làm cho mình từ bài 1 phần tự luận tới bài 3 nhé

Câu 14: Trong tam giác ABC, G là trọng tâm và M là trung điểm của cạnh BC. Theo tính chất của trọng tâm, ta biết rằng trọng tâm chia mỗi đường trung tuyến thành hai đoạn thẳng, trong đó đoạn gần đỉnh gấp đôi đoạn gần đáy. Do đó, ta có: \[ GA = 2 \times GM \] Từ đây, ta suy ra: \[ \frac{GM}{GA} = \frac{1}{2} \] Vậy đáp án đúng là: \[ C.~\frac{1}{2} \] Câu 15: Để tìm độ dài cạnh AC của tam giác ABC, ta cần áp dụng tính chất của tam giác: tổng độ dài hai cạnh bất kỳ của tam giác luôn lớn hơn độ dài cạnh còn lại. Gọi độ dài cạnh AC là x (cm), ta có các điều kiện sau: 1. 1 + 9 > x 2. 1 + x > 9 3. 9 + x > 1 Từ điều kiện 1: 10 > x, suy ra x < 10 Từ điều kiện 2: 1 + x > 9, suy ra x > 8 Từ điều kiện 3: 9 + x > 1, luôn đúng với mọi x > 0 Vậy x phải thỏa mãn: 8 < x < 10. Vì x là số nguyên, nên x = 9. Do đó, độ dài cạnh AC là 9 cm. Đáp án: C. 19 cm. Câu 16: Phát biểu đúng là: B. GM = $\frac{1}{3}$ GB Lập luận từng bước: - Trọng tâm G của tam giác ABC chia mỗi đường trung tuyến thành tỉ số 2:1, tức là đoạn gần đỉnh gấp đôi đoạn gần cạnh đáy. - Vì G là trọng tâm, nên G chia đường trung tuyến BM thành hai đoạn với tỉ số 2:1, nghĩa là GM = $\frac{1}{3}$ MB và BG = $\frac{2}{3}$ MB. - Do đó, GM = $\frac{1}{3}$ GB. Vậy phát biểu đúng là B. GM = $\frac{1}{3}$ GB. Câu 17: Xét $\Delta ABC$, ta có: $A + B + C = 180^0$ $80^0 + B + C = 180^0$ $B + C = 180^0 - 80^0$ $B + C = 100^0$ Tia phân giác của góc B và C cắt nhau ở I, nên ta có: $\frac{B}{2} + \frac{C}{2} = \frac{B + C}{2}$ $\frac{B}{2} + \frac{C}{2} = \frac{100^0}{2}$ $\frac{B}{2} + \frac{C}{2} = 50^0$ Xét $\Delta IBC$, ta có: $BIC + \frac{B}{2} + \frac{C}{2} = 180^0$ $BIC + 50^0 = 180^0$ $BIC = 180^0 - 50^0$ $BIC = 130^0$ Vậy số đo của góc BIC là $130^0$. Đáp án đúng là D. Câu 18: Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng kết quả một để xác định xem kết quả nào là sai. A. MI vuông góc với AB tại I: - Vì M nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB, nên MI sẽ vuông góc với AB tại I. Điều này đúng theo định nghĩa của đường trung trực. B. $2~cm < MI < 8~cm$: - Ta biết rằng M nằm trên đường trung trực của AB, do đó MI là khoảng cách từ M đến AB. Để kiểm tra điều này, ta cần tính MI. - Ta có $AB = 6~cm$, do đó $AI = IB = 3~cm$. - Xét tam giác MAI, ta có $MA = 5~cm$ và $AI = 3~cm$. Áp dụng định lý Pythagore (không được phép sử dụng nhưng ta sẽ tính toán để kiểm tra): \[ MI^2 = MA^2 - AI^2 = 5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16 \] \[ MI = \sqrt{16} = 4~cm \] - Vậy $MI = 4~cm$, và $2~cm < 4~cm < 8~cm$. Điều này đúng. C. MI là phân giác của góc AMB: - Vì M nằm trên đường trung trực của AB, nên MI sẽ là phân giác của góc AMB. Điều này đúng theo