Để tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số, ta cần tính giới hạn của hàm số khi tiến đến vô cùng () và khi tiến đến âm vô cùng ().
Giả sử hàm số đã cho là . Ta sẽ tính các giới hạn sau:
1.
2.
Nếu cả hai giới hạn trên đều tồn tại và bằng một hằng số , thì đường thẳng là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Ví dụ, nếu hàm số là :
1. Tính :
2. Tính :
Vì cả hai giới hạn đều bằng 1, nên đường thẳng là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Do đó, đáp án đúng là:
Câu 8.
Phương trình tổng quát của mặt phẳng trong không gian Oxyz có dạng:
trong đó là các hằng số và không đồng thời bằng 0.
Ta xét từng phương trình đã cho:
A.
- Phương trình này có chứa , do đó không phải là phương trình tổng quát của mặt phẳng.
B.
- Phương trình này có chứa , do đó không phải là phương trình tổng quát của mặt phẳng.
Như vậy, cả hai phương trình đều không phải là phương trình tổng quát của mặt phẳng vì chúng chứa các hạng tử bậc hai.
Đáp án: Cả hai phương trình đều không phải là phương trình tổng quát của mặt phẳng.
Câu 9.
Cấp số nhân có , . Ta cần tìm giá trị của .
Công thức tổng quát của cấp số nhân là:
Áp dụng công thức này để tìm :
Vậy giá trị của là 16.
Câu 1.
Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần tính nguyên hàm của hàm số .
Bước 1: Tính nguyên hàm từng phần của hàm số.
- Nguyên hàm của là .
- Nguyên hàm của là .
Bước 2: Kết hợp các nguyên hàm lại với nhau.
Bước 3: Gộp các hằng số và thành một hằng số tổng quát .
Do đó, khẳng định đúng là:
Tuy nhiên, theo kết quả tính toán ở trên, khẳng định đúng là:
Vậy đáp án đúng là:
Câu 10.
Trước tiên, ta cần hiểu rằng trong hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Điều này có nghĩa là O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD, và chúng chia đôi nhau tại O.
Ta biết rằng SO vuông góc với AC và SO vuông góc với BD. Điều này có nghĩa là SO là đường cao hạ từ đỉnh S xuống mặt phẳng (ABCD).
Bây giờ, ta sẽ kiểm tra từng khẳng định:
- Khẳng định A: SA vuông góc với (ABCD).
- Để SA vuông góc với (ABCD), SA phải vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (ABCD). Tuy nhiên, chỉ biết SO vuông góc với AC và BD không đủ để kết luận SA vuông góc với (ABCD). Do đó, khẳng định này chưa chắc chắn.
- Khẳng định B: SO vuông góc với (ABCD).
- Vì SO vuông góc với AC và SO vuông góc với BD, và AC và BD là hai đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng (ABCD), nên SO vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (ABCD). Do đó, SO vuông góc với (ABCD).
- Khẳng định C và D liên quan đến tích phân, nhưng không liên quan đến hình chóp S.ABCD, nên chúng không được xét ở đây.
Vậy khẳng định đúng là:
Đáp án: B.
Câu 2.
Để tính tích phân , ta sử dụng định lý Newton-Leibniz, theo đó:
Biết rằng và , ta thay vào công thức trên:
Vậy tích phân bằng .
Câu 11.
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:
1. Xác định khoảng cách và số lượng các khoảng:
- Các khoảng đã cho là: [2,7; 3,0), [3,0; 3,3), [3,3; 3,6), [3,6; 3,9), [3,9; 4,2).
- Số lượng các khoảng là 5.
2. Tính trung bình cộng của các khoảng:
- Trung bình cộng của mỗi khoảng được tính bằng cách lấy trung điểm của mỗi khoảng.
- Trung điểm của [2,7; 3,0) là .
- Trung điểm của [3,0; 3,3) là .
- Trung điểm của [3,3; 3,6) là .
- Trung điểm của [3,6; 3,9) là .
- Trung điểm của [3,9; 4,2) là .
3. Nhân trung điểm của mỗi khoảng với số lượng các giá trị trong khoảng đó:
- Cho các số ngày tương ứng với mỗi khoảng là 6, 5, 1, 7, 1.
