 \quad \forall x \in \mathbb{R} \] Bước 3: Xét dấu của $y'$: \[ y' = (m^2 - m)x^2 + 2(m^2 - m)x + m \] Để $y' > 0$ với mọi $x$, hệ số của $x^2$ phải dương và phương trình bậc hai $(m^2 - m)x^2 + 2(m^2 - m)x + m = 0$ không có nghiệm thực hoặc có nghiệm kép (điều kiện này đảm bảo rằng parabol luôn nằm phía trên trục hoành). Bước 4: Xét hệ số của $x^2$: \[ m^2 - m > 0 \] \[ m(m - 1) > 0 \] \[ m < 0 \text{ hoặc } m > 1 \] Bước 5: Xét phương trình bậc hai: \[ (m^2 - m)x^2 + 2(m^2 - m)x + m = 0 \] Để phương trình này không có nghiệm thực hoặc có nghiệm kép, ta cần: \[ \Delta = [2(m^2 - m)]^2 - 4(m^2 - m)m \leq 0 \] \[ 4(m^2 - m)^2 - 4(m^2 - m)m \leq 0 \] \[ 4(m^2 - m)(m^2 - m - m) \leq 0 \] \[ 4(m^2 - m)(m^2 - 2m) \leq 0 \] \[ 4m(m - 1)m(m - 2) \leq 0 \] \[ m(m - 1)(m - 2) \leq 0 \] Bước 6: Giải bất phương trình: \[ m(m - 1)(m - 2) \leq 0 \] Ta có các điểm chia là $m = 0$, $m = 1$, và $m = 2$. Kiểm tra các khoảng: - Khi $m < 0$: $m(m - 1)(m - 2) < 0$ - Khi $0 < m < 1$: $m(m - 1)(m - 2) > 0$ - Khi $1 < m < 2$: $m(m - 1)(m - 2) < 0$ - Khi $m > 2$: $m(m - 1)(m - 2) > 0$ Do đó, $m(m - 1)(m - 2) \leq 0$ khi $m \in (-\infty, 0] \cup [1, 2]$. Bước 7: Kết hợp điều kiện từ bước 4 và bước 6: \[ m < 0 \text{ hoặc } m > 1 \] \[ m \in (-\infty, 0] \cup [1, 2] \] Vậy $m \in (-\infty, 0] \cup [1, 2]$ và $m$ là số nguyên, ta có các giá trị $m$ là: \[ m = 0, 1, 2 \] Tuy nhiên, $m = 0$ và $m = 1$ làm cho hệ số của $x^2$ bằng 0, do đó không thỏa mãn điều kiện $m^2 - m > 0$. Vậy chỉ còn lại: \[ m = 2 \] Vậy có 1 giá trị nguyên của $m$ để hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$. Đáp án đúng là: C. 1. Câu 12: Để hàm số $y = x + 3 - \frac{m}{x-2}$ đồng biến trên $[5; +\infty)$, ta cần tính đạo hàm của hàm số này và đảm bảo đạo hàm dương trên khoảng đã cho. Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số: \[ y' = 1 + \frac{m}{(x-2)^2} \] Bước 2: Để hàm số đồng biến trên $[5; +\infty)$, ta cần: \[ y' > 0 \] \[ 1 + \frac{m}{(x-2)^2} > 0 \] \[ \frac{m}{(x-2)^2} > -1 \] \[ m > -(x-2)^2 \] Bước 3: Xét trên khoảng $[5; +\infty)$: - Khi $x = 5$, ta có $(x-2)^2 = (5-2)^2 = 9$. - Do đó, $m > -9$. Bước 4: Tìm các giá trị nguyên âm của $m$ thỏa mãn $m > -9$: Các giá trị nguyên âm của $m$ là: $-8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1$. Vậy có 8 giá trị nguyên âm của tham số $m$ để hàm số đồng biến trên $[5; +\infty)$. Đáp án đúng là: C. 8. Câu 13: Để hàm số $f(x)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$, ta cần $f'(x) \geq 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$. Tính đạo hàm của $f(x)$: \[ f'(x) = 3(m-1)x^2 + 2(m-1)x + (2m+1). \] Để $f'(x) \geq 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$, ta cần: 1. Hệ số của $x^2$ phải dương hoặc bằng 0: $3(m-1) \geq 0 \Rightarrow m \geq 1$. 