giup kinh dkdijc

Câu 26. Để xác định hàm số nào đồng biến trên tập xác định của nó, chúng ta sẽ kiểm tra tính chất đồng biến của từng hàm số. A) \( y = \left(\sqrt{\frac{3}{4}}\right)^x \) - Hàm số này có dạng \( y = a^x \) với \( a = \sqrt{\frac{3}{4}} \approx 0.866 \). - Vì \( 0 < a < 1 \), hàm số \( y = a^x \) là hàm nghịch biến trên tập xác định của nó. B) \( y = \ln x \) - Hàm số \( y = \ln x \) là hàm số lôgarit tự nhiên. - Hàm số \( y = \ln x \) là hàm đồng biến trên tập xác định của nó, tức là trên khoảng \( (0, +\infty) \). C) \( y = z^{-3} \) - Hàm số này có dạng \( y = z^{-3} = \frac{1}{z^3} \). - Hàm số \( y = \frac{1}{z^3} \) là hàm nghịch biến trên mỗi khoảng của tập xác định của nó, tức là trên \( (-\infty, 0) \) và \( (0, +\infty) \). D) \( y = \log_{a,n} x \) - Hàm số này có dạng \( y = \log_a x \) với \( a > 0 \) và \( a \neq 1 \). - Nếu \( a > 1 \), hàm số \( y = \log_a x \) là hàm đồng biến trên tập xác định của nó, tức là trên khoảng \( (0, +\infty) \). - Nếu \( 0 < a < 1 \), hàm số \( y = \log_a x \) là hàm nghịch biến trên tập xác định của nó. Từ các phân tích trên, chúng ta thấy rằng hàm số \( y = \ln x \) là hàm đồng biến trên tập xác định của nó. Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{B} \] Câu 27. Để xác định khoảng đồng biến của hàm số từ bảng biến thiên, ta cần tìm các khoảng trong đó đạo hàm của hàm số dương (tức là hàm số tăng). Bảng biến thiên cho thấy: - Từ $-\infty$ đến $x=1$, hàm số giảm. - Từ $x=1$ đến $x=3$, hàm số tăng. - Từ $x=3$ đến $+\infty$, hàm số giảm. Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng $(1; 3)$. Tuy nhiên, trong các đáp án đã cho, không có khoảng $(1; 3)$. Vì vậy, chúng ta cần kiểm tra lại các khoảng đã cho trong các đáp án để xem có khoảng nào đúng không. - Đáp án A: $(1; +\infty)$ - Đây là khoảng từ $x=1$ đến $+\infty$, nhưng hàm số chỉ tăng từ $x=1$ đến $x=3$, sau đó giảm. Do đó, đáp án này không đúng. - Đáp án B: $(0; 3)$ - Đây là khoảng từ $x=0$ đến $x=3$, nhưng hàm số chỉ tăng từ $x=1$ đến $x=3$. Do đó, đáp án này không đúng. - Đáp án C: $(2; +\infty)$ - Đây là khoảng từ $x=2$ đến $+\infty$, nhưng hàm số chỉ tăng từ $x=1$ đến $x=3$, sau đó giảm. Do đó, đáp án này không đúng. - Đáp án D: $(-\infty; +\infty)$ - Đây là toàn bộ khoảng thực, nhưng hàm số chỉ tăng từ $x=1$ đến $x=3$, sau đó giảm. Do đó, đáp án này không đúng. Như vậy, không có đáp án nào đúng trong các đáp án đã cho. Tuy nhiên, nếu phải chọn một đáp án gần đúng nhất, thì đáp án B: $(0; 3)$ là gần đúng nhất vì hàm số tăng từ $x=1$ đến $x=3$, nằm trong khoảng $(0; 3)$. Đáp án: $\textcircled B.~(0;3).$ Đáp số: $\textcircled B.~(0;3).$ Câu 28. Câu hỏi yêu cầu chúng ta xác định phát biểu đúng về tính chất đồng biến và nghịch biến của hàm số dựa vào đạo hàm của nó. Chúng ta sẽ kiểm tra từng phát biểu một. A. Hàm số $y=f(x)$ đồng biến trên $(a;b)$ nếu và chỉ nếu $f^\prime(x)\leq0,\forall x\in(x;b).$ Phát biểu này sai vì nếu $f^\prime(x)\leq0$, hàm số sẽ nghịch biến hoặc không đổi, không phải đồng biến. B. Hàm số $y=f(x)$ nghịch biến trên $(a;b)$ nếu và chỉ nếu $f^\prime(x)< 0,\forall x\in(a;b).$ Phát biểu này sai vì nếu $f^\prime(x)< 0$, hàm số nghịch biến, nhưng nếu $f^\prime(x)=0$ tại một số điểm thì hàm số vẫn có thể nghịch biến. Do đó, phát biểu "nếu và chỉ nếu" là không chính xác. C. Hàm số $y=f(x)$ đồng biến trên $(a;b)$ nếu $f^\prime(x)\geq0,\forall x\in(a;b)$ và $f^\prime(x)$ tại hữu hạn giá trị $x\in(a;b).