làm theo cách toạ độ hoá nhé

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp tọa độ hóa. Đầu tiên, ta xác định hệ tọa độ và tọa độ của các điểm liên quan. 1. Xác định hệ tọa độ: - Gọi \( A(0, 0, 0) \), \( B(a, 0, 0) \), \( C(0, a, 0) \). - Vì \( AA' = a\sqrt{2} \), nên \( A'(0, 0, a\sqrt{2}) \). - \( M \) là trung điểm của \( BC \), do đó \( M \left( \frac{a}{2}, \frac{a}{2}, 0 \right) \). 2. Tìm vectơ chỉ phương của các đường thẳng: - Vectơ chỉ phương của \( AM \) là \( \overrightarrow{AM} = \left( \frac{a}{2}, \frac{a}{2}, 0 \right) \). - Vectơ chỉ phương của \( B'C \) là \( \overrightarrow{B'C} = (-a, a, 0) \). 3. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chứa \( AM \) và \( B'C \): - Ta tính tích vector \( \overrightarrow{AM} \times \overrightarrow{B'C} \): \[ \overrightarrow{AM} \times \overrightarrow{B'C} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{a}{2} & \frac{a}{2} & 0 \\ -a & a & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{i} \left( \frac{a}{2} \cdot 0 - 0 \cdot a \right) - \mathbf{j} \left( \frac{a}{2} \cdot 0 - 0 \cdot (-a) \right) + \mathbf{k} \left( \frac{a}{2} \cdot a - \frac{a}{2} \cdot (-a) \right) \] \[ = \mathbf{i} (0) - \mathbf{j} (0) + \mathbf{k} \left( \frac{a^2}{2} + \frac{a^2}{2} \right) = \mathbf{k} (a^2) = (0, 0, a^2) \] 4. Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng: - Ta chọn điểm \( A(0, 0, 0) \) trên đường thẳng \( AM \) và điểm \( B'(a, 0, a\sqrt{2}) \) trên đường thẳng \( B'C \). - Vectơ \( \overrightarrow{AB'} = (a, 0, a\sqrt{2}) \). - Khoảng cách \( d \) giữa hai đường thẳng được tính bằng công thức: \[ d = \frac{|\overrightarrow{AB'} \cdot (\overrightarrow{AM} \times \overrightarrow{B'C})|}{|\overrightarrow{AM} \times \overrightarrow{B'C}|} \] \[ \overrightarrow{AB'} \cdot (\overrightarrow{AM} \times \overrightarrow{B'C}) = (a, 0, a\sqrt{2}) \cdot (0, 0, a^2) = a\sqrt{2} \cdot a^2 = a^3\sqrt{2} \] \[ |\overrightarrow{AM} \times \overrightarrow{B'C}| = |(0, 0, a^2)| = a^2 \] \[ d = \frac{|a^3\sqrt{2}|}{a^2} = a\sqrt{2} \] 5. So sánh với dạng đã cho: - Khoảng cách \( d \) được viết dưới dạng \( \frac{a\sqrt{m}}{n} \). So sánh với \( a\sqrt{2} \), ta có \( m = 2 \) và \( n = 1 \). 6. Tổng \( m + n \): - \( m + n = 2 + 1 = 3 \). Vậy tổng \( m + n \) bằng 3.