2. Phương trình $3(m-1)x^2 + 2(m-1)x + (2m+1) = 0$ không có nghiệm thực hoặc có nghiệm kép (điều này đảm bảo rằng $f'(x)$ không đổi dấu). Xét phương trình $3(m-1)x^2 + 2(m-1)x + (2m+1) = 0$. Ta cần tính $\Delta$: \[ \Delta = [2(m-1)]^2 - 4 \cdot 3(m-1) \cdot (2m+1). \] \[ \Delta = 4(m-1)^2 - 12(m-1)(2m+1). \] \[ \Delta = 4(m^2 - 2m + 1) - 12(m^2 + m - 2m - 1). \] \[ \Delta = 4m^2 - 8m + 4 - 12m^2 - 12m + 24m + 12. \] \[ \Delta = -8m^2 + 4m + 16. \] Để phương trình không có nghiệm thực hoặc có nghiệm kép, ta cần $\Delta \leq 0$: \[ -8m^2 + 4m + 16 \leq 0. \] \[ 8m^2 - 4m - 16 \geq 0. \] \[ 2m^2 - m - 4 \geq 0. \] Giải bất phương trình $2m^2 - m - 4 \geq 0$: \[ m = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4)}}{2 \cdot 2}. \] \[ m = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 32}}{4}. \] \[ m = \frac{1 \pm \sqrt{33}}{4}. \] Vậy $m \leq \frac{1 - \sqrt{33}}{4}$ hoặc $m \geq \frac{1 + \sqrt{33}}{4}$. Kết hợp với điều kiện $m \geq 1$, ta có: \[ m \geq \frac{1 + \sqrt{33}}{4}. \] Ta cần tìm các giá trị nguyên của $m$ trong đoạn $[-2024; 2024]$ thỏa mãn điều kiện trên. Ta có: \[ \frac{1 + \sqrt{33}}{4} \approx 2. \] Vậy $m \geq 2$. Các giá trị nguyên của $m$ từ 2 đến 2024 là: \[ 2, 3, 4, \ldots, 2024. \] Số lượng các giá trị nguyên này là: \[ 2024 - 2 + 1 = 2023. \] Đáp án đúng là: B. 2023. Câu 14: Để hàm số $y=\frac{1}{3}x^3 - mx^2 + (8 - 2m)x + m + 3$ đồng biến trên $\mathbb{R}$, ta cần tìm giá trị lớn nhất của tham số $m$ sao cho đạo hàm của hàm số luôn dương trên $\mathbb{R}$. Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số: \[ y' = \left(\frac{1}{3}x^3 - mx^2 + (8 - 2m)x + m + 3\right)' = x^2 - 2mx + (8 - 2m). \] Bước 2: Để hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$, đạo hàm $y'$ phải luôn dương: \[ x^2 - 2mx + (8 - 2m) > 0, \quad \forall x \in \mathbb{R}. \] Bước 3: Điều kiện để một tam thức bậc hai luôn dương là: \[ \Delta < 0, \] trong đó $\Delta$ là biệt thức của tam thức bậc hai. Bước 4: Tính biệt thức $\Delta$ của tam thức $x^2 - 2mx + (8 - 2m)$: \[ \Delta = (-2m)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (8 - 2m) = 4m^2 - 4(8 - 2m) = 4m^2 - 32 + 8m. \] Bước 5: Đặt biệt thức nhỏ hơn 0: \[ 4m^2 + 8m - 32 < 0. \] Bước 6: Chia cả hai vế cho 4: \[ m^2 + 2m - 8 < 0. \] Bước 7: Giải bất phương trình bậc hai: \[ m^2 + 2m - 8 = 0. \] Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai: \[ m = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8)}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{-2 \pm 6}{2}. \] Do đó: \[ m_1 = \frac{-2 + 6}{2} = 2, \quad m_2 = \frac{-2 - 6}{2} = -4. \] Bước 8: Xác định khoảng giá trị của $m$ sao cho $m^2 + 2m - 8 < 0$: \[ -4 < m < 2. \] Bước 9: Giá trị lớn nhất của $m$ trong khoảng này là: \[ m = 2. \] Vậy giá trị lớn nhất của tham số $m$ để hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ là $m = 2$. Đáp án đúng là: $D.~m=2.$ Câu 15: Để hàm số $y=-\frac{1}{3}x^3-mx^2+(2m-3)x-m+2$ luôn nghịch biến trên $\mathbb{R}$, ta cần tìm điều kiện của tham số $m$ sao cho đạo hàm của hàm số luôn âm trên $\mathbb{R}$. Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số: \[ y' = -x^2 - 2mx + (2m - 3) \] Bước 2: Để hàm số luôn nghịch biến trên $\mathbb{R}$, đạo hàm $y'$ phải luôn nhỏ hơn hoặc bằng 0 trên $\mathbb{R}$: \[ -x^2 - 2mx + (2m - 3) \leq 0 \] Bước 3: Xét dấu của biểu thức $-x^2 - 2mx + (2m - 3)$: Biểu thức này là một tam thức bậc hai theo $x$. Để tam thức này luôn nhỏ hơn hoặc bằng 0 trên $\mathbb{R}$, ta cần: - Hệ số của $x^2$ là âm (-1). - Đạo hàm của tam thức này phải luôn âm hoặc bằng 0 trên $\mathbb{R}$, tức là tam thức này phải có biệt thức ($\Delta$) nhỏ hơn hoặc bằng 0. Bước 4: Tính biệt thức của tam thức: \[ \Delta = (-2m)^2 - 4(-1)(2m - 3) = 4m^2 + 8m - 12 \] Để tam thức luôn nhỏ hơn hoặc bằng 0, ta cần: \[ \Delta \leq 0 \] \[ 4m^2 + 8m - 12 \leq 0 \] \[ m^2 + 2m - 3 \leq 0 \] Bước 5: Giải bất phương trình $m^2 + 2m - 3 \leq 0$: \[ m^2 + 2m - 3 = 0 \] \[ (m + 3)(m - 1) = 0 \] \[ m = -3 \text{ hoặc } m = 1 \] Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: \[ m \in [-3; 1] \] Bước 6: Kết luận: Tập tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số luôn nghịch biến trên $\mathbb{R}$ là $m \in [-3; 1]$. Giá trị $b - a$ là: \[ b - a = 1 - (-3) = 4 \] Đáp án đúng là: A. 4. Câu 16: Để hàm số $y=\frac{2\cot x+1}{\cot x+m}$ đồng biến trên khoảng $(\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{2})$, ta cần tính đạo hàm của hàm số này và đảm bảo đạo hàm dương trên khoảng đã cho. Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số: \[ y' = \left( \frac{2\cot x + 1}{\cot x + m} \right)' \] Áp dụng công thức đạo hàm của thương hai hàm số: \[ y' = \frac{(2\cot x + 1)' (\cot x + m) - (2\cot x + 1)(\cot x + m)'}{(\cot x + m)^2} \] Tính đạo hàm từng thành phần: \[ (2\cot x + 1)' = -2\csc^2 x \] \[ (\cot x + m)' = -\csc^2 x \] Thay vào công thức đạo hàm của thương: \[ y' = \frac{-2\csc^2 x (\cot x + m) - (2\cot x + 1)(-\csc^2 x)}{(\cot x + m)^2} \] \[ y' = \frac{-2\csc^2 x \cot x - 2m\csc^2 x + 2\cot x \csc^2 x + \csc^2 x}{(\cot x + m)^2} \] \[ y' = \frac{-2m\csc^2 x + \csc^2 x}{(\cot x + m)^2} \] \[ y' = \frac{\csc^2 x (-2m + 1)}{(\cot x + m)^2} \] Bước 2: Xác định điều kiện để đạo hàm dương: \[ y' > 0 \] \[ \frac{\csc^2 x (-2m + 1)}{(\cot x + m)^2} > 0 \] Trên khoảng $(\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2})$, $\csc^2 x > 0$ và $(\cot x + m)^2 > 0$. Do đó, ta cần: \[ -2m + 1 > 0 \] \[ 1 > 2m \] \[ m < \frac{1}{2} \] Bước 3: Kiểm tra các giá trị giới hạn: - Nếu $m = -1$, thì $\cot x + m = \cot x - 1$. Trên khoảng $(\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2})$, $\cot x$ giảm từ 1 đến 0, do đó $\cot x - 1$ luôn âm, dẫn đến đạo hàm luôn dương. - Nếu $m = 0$, thì $\cot x + m = \cot x$. Trên khoảng $(\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2})$, $\cot x$ giảm từ 1 đến 0, do đó đạo hàm luôn dương. Do đó, các giá trị của $m$ thỏa mãn là: \[ m \in (-\infty; -1] \cup [0; \frac{1}{2}) \] Đáp án đúng là: \[ B.~m \in (-\infty; -1] \cup [0; \frac{1}{2}) \]