hsushwhwbsveb

Câu 12: Để xác định khoảng đồng biến của hàm số $y = f(x)$, ta cần dựa vào đồ thị của hàm số. Một hàm số được coi là đồng biến trên một khoảng nếu giá trị của hàm số tăng dần khi giá trị của biến độc lập tăng dần trong khoảng đó. Trên đồ thị của hàm số $y = f(x)$, ta thấy rằng: - Từ $x = -\infty$ đến $x = -1$, đồ thị của hàm số giảm dần, tức là hàm số nghịch biến. - Từ $x = -1$ đến $x = 1$, đồ thị của hàm số tăng dần, tức là hàm số đồng biến. - Từ $x = 1$ đến $x = +\infty$, đồ thị của hàm số giảm dần, tức là hàm số nghịch biến. Do đó, hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên khoảng $(-1; 1)$. Vậy đáp án đúng là: $B.~(-1;1).$ Đáp số: $B.~(-1;1).$ Câu 13: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần theo yêu cầu. Phần a) Tính giá trị của hàm số tại các điểm \( x = 0 \) và \( x = \pi \). - \( f(0) = \sin(2 \cdot 0) + 2 \cdot 0 = \sin(0) + 0 = 0 \) - \( f(\pi) = \sin(2 \cdot \pi) + 2 \cdot \pi = \sin(2\pi) + 2\pi = 0 + 2\pi = 2\pi \) Phần b) Tìm đạo hàm của hàm số \( f(x) = \sin(2x) + 2x \). - \( f'(x) = \frac{d}{dx}[\sin(2x)] + \frac{d}{dx}[2x] \) - \( f'(x) = 2\cos(2x) + 2 \) Phần c) Giải phương trình \( f(x) = 0 \) trên đoạn \([0, \pi]\). - \( \sin(2x) + 2x = 0 \) Ta xét các điểm: - \( x = 0 \): - \( f(0) = \sin(0) + 2 \cdot 0 = 0 \) - Vậy \( x = 0 \) là nghiệm của phương trình. - \( x = \pi \): - \( f(\pi) = \sin(2\pi) + 2\pi = 0 + 2\pi = 2\pi \neq 0 \) - Vậy \( x = \pi \) không là nghiệm của phương trình. Do đó, nghiệm duy nhất của phương trình \( f(x) = 0 \) trên đoạn \([0, \pi]\) là \( x = 0 \). Phần d) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \( f(x) \) trên đoạn \([0, \pi]\). - Ta đã biết \( f(0) = 0 \) và \( f(\pi) = 2\pi \). - Để tìm giá trị lớn nhất, ta cần kiểm tra đạo hàm \( f'(x) = 2\cos(2x) + 2 \) trên đoạn \([0, \pi]\). - \( f'(x) = 0 \): - \( 2\cos(2x) + 2 = 0 \) - \( \cos(2x) = -1 \) - \( 2x = \pi \) - \( x = \frac{\pi}{2} \) Kiểm tra giá trị của \( f(x) \) tại các điểm \( x = 0 \), \( x = \frac{\pi}{2} \), và \( x = \pi \): - \( f(0) = 0 \) - \( f\left(\frac{\pi}{2}\right) = \sin\left(2 \cdot \frac{\pi}{2}\right) + 2 \cdot \frac{\pi}{2} = \sin(\pi) + \pi = 0 + \pi = \pi \) - \( f(\pi) = 2\pi \) Vậy giá trị lớn nhất của hàm số \( f(x) \) trên đoạn \([0, \pi]\) là \( 2\pi \), đạt được khi \( x = \pi \). Kết luận - \( f(0) = 0 \) - \( f(\pi) = 2\pi \) - \( f'(x) = 2\cos(2x) + 2 \) - Nghiệm của phương trình \( f(x) = 0 \) trên đoạn \([0, \pi]\) là \( x = 0 \) - Giá trị lớn nhất của \( f(x) \) trên đoạn \([0, \pi]\) là \( 2\pi \), đạt được khi \( x = \pi \). Câu 14: a) Vận tốc của vật khi thay đổi là $v(t)=t^2-4t(m/s).$ b) Tại thời điểm $t=0$ (khi vật bắt đầu thay đổi vận tốc) có $v(0)=20.