giải giúp mình với ạ

Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, ta có thể viết tọa độ của một vectơ theo các thành phần của nó dọc theo các trục x, y và z. Giả sử $\overrightarrow{u} = 3\overrightarrow{i} + \overrightarrow{j} - 4\overrightarrow{k}$, khi đó: - Thành phần dọc theo trục x là 3. - Thành phần dọc theo trục y là 1. - Thành phần dọc theo trục z là -4. Do đó, tọa độ của vectơ $\overrightarrow{u}$ là $(3; 1; -4)$. Vậy đáp án đúng là: $\textcircled{D.}~(3;1;-4)$ Câu 2. Để giải bất phương trình $\log_2(x-1) < 1$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Đối với bất phương trình $\log_2(x-1) < 1$, ta cần đảm bảo rằng $x-1 > 0$. Do đó: \[ x > 1 \] 2. Giải bất phương trình: - Ta có $\log_2(x-1) < 1$. Điều này tương đương với: \[ x-1 < 2^1 \] - Tính toán bên phải: \[ x-1 < 2 \] - Giải phương trình này: \[ x < 3 \] 3. Xác định tập nghiệm: - Kết hợp điều kiện xác định $x > 1$ và kết quả từ bước 2 ($x < 3$), ta có: \[ 1 < x < 3 \] - Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $(1; 3)$. Do đó, đáp án đúng là: \[ D.~(1;3) \] Câu 3. Phương trình tham số của đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M(3;2;1)\) và có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u} = (1;2;3)\) được viết dưới dạng: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 3 + t \\ y = 2 + 2t \\ z = 1 + 3t \end{array} \right. \] Do đó, phương án đúng là: \[ A, \left\{ \begin{array}{l} x = 3 + t \\ y = 2 + 2t \\ z = 1 + 3t \end{array} \right. \] Câu 4. Phương trình mặt cầu $(S)$ có dạng $(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2$, trong đó tâm của mặt cầu là $I(a, b, c)$ và bán kính là $R$. So sánh phương trình $(S):~(x-1)^2+(y-3)^2+(z+2)^2=9$ với phương trình chuẩn của mặt cầu, ta nhận thấy: - Tâm của mặt cầu là $I(1, 3, -2)$. - Bán kính của mặt cầu là $R = \sqrt{9} = 3$. Do đó, đáp án đúng là: \[ D.~I(1;3;-2),~R=3 \] Đáp số: $D.~I(1;3;-2),~R=3$. Câu 5. Để tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = 3^x$, chúng ta sẽ sử dụng công thức nguyên hàm của hàm mũ cơ bản. Công thức nguyên hàm của hàm mũ $a^x$ là: \[ \int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln a} + C \] Trong đó, $a$ là hằng số dương khác 1 và $\ln a$ là lôgarit tự nhiên của $a$. Áp dụng công thức này vào hàm số $f(x) = 3^x$, ta có: \[ \int 3^x \, dx = \frac{3^x}{\ln 3} + C \] Do đó, nguyên hàm của hàm số $f(x) = 3^x$ là: \[ \frac{3^x}{\ln 3} + C \] Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{D.~\frac{3^x}{\ln 3} + C} \] Câu 6. Để tính tích phân $\int^5_3 f(x) \, dx$, ta sử dụng định lý Newton-Leibniz, theo đó: \[ \int^b_a f(x) \, dx = F(b) - F(a) \] Trong đó, $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$. Áp dụng vào bài toán, ta có: \[ \int^5_3 f(x) \, dx = F(5) - F(3) \] Biết rằng $F(3) = 8$ và $F(5) = 12$, ta thay vào công thức trên: \[ \int^5_3 f(x) \, dx = 12 - 8 = 4 \] Vậy tích phân $\int^5_3 f(x) \, dx$ bằng 4. Đáp án đúng là: B. 4 Câu 7. Để giải phương trình $2^{x-1} = 8$, ta thực hiện các bước sau: 1. Viết lại phương trình với cùng cơ số: Ta nhận thấy rằng $8$ có thể viết dưới dạng lũy thừa của $2$: \[ 8 = 2^3 \] Do đó, phương trình trở thành: \[ 2^{x-1} = 2^3 \] 2. So sánh các mũ số: Vì hai vế đều có cùng cơ số là $2$, nên ta có thể so sánh các mũ số: \[ x - 1 = 3 \] 3. Giải phương trình bậc nhất: Giải phương trình $x - 1 = 3$: \[ x = 3 + 1 \] \[ x = 4 \] Vậy nghiệm của phương trình $2^{x-1} = 8$ là $x = 4$. Đáp án đúng là: $A.