- Tính tổng các giá trị nhân với số lượng:
4. Tính tổng số ngày:
- Tổng số ngày là 20.
5. Tính trung bình cộng:
- Trung bình cộng là:
Vậy trung bình cộng quãng đường đi bộ mỗi ngày của bác Hương là 3,33 km.
Đáp án: 3,33 km.
Câu 3.
Để giải phương trình , ta cần tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ) trước.
1. Điều kiện xác định:
-
-
Kết hợp hai điều kiện trên, ta có:
2. Giải phương trình:
Vì hai vế đều có dạng , ta có thể loại bỏ"log" từ cả hai vế:
Đơn giản hóa phương trình:
Factorize:
Ta có hai nghiệm:
3. Kiểm tra điều kiện xác định:
- không thỏa mãn .
- thỏa mãn .
Vậy tập nghiệm của phương trình là .
Đáp án: C. .
Câu 4.
Bất phương trình luôn đúng với mọi giá trị của vì là một số dương và lũy thừa của một số dương luôn dương.
Do đó, tập nghiệm của bất phương trình là .
Đáp số: .
Câu 12.
Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng khẳng định một để xác định khẳng định nào sai.
Khẳng định A:
- Ta có vì nó là vectơ chỉ từ điểm C đến chính nó.
- Do đó, .
- Vậy khẳng định A đúng.
Khẳng định B:
- Ta có vì cả hai đều là vectơ chỉ từ đáy lên đỉnh của hình hộp.
- Do đó, .
- Mặt khác, .
- Vì , nên .
- Vậy khẳng định B sai.
Khẳng định C:
- Ta có , , và .
- Do đó, .
- Kết quả cuối cùng là tổng của các vectơ này, nhưng không có thông tin cụ thể về giá trị của chúng, nên không thể kết luận khẳng định này đúng hay sai chỉ dựa trên thông tin đã cho.
Khẳng định D:
- Ta có .
- Mặt khác, vì chúng là các vectơ song song và bằng nhau trong hình hộp.
- Do đó, .
- Nhưng khẳng định D lại viết , tức là thêm một nữa vào.
- Vậy khẳng định D sai.
Từ các phân tích trên, khẳng định sai là:
Đáp án: B.
Câu 5.
Để tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng, ta cần xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng đó. Đường thẳng đã cho có phương trình tham số là:
Từ phương trình tham số này, ta thấy rằng vectơ chỉ phương của đường thẳng là:
Bây giờ, ta sẽ kiểm tra từng vectơ để xem liệu chúng có cùng phương với vectơ chỉ phương của đường thẳng hay không.
- Vectơ : Ta thấy rằng các thành phần của không tỷ lệ với các thành phần của . Do đó, không cùng phương với .
- Vectơ : Ta thấy rằng các thành phần của không tỷ lệ với các thành phần của . Do đó, không cùng phương với .
- Vectơ : Ta thấy rằng các thành phần của không tỷ lệ với các thành phần của . Do đó, không cùng phương với .
- Vectơ : Ta thấy rằng các thành phần của tỷ lệ với các thành phần của . Cụ thể, . Do đó, cùng phương với .
Vậy, vectơ chỉ phương của đường thẳng là:
Câu 6.
Để giải quyết nhiệm vụ này, chúng ta cần phân tích bảng biến thiên của hàm số để xác định các tính chất quan trọng của nó. Dưới đây là các bước chi tiết:
1. Xác định miền xác định (ĐKXĐ):
- Từ bảng biến thiên, ta thấy rằng hàm số được xác định trên toàn bộ tập số thực . Do đó, điều kiện xác định là .
2. Tìm các điểm cực trị:
- Bảng biến thiên cho thấy hàm số đạt cực đại tại điểm với giá trị .
- Hàm số đạt cực tiểu tại điểm với giá trị .
3. Xác định khoảng đồng biến và nghịch biến:
- Hàm số đồng biến trên các khoảng và .
- Hàm số nghịch biến trên khoảng .
4. Tìm giới hạn của hàm số:
- Giới hạn khi tiến đến : .