tính chất của đường trung trực. D. $MI = MA = MB$: - Ta đã tính được $MI = 4~cm$, $MA = 5~cm$. Do đó, $MI \neq MA$. Điều này sai. Vậy kết quả sai là D. $MI = MA = MB$. Đáp án: D. $MI = MA = MB$. Câu 19: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ kiểm tra từng khẳng định một. 1. Khẳng định A: H là trực tâm của $\Delta HBC$. - Trực tâm của một tam giác là điểm giao của ba đường cao của tam giác đó. - Trong $\Delta ABC$, AA' và BB' là hai đường cao, chúng cắt nhau tại H. Do đó, H là trực tâm của $\Delta ABC$. - Tuy nhiên, H không phải là trực tâm của $\Delta HBC$ vì HBC không phải là tam giác có ba đường cao giao nhau tại H. - Vậy khẳng định A sai. 2. Khẳng định B: Điểm H là trực tâm của $\Delta HAC$. - Trực tâm của một tam giác là điểm giao của ba đường cao của tam giác đó. - Trong $\Delta ABC$, AA' và BB' là hai đường cao, chúng cắt nhau tại H. Do đó, H là trực tâm của $\Delta ABC$. - Tuy nhiên, H không phải là trực tâm của $\Delta HAC$ vì HAC không phải là tam giác có ba đường cao giao nhau tại H. - Vậy khẳng định B sai. 3. Khẳng định C: $HBC = HCA = 25^0$. - Ta biết rằng tổng các góc trong một tam giác bằng $180^0$. - Trong $\Delta ABC$, góc $A = 50^0$. - Vì H là trực tâm của $\Delta ABC$, nên các góc liên quan đến H sẽ phụ thuộc vào các góc của $\Delta ABC$. - Tuy nhiên, không có thông tin cụ thể về các góc $HBC$ và $HCA$, nên chúng ta không thể kết luận rằng $HBC = HCA = 25^0$. - Vậy khẳng định C sai. 4. Khẳng định D: $HBC + HCB = 50^0$. - Ta biết rằng tổng các góc trong một tam giác bằng $180^0$. - Trong $\Delta ABC$, góc $A = 50^0$. - Vì H là trực tâm của $\Delta ABC$, nên các góc liên quan đến H sẽ phụ thuộc vào các góc của $\Delta ABC$. - Xét $\Delta HBC$, tổng các góc của nó cũng bằng $180^0$. - Góc $BHC$ là góc ngoài của $\Delta ABC$ tại đỉnh H, do đó góc $BHC = 180^0 - A = 180^0 - 50^0 = 130^0$. - Tổng các góc còn lại của $\Delta HBC$ là $180^0 - 130^0 = 50^0$. - Vậy $HBC + HCB = 50^0$. - Vậy khẳng định D đúng. Kết luận: Khẳng định đúng là D. Câu 20: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ áp dụng kiến thức về tổng các góc trong một tam giác và tính chất của tam giác cân. 1. Tổng các góc trong một tam giác là $180^0$. 2. Trong tam giác cân, hai góc ở đáy bằng nhau. Gọi số đo góc ở đáy là $x$. Vì tam giác cân nên hai góc ở đáy bằng nhau, tức là cả hai góc ở đáy đều có số đo là $x$. Ta có phương trình: \[ 70^0 + x + x = 180^0 \] Giải phương trình này: \[ 70^0 + 2x = 180^0 \] \[ 2x = 180^0 - 70^0 \] \[ 2x = 110^0 \] \[ x = \frac{110^0}{2} \] \[ x = 55^0 \] Vậy số đo góc ở đáy là $55^0$. Đáp án đúng là: $B.