~x=4$. Câu 8. Để xác định khoảng nghịch biến của hàm số, ta cần xem xét bảng biến thiên của hàm số. Từ bảng biến thiên, ta thấy rằng: - Trên khoảng $(-\infty; 1)$, hàm số đồng biến. - Trên khoảng $(1; 2)$, hàm số nghịch biến. - Trên khoảng $(2; 3)$, hàm số đồng biến. - Trên khoảng $(3; +\infty)$, hàm số nghịch biến. Do đó, hàm số nghịch biến trên các khoảng $(1; 2)$ và $(3; +\infty)$. Tuy nhiên, trong các đáp án được đưa ra, chỉ có khoảng $(3; +\infty)$ nằm trong các lựa chọn. Vậy đáp án đúng là: $D.~(3; +\infty)$ Tuy nhiên, trong các đáp án được đưa ra, không có khoảng $(3; +\infty)$, mà chỉ có khoảng $(1; +\infty)$. Do đó, ta cần kiểm tra lại các khoảng đã cho trong các đáp án. Trong các đáp án, chỉ có khoảng $(1; +\infty)$ bao gồm cả khoảng $(1; 2)$ và $(3; +\infty)$, do đó đáp án đúng là: $D.~(1; +\infty)$ Câu 9. Để xác định mặt phẳng nào trong các mặt phẳng đã cho vuông góc với mặt phẳng (ABCD), ta cần kiểm tra điều kiện vuông góc giữa các đường thẳng và mặt phẳng. Trước tiên, ta biết rằng: - Đáy ABCD là hình vuông. - \( SA \perp (ABCD) \). Bây giờ, ta sẽ kiểm tra từng mặt phẳng: A. Mặt phẳng (SBD): - \( SA \perp (ABCD) \), do đó \( SA \perp BD \) (vì BD nằm trong (ABCD)). - Tuy nhiên, để (SBD) vuông góc với (ABCD), cần có thêm một đường thẳng nằm trong (SBD) và vuông góc với (ABCD). Ta thấy rằng BD nằm trong (ABCD), nên không đủ điều kiện để kết luận (SBD) vuông góc với (ABCD). B. Mặt phẳng (SAC): - \( SA \perp (ABCD) \), do đó \( SA \perp AC \) (vì AC nằm trong (ABCD)). - Mặt khác, AC là đường chéo của hình vuông ABCD, do đó AC nằm trong (ABCD). Để (SAC) vuông góc với (ABCD), cần có thêm một đường thẳng nằm trong (SAC) và vuông góc với (ABCD). Ta thấy rằng AC nằm trong (ABCD), nên không đủ điều kiện để kết luận (SAC) vuông góc với (ABCD). C. Mặt phẳng (SBC): - \( SA \perp (ABCD) \), do đó \( SA \perp BC \) (vì BC nằm trong (ABCD)). - Tuy nhiên, để (SBC) vuông góc với (ABCD), cần có thêm một đường thẳng nằm trong (SBC) và vuông góc với (ABCD). Ta thấy rằng BC nằm trong (ABCD), nên không đủ điều kiện để kết luận (SBC) vuông góc với (ABCD). D. Mặt phẳng (SCD): - \( SA \perp (ABCD) \), do đó \( SA \perp CD \) (vì CD nằm trong (ABCD)). - Mặt khác, CD là cạnh của hình vuông ABCD, do đó CD nằm trong (ABCD). Để (SCD) vuông góc với (ABCD), cần có thêm một đường thẳng nằm trong (SCD) và vuông góc với (ABCD). Ta thấy rằng CD nằm trong (ABCD), nên không đủ điều kiện để kết luận (SCD) vuông góc với (ABCD). Từ các lập luận trên, ta thấy rằng chỉ có mặt phẳng (SAC) có đường thẳng \( SA \perp (ABCD) \) và \( AC \) nằm trong (ABCD), do đó (SAC) vuông góc với (ABCD). Vậy đáp án đúng là: B. (SAC)