- Giới hạn khi tiến đến : .
5. Xác định giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất:
- Từ bảng biến thiên, ta thấy rằng hàm số không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên toàn bộ miền xác định .
6. Tìm giao điểm với trục tọa độ:
- Giao điểm với trục : , do đó giao điểm là .
- Giao điểm với trục : Ta cần giải phương trình . Tuy nhiên, từ bảng biến thiên, ta thấy rằng hàm số không cắt trục tại bất kỳ điểm nào.
7. Tóm tắt kết quả:
- Miền xác định: .
- Cực đại: .
- Cực tiểu: .
- Đồng biến trên và .
- Nghịch biến trên .
- Giới hạn: và .
- Không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.
- Giao điểm với trục : .
- Không có giao điểm với trục .
Như vậy, thông qua việc phân tích bảng biến thiên, chúng ta đã xác định được các tính chất quan trọng của hàm số .
Câu 1.
Để xác định khoảng nào hàm số đã cho nghịch biến, ta cần tìm đạo hàm của hàm số và xem xét dấu của đạo hàm trên các khoảng đã cho.
Giả sử hàm số đã cho là .
Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số :
Bước 2: Xét dấu của đạo hàm trên các khoảng đã cho:
- Nếu trên một khoảng thì hàm số nghịch biến trên khoảng đó.
Bước 3: Kiểm tra từng khoảng:
- Trên khoảng
- Trên khoảng
- Trên khoảng
- Trên khoảng
Bước 4: Kết luận khoảng nào hàm số nghịch biến dựa vào dấu của đạo hàm.
Vì không có hàm số cụ thể được cung cấp, ta giả sử rằng đạo hàm của hàm số là .
- Trên khoảng , . Khi nằm trong khoảng , có thể dương hoặc âm tùy thuộc vào giá trị của . Do đó, không thể kết luận chắc chắn rằng hàm số nghịch biến trên toàn bộ khoảng này.
- Trên khoảng , . Khi , . Do đó, hàm số nghịch biến trên khoảng này.
- Trên khoảng , . Khi , có thể dương hoặc âm tùy thuộc vào giá trị của . Do đó, không thể kết luận chắc chắn rằng hàm số nghịch biến trên toàn bộ khoảng này.
- Trên khoảng , . Khi , . Do đó, hàm số nghịch biến trên khoảng này.
Từ các phân tích trên, ta thấy rằng hàm số nghịch biến trên khoảng và .
Vậy đáp án đúng là:
Tuy nhiên, vì chỉ yêu cầu chọn một đáp án, ta chọn khoảng lớn nhất là:
Câu 7.
Để giải quyết các khẳng định về đồ thị hàm số , chúng ta sẽ phân tích từng đoạn của đồ thị và xác định tính chất của nó.
1. Khẳng định A: Hàm số đồng biến trên khoảng .
- Trên khoảng , đồ thị hàm số tăng dần từ trái sang phải. Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng này.
- Kết luận: Khẳng định A là Đúng.
2. Khẳng định B: Hàm số nghịch biến trên khoảng .
- Trên khoảng , đồ thị hàm số giảm dần từ trái sang phải. Do đó, hàm số nghịch biến trên khoảng này.
- Kết luận: Khẳng định B là Đúng.
3. Khẳng định C: Hàm số đồng biến trên khoảng .
- Trên khoảng , đồ thị hàm số tăng dần từ trái sang phải. Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng này.
- Kết luận: Khẳng định C là Đúng.
4. Khẳng định D: Hàm số đạt cực đại tại điểm .
- Tại điểm , đồ thị hàm số chuyển từ tăng sang giảm. Do đó, hàm số đạt cực đại tại điểm này.
- Kết luận: Khẳng định D là Đúng.
5. Khẳng định E: Hàm số đạt cực tiểu tại điểm .
- Tại điểm , đồ thị hàm số chuyển từ giảm sang tăng. Do đó, hàm số đạt cực tiểu tại điểm này.
- Kết luận: Khẳng định E là Đúng.
Tóm lại, tất cả các khẳng định A, B, C, D và E đều đúng.