giúp minh voi ạ

Câu 34. Để xác định hàm số nào đồng biến trên $