$ Phát biểu này đúng vì nếu $f^\prime(x)\geq0$ trên $(a;b)$ và đạo hàm bằng 0 tại hữu hạn giá trị $x$, hàm số vẫn đồng biến trên khoảng đó. D. Hàm số $y=f(x)$ đồng biến trên $(a;b)$ nếu và chỉ nếu $f^\prime(x)\geq0,\forall x\in(x;b).$ Phát biểu này sai vì nếu $f^\prime(x)=0$ tại vô hạn giá trị $x$, hàm số có thể không đồng biến. Vậy phát biểu đúng là: C. Hàm số $y=f(x)$ đồng biến trên $(a;b)$ nếu $f^\prime(x)\geq0,\forall x\in(a;b)$ và $f^\prime(x)$ tại hữu hạn giá trị $x\in(a;b).$ Đáp án: C. Câu 29. Hàm số $f(x)$ đồng biến trên tập số thực $\mathbb{R}$ nghĩa là nếu $x_1 < x_2$ thì $f(x_1) < f(x_2)$. Ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề: A. Với mọi $x_1, x_2 \in \mathbb{R} \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)$ - Mệnh đề này sai vì nó không đúng với mọi trường hợp. Chẳng hạn, nếu $x_1 < x_2$, theo tính chất đồng biến thì $f(x_1) < f(x_2)$. B. Với mọi $x_1, x_2 \in \mathbb{R} \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)$ - Mệnh đề này cũng sai vì nó không đúng với mọi trường hợp. Chẳng hạn, nếu $x_1 > x_2$, theo tính chất đồng biến thì $f(x_1) > f(x_2)$. C. Với mọi $x_1 > x_2 \in \mathbb{R} \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)$ - Mệnh đề này sai vì nếu $x_1 > x_2$, theo tính chất đồng biến thì $f(x_1) > f(x_2)$. D. Với mọi $x_1 < x_2 \in \mathbb{R} \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)$ - Mệnh đề này đúng vì nếu $x_1 < x_2$, theo tính chất đồng biến thì $f(x_1) < f(x_2)$. Vậy mệnh đề đúng là: D. Với mọi $x_1 < x_2 \in \mathbb{R} \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)$. Câu 30. Để xác định mệnh đề đúng trong các lựa chọn đã cho, chúng ta cần hiểu rõ về tính chất của đạo hàm và sự liên quan giữa đạo hàm và tính đồng biến của hàm số. 1. Mệnh đề A: \( f'(x) > 0, \forall x \in (a; b) \Rightarrow f(x) \) đồng biến trên \((a; b)\). - Nếu đạo hàm \( f'(x) \) dương trên toàn bộ khoảng \((a; b)\), thì hàm số \( f(x) \) sẽ đồng biến trên khoảng đó. Đây là một mệnh đề đúng. 2. Mệnh đề B: \( f'(x) \geq 0, \forall x \in (a; b) \Rightarrow f(x) \) đồng biến trên \((a; b)\). - Nếu đạo hàm \( f'(x) \) không âm trên toàn bộ khoảng \((a; b)\), tức là \( f'(x) \geq 0 \), thì hàm số \( f(x) \) có thể đồng biến hoặc có các đoạn thẳng đứng (không giảm). Do đó, mệnh đề này không hoàn toàn đúng vì nó không loại trừ khả năng có các đoạn thẳng đứng. 3. Mệnh đề C: \( f'(x) > 0, \forall x \in (a; b) \Leftrightarrow f(x) \) đồng biến trên \((a; b)\). - Mệnh đề này nói rằng đạo hàm dương trên toàn bộ khoảng \((a; b)\) nếu và chỉ nếu hàm số đồng biến trên khoảng đó. Điều này không hoàn toàn đúng vì hàm số có thể đồng biến mà đạo hàm có thể bằng 0 tại một số điểm. 4. Mệnh đề D: \( f'(x) \geq 0, \forall x \in (a; b) \Leftrightarrow f(x) \) đồng biến trên \((a; b)\). - Mệnh đề này nói rằng đạo hàm không âm trên toàn bộ khoảng \((a; b)\) nếu và chỉ nếu hàm số đồng biến trên khoảng đó. Điều này cũng không hoàn toàn đúng vì hàm số có thể đồng biến mà đạo hàm có thể bằng 0 tại một số điểm. Từ những phân tích trên, chúng ta thấy rằng mệnh đề đúng là: \(\textcircled{A}.~f^\prime(x)>0,~\forall x\in(a;b)\Rightarrow f(x)\) đồng biến trên \((a;b)\). Đáp án: \(\textcircled{A}\). Câu 31. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta cần phân tích đồ thị của hàm số $y = \frac{ax + b}{cx + d}$ và xác định tính chất biến thiên của nó. 1. Xác định khoảng xác định của hàm số: - Đồ thị của hàm số $y = \frac{ax + b}{cx + d}$ bị chặn bởi đường thẳng $x = -\frac{d}{c}$ (đường thẳng đứng) và đường thẳng $y = \frac{a}{c}$ (đường thẳng ngang). - Trên mỗi khoảng xác định, hàm số sẽ có hành vi biến thiên riêng biệt. 2. Phân tích tính chất biến thiên: - Từ đồ thị, ta thấy rằng hàm số giảm dần từ trái sang phải trên mỗi khoảng xác định. Điều này có nghĩa là hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định. 3. Kiểm tra các lựa chọn: - A. Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định: Đúng, vì từ đồ thị ta thấy hàm số giảm dần trên từng khoảng xác định. - B. Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định: Sai, vì hàm số giảm dần trên từng khoảng xác định. - C. Hàm số đồng biến trên tập xác định: Sai, vì hàm số giảm dần trên từng khoảng xác định. - D. Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}:$ Sai, vì hàm số giảm dần trên từng khoảng xác định. Vậy khẳng định đúng là: A. Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định. Đáp án: A. Câu 32. Để xác định hàm số nào đồng biến trên tập xác định của nó, chúng ta sẽ kiểm tra tính chất của mỗi hàm số. A. \( y = x - \sin^2 x \) - Hàm số \( y = x \) là hàm số đồng biến trên toàn bộ tập số thực. - Hàm số \( y = \sin^2 x \) là hàm số chẵn và tuần hoàn với chu kỳ \( \pi \). Tuy nhiên, \( \sin^2 x \) không phải là hàm số đồng biến trên toàn bộ tập xác định của nó. Do đó, hàm số \( y = x - \sin^2 x \) không phải là hàm số đồng biến trên toàn bộ tập xác định của nó. B. \( y = \cot x \) - Hàm số \( y = \cot x \) là hàm số tuần hoàn với chu kỳ \( \pi \) và không đồng biến trên toàn bộ tập xác định của nó. C. \( y = \sin x \) - Hàm số \( y = \sin x \) là hàm số tuần hoàn với chu kỳ \( 2\pi \) và không đồng biến trên toàn bộ tập xác định của nó. D. \( y = -x^3 \) - Hàm số \( y = x^3 \) là hàm số đồng biến trên toàn bộ tập số thực. - Do đó, hàm số \( y = -x^3 \) là hàm số nghịch biến trên toàn bộ tập số thực. Từ các phân tích trên, chúng ta thấy rằng không có hàm số nào trong các hàm số đã cho là đồng biến trên toàn bộ tập xác định của nó. Vậy đáp án đúng là: Không có hàm số nào đồng biến trên tập xác định của nó. Câu 33. Để tìm khoảng nghịch biến của hàm số $y = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 3x + 1$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số \[ y' = \left(\frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 3x + 1\right)' = x^2 - 4x + 3 \] Bước 2: Tìm các điểm cực trị bằng cách giải phương trình đạo hàm bằng 0 \[ y' = 0 \] \[ x^2 - 4x + 3 = 0 \] Phương trình này là một phương trình bậc hai, ta giải nó bằng công thức: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Ở đây, \(a = 1\), \(b = -4\), \(c = 3\): \[ x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2} \] \[ x_1 = \frac{4 + 2}{2} = 3 \] \[ x_2 = \frac{4 - 2}{2} = 1 \] Bước 3: Xác định dấu của đạo hàm trên các khoảng Ta xét dấu của đạo hàm \(y' = x^2 - 4x + 3\) trên các khoảng được xác định bởi các nghiệm \(x = 1\) và \(x = 3\). - Trên khoảng \((-\infty, 1)\): Chọn \(x = 0\) \[ y'(0) = 0^2 - 4 \cdot 0 + 3 = 3 > 0 \] Do đó, \(y'\) dương trên khoảng \((-\infty, 1)\). - Trên khoảng \((1, 3)\): Chọn \(x = 2\) \[ y'(2) = 2^2 - 4 \cdot 2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1 < 0 \] Do đó, \(y'\) âm trên khoảng \((1, 3)\). - Trên khoảng \((3, +\infty)\): Chọn \(x = 4\) \[ y'(4) = 4^2 - 4 \cdot 4 + 3 = 16 - 16 + 3 = 3 > 0 \] Do đó, \(y'\) dương trên khoảng \((3, +\infty)\). Bước 4: Kết luận khoảng nghịch biến Hàm số nghịch biến khi đạo hàm \(y'\) âm. Từ các kết quả trên, ta thấy rằng \(y'\) âm trên khoảng \((1, 3)\). Do đó, khoảng nghịch biến của hàm số là \((1, 3)\). Đáp án: D. \((2, 3)\) Tuy nhiên, theo các tính toán trên, đáp án đúng là \((1, 3)\).