$ Suy ra $v(t)=t^2-4t+20.$ c) Quãng đường vật đó đi được trong khoảng thời gian 3 giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc là: \[ s = \int_{0}^{3} v(t) \, dt = \int_{0}^{3} (t^2 - 4t + 20) \, dt = \left[ \frac{t^3}{3} - 2t^2 + 20t \right]_{0}^{3} = \left( \frac{3^3}{3} - 2 \cdot 3^2 + 20 \cdot 3 \right) - 0 = 9 - 18 + 60 = 51 \text{ (m)} \] d) Quãng đường vật đi được kể từ thời điểm thay đổi gia tốc đến lúc vật đạt vận tốc bé nhất là: Để tìm vận tốc bé nhất, ta tính đạo hàm của $v(t)$ và tìm giá trị cực tiểu: \[ v'(t) = 2t - 4 \] Đặt $v'(t) = 0$, ta có: \[ 2t - 4 = 0 \implies t = 2 \] Tại $t = 2$, vận tốc bé nhất là: \[ v(2) = 2^2 - 4 \cdot 2 + 20 = 4 - 8 + 20 = 16 \text{ (m/s)} \] Quãng đường vật đi được từ $t = 0$ đến $t = 2$ là: \[ s = \int_{0}^{2} v(t) \, dt = \int_{0}^{2} (t^2 - 4t + 20) \, dt = \left[ \frac{t^3}{3} - 2t^2 + 20t \right]_{0}^{2} = \left( \frac{2^3}{3} - 2 \cdot 2^2 + 20 \cdot 2 \right) - 0 = \frac{8}{3} - 8 + 40 = \frac{8}{3} + 32 = \frac{104}{3} \text{ (m)} \] Đáp số: a) Vận tốc của vật khi thay đổi là $v(t) = t^2 - 4t \text{ (m/s)}.$ b) Vận tốc của vật tại thời điểm $t = 0$ là $v(0) = 20 \text{ (m/s)}.$ c) Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 3 giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc là 51 m. d) Quãng đường vật đi được kể từ thời điểm thay đổi gia tốc đến lúc vật đạt vận tốc bé nhất là $\frac{104}{3} \text{ (m)}.$ Câu 15: a) Xác suất $P(B)$ và $P(\overline{B})$ Số người trả lời "sẽ mua" là 180 người, tổng số người được khảo sát là 300 người. Do đó, xác suất $P(B)$ là: \[ P(B) = \frac{180}{300} = \frac{3}{5} \] Xác suất $P(\overline{B})$ là: \[ P(\overline{B}) = 1 - P(B) = 1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5} \] b) Xác suất có điều kiện $P(A|B)$ Theo đề bài, trong số những người trả lời "sẽ mua", có 80% thực sự mua sản phẩm. Do đó, xác suất có điều kiện $P(A|B)$ là: \[ P(A|B) = 0.8 \] c) Xác suất $P(A)$ Ta sử dụng công thức xác suất tổng: \[ P(A) = P(A|B) \cdot P(B) + P(A|\overline{B}) \cdot P(\overline{B}) \] Trong số những người trả lời "không mua", có 15% thay đổi ý định và mua sản phẩm. Do đó, xác suất có điều kiện $P(A|\overline{B})$ là: \[ P(A|\overline{B}) = 0.15 \] Thay vào công thức xác suất tổng: \[ P(A) = 0.8 \cdot \frac{3}{5} + 0.15 \cdot \frac{2}{5} \] \[ P(A) = 0.8 \cdot 0.6 + 0.15 \cdot 0.4 \] \[ P(A) = 0.48 + 0.06 \] \[ P(A) = 0.54 \] d) Trong số những người thực sự mua sản phẩm, xác suất 87% trong đó đã trả lời "sẽ mua" Ta cần tính xác suất $P(B|A)$, tức là xác suất một người đã trả lời "sẽ mua" trong số những người thực sự mua sản phẩm. Theo định lý Bayes: \[ P(B|A) = \frac{P(A|B) \cdot P(B)}{P(A)} \] Thay các giá trị đã biết vào: \[ P(B|A) = \frac{0.8 \cdot \frac{3}{5}}{0.54} \] \[ P(B|A) = \frac{0.48}{0.54} \] \[ P(B|A) = \frac{48}{54} \] \[ P(B|A) = \frac{8}{9} \approx 0.8889 \] Như vậy, xác suất 87% trong số những người thực sự mua sản phẩm đã trả lời "sẽ mua" là gần đúng 0.8889, hoặc khoảng 88.89%. Câu 16: a) Góc trượt (góc giữa đường thẳng bay AB và mặt phẳng nằm ngang (Oxy)) nằm trong phạm vi phép từ 3,5" đến 4,5". Đầu tiên, ta tìm vector $\overrightarrow{AB}$: \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (3,5 - 3,5, 5,5 + 2, 0 - 0,4) = (0, 7,5, -0,4) \] Góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng Oxy là góc giữa $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{k} = (0, 0, 1)$ (vector đơn vị dọc theo trục Oz). Ta tính cos của góc này: \[ \cos \theta = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{k}}{|\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{k}|} \] \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{k} = 0 \times 0 + 7,5 \times 0 + (-0,4) \times 1 = -0,4 \] \[ |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{0^2 + 7,5^2 + (-0,4)^2} = \sqrt{56,25 + 0,16} = \sqrt{56,41} \approx 7,51 \] \[ |\overrightarrow{k}| = 1 \] \[ \cos \theta = \frac{-0,4}{7,51} \approx -0,0532 \] \[ \theta = \arccos(-0,0532) \approx 93^\circ \] Do đó, góc trượt là: \[ 90^\circ - 93^\circ = -3^\circ \] b) Có một lớp máy được mô phỏng bởi một mặt phẳng (d) đi qua ba điểm $N(0;-5;0), P(0;0;0;5).$ Ta tìm vector pháp tuyến của mặt phẳng (d): \[ \overrightarrow{NP} = P - N = (0 - 0, 0 + 5, 0 - 0) = (0, 5, 0) \] \[ \overrightarrow{NM} = M - N = (5 - 0, 0 + 5, 0 - 0) = (5, 5, 0) \] Vector pháp tuyến $\overrightarrow{n}$ của mặt phẳng (d) là: \[ \overrightarrow{n} = \overrightarrow{NP} \times \overrightarrow{NM} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 5 & 0 \\ 5 & 5 & 0 \end{vmatrix} = (0, 0, 25) \] Phương trình mặt phẳng (d) là: \[ 0(x - 0) + 0(y + 5) + 25(z - 0) = 0 \Rightarrow z = 0 \] c) Điểm $C(\frac{7}{2}, \frac{43}{46}, \frac{28}{115})$ là vị trí mà máy bay xuyên qua đám máy để hạ cánh. Ta kiểm tra điểm C có thuộc mặt phẳng (d) hay không: \[ z = \frac{28}{115} \neq 0 \] Do đó, điểm C không thuộc mặt phẳng (d). d) Điểm $D(3,5, 7,75, -0,12)$ trên đoạn thẳng AB là vị trí mà máy bay ở độ cao 120 m. Ta kiểm tra điểm D có thuộc đoạn thẳng AB hay không: \[ \overrightarrow{AD} = D - A = (3,5 - 3,5, 7,75 + 2, -0,12 - 0,4) = (0, 9,75, -0,52) \] Ta thấy rằng $\overrightarrow{AD}$ là bội của $\overrightarrow{AB}$: \[ \overrightarrow{AD} = k \overrightarrow{AB} \Rightarrow (0, 9,75, -0,52) = k (0, 7,5, -0,4) \] Từ đây, ta có: \[ k = \frac{9,75}{7,5} = 1,3 \quad \text{và} \quad k = \frac{-0,52}{-0,4} = 1,3 \] Do đó, điểm D thuộc đoạn thẳng AB và máy bay ở độ cao 120 m tại điểm D.