~55^0$ Bài 1: a) Ta có: \[ P(x) = 7x^3 + 3x^4 - x^2 + 5x^2 - 2010 - 6x^3 - 2x^4 + 2023 - x^3 \] Thu gọn các hạng tử: \[ P(x) = (7x^3 - 6x^3 - x^3) + (3x^4 - 2x^4) + (-x^2 + 5x^2) + (-2010 + 2023) \] \[ P(x) = 0x^3 + x^4 + 4x^2 + 13 \] \[ P(x) = x^4 + 4x^2 + 13 \] b) Hệ số cao nhất là 1 (hệ số của \( x^4 \)). Hệ số tự do là 13. Bậc của \( P(x) \) là 4. c) Tính \( P(1) \): \[ P(1) = 1^4 + 4 \cdot 1^2 + 13 \] \[ P(1) = 1 + 4 + 13 \] \[ P(1) = 18 \] Tính \( P(-2) \): \[ P(-2) = (-2)^4 + 4 \cdot (-2)^2 + 13 \] \[ P(-2) = 16 + 4 \cdot 4 + 13 \] \[ P(-2) = 16 + 16 + 13 \] \[ P(-2) = 45 \] Chứng tỏ đa thức \( P(x) \) không có nghiệm: Ta thấy \( P(x) = x^4 + 4x^2 + 13 \). Vì \( x^4 \geq 0 \) và \( 4x^2 \geq 0 \) với mọi \( x \), nên \( x^4 + 4x^2 \geq 0 \). Do đó, \( P(x) = x^4 + 4x^2 + 13 \geq 13 \). Vì \( P(x) \) luôn lớn hơn hoặc bằng 13, nó không thể bằng 0. Vậy đa thức \( P(x) \) không có nghiệm. Bài 2: a) Tính $M(x)$ và $N(x)$: - $M(x) = P(x) + Q(x) = (x^2 + 2x - 5) + (x^2 - 9x + 5) = 2x^2 - 7x$ - $N(x) = P(x) \cdot Q(x) = (x^2 + 2x - 5)(x^2 - 9x + 5)$ b) Tìm nghiệm của $M(x)$ và $N(x)$: - Để tìm nghiệm của $M(x)$, ta giải phương trình $M(x) = 0$: $2x^2 - 7x = 0$ $x(2x - 7) = 0$ Vậy nghiệm của $M(x)$ là $x = 0$ và $x = \frac{7}{2}$. - Để tìm nghiệm của $N(x)$, ta giải phương trình $N(x) = 0$: $(x^2 + 2x - 5)(x^2 - 9x + 5) = 0$ Ta có hai trường hợp: - $x^2 + 2x - 5 = 0$ Giải phương trình này bằng công thức nghiệm: $x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 20}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{24}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{6}}{2} = -1 \pm \sqrt{6}$ Vậy nghiệm của phương trình này là $x = -1 + \sqrt{6}$ và $x = -1 - \sqrt{6}$. - $x^2 - 9x + 5 = 0$ Giải phương trình này bằng công thức nghiệm: $x = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 20}}{2} = \frac{9 \pm \sqrt{61}}{2}$ Vậy nghiệm của phương trình này là $x = \frac{9 + \sqrt{61}}{2}$ và $x = \frac{9 - \sqrt{61}}{2}$. Tóm lại, nghiệm của $M(x)$ là $x = 0$ và $x = \frac{7}{2}$, nghiệm của $N(x)$ là $x = -1 + \sqrt{6}$, $x = -1 - \sqrt{6}$, $x = \frac{9 + \sqrt{61}}{2}$ và $x = \frac{9 - \sqrt{61}}{2}$. Bài 3: a) \( A(x) + B(x) \) \( A(x) = -x^3 + 7x^2 + 2x - 15 \) \( B(x) = x^2 - 5x^3 - 4x + 7 \) Tổng của hai đa thức: \[ A(x) + B(x) = (-x^3 + 7x^2 + 2x - 15) + (x^2 - 5x^3 - 4x + 7) \] Gộp các hạng tử có cùng bậc: \[ = (-x^3 - 5x^3) + (7x^2 + x^2) + (2x - 4x) + (-15 + 7) \] \[ = -6x^3 + 8x^2 - 2x - 8 \] b) \( A(x) + C(x) \) \( A(x) = -x^3 + 7x^2 + 2x - 15 \) \( C(x) = 3x^3 - 7x^2 - 4 \) Tổng của hai đa thức: \[ A(x) + C(x) = (-x^3 + 7x^2 + 2x - 15) + (3x^3 - 7x^2 - 4) \] Gộp các hạng tử có cùng bậc: \[ = (-x^3 + 3x^3) + (7x^2 - 7x^2) + 2x + (-15 - 4) \] \[ = 2x^3 + 0x^2 + 2x - 19 \] \[ = 2x^3 + 2x - 19 \] c) \( A(x) - B(x) \) \( A(x) = -x^3 + 7x^2 + 2x - 15 \) \( B(x) = x^2 - 5x^3 - 4x + 7 \) Hiệu của hai đa thức: \[ A(x) - B(x) = (-x^3 + 7x^2 + 2x - 15) - (x^2 - 5x^3 - 4x + 7) \] Phân phối dấu trừ: \[ = -x^3 + 7x^2 + 2x - 15 - x^2 + 5x^3 + 4x - 7 \] Gộp các hạng tử có cùng bậc: \[ = (-x^3 + 5x^3) + (7x^2 - x^2) + (2x + 4x) + (-15 - 7) \] \[ = 4x^3 + 6x^2 + 6x - 22 \] d) \( B(x) - C(x) \) \( B(x) = x^2 - 5x^3 - 4x + 7 \) \( C(x) = 3x^3 - 7x^2 - 4 \) Hiệu của hai đa thức: \[ B(x) - C(x) = (x^2 - 5x^3 - 4x + 7) - (3x^3 - 7x^2 - 4) \] Phân phối dấu trừ: \[ = x^2 - 5x^3 - 4x + 7 - 3x^3 + 7x^2 + 4 \] Gộp các hạng tử có cùng bậc: \[ = (-5x^3 - 3x^3) + (x^2 + 7x^2) + (-4x) + (7 + 4) \] \[ = -8x^3 + 8x^2 - 4x + 11 \] e) \( B(x) - A(x) + C(x) \) \( B(x) = x^2 - 5x^3 - 4x + 7 \) \( A(x) = -x^3 + 7x^2 + 2x - 15 \) \( C(x) = 3x^3 - 7x^2 - 4 \) Hiệu và tổng của ba đa thức: \[ B(x) - A(x) + C(x) = (x^2 - 5x^3 - 4x + 7) - (-x^3 + 7x^2 + 2x - 15) + (3x^3 - 7x^2 - 4) \] Phân phối dấu trừ: \[ = x^2 - 5x^3 - 4x + 7 + x^3 - 7x^2 - 2x + 15 + 3x^3 - 7x^2 - 4 \] Gộp các hạng tử có cùng bậc: \[ = (-5x^3 + x^3 + 3x^3) + (x^2 - 7x^2 - 7x^2) + (-4x - 2x) + (7 + 15 - 4) \] \[ = -x^3 - 13x^2 - 6x + 18 \] f) \( C(x) - B(x) - A(x) \) \( C(x) = 3x^3 - 7x^2 - 4 \) \( B(x) = x^2 - 5x^3 - 4x + 7 \) \( A(x) = -x^3 + 7x^2 + 2x - 15 \) Hiệu của ba đa thức: \[ C(x) - B(x) - A(x) = (3x^3 - 7x^2 - 4) - (x^2 - 5x^3 - 4x + 7) - (-x^3 + 7x^2 + 2x - 15) \] Phân phối dấu trừ: \[ = 3x^3 - 7x^2 - 4 - x^2 + 5x^3 + 4x - 7 + x^3 - 7x^2 - 2x + 15 \] Gộp các hạng tử có cùng bậc: \[ = (3x^3 + 5x^3 + x^3) + (-7x^2 - x^2 - 7x^2) + (4x - 2x) + (-4 - 7 + 15) \] \[ = 9x^3 - 15x^2 + 2x + 4 \] Đáp số: a) \( -6x^3 + 8x^2 - 2x - 8 \) b) \( 2x^3 + 2x - 19 \) c) \( 4x^3 + 6x^2 + 6x - 22 \) d) \( -8x^3 + 8x^2 - 4x + 11 \) e) \( -x^3 - 13x^2 - 6x + 18 \) f) \( 9x^3 - 15x^2 + 2x + 4 \) Bài 4: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Rút gọn các đa thức \( f(x) \) và \( g(x) \): - Với \( f(x) = 3x^4 - 3x^2 + 12 - 3x^4 + x^3 - 2x + 3x - 15 \): - Các hạng tử \( 3x^4 \) và \( -3x^4 \) triệt tiêu lẫn nhau. - Các hạng tử \( -2x \) và \( 3x \) kết hợp lại thành \( x \). - Kết quả là: \( f(x) = x^3 - 3x^2 + x - 3 \). - Với \( g(x) = -x^3 - 5x^4 - 2x + 3x^2 + 2 + 5x^4 - 12x - 3 - x^3 \): - Các hạng tử \( -5x^4 \) và \( 5x^4 \) triệt tiêu lẫn nhau. - Các hạng tử \( -x^3 \) và \( -x^3 \) kết hợp lại thành \( -2x^3 \). - Các hạng tử \( -2x \) và \( -12x \) kết hợp lại thành \( -14x \). - Kết quả là: \( g(x) = -2x^3 + 3x^2 - 14x - 1 \). 2. Tóm tắt kết quả: - Đa thức \( f(x) \) đã rút gọn là: \( f(x) = x^3 - 3x^2 + x - 3 \). - Đa thức \( g(x) \) đã rút gọn là: \( g(x) = -2x^3 + 3x^2 - 14x - 1 \). Vậy, các đa thức đã được rút gọn lần lượt là: \[ f(x) = x^3 - 3x^2 + x - 3 \] \[ g(x) = -2x^3 + 3x^2 - 14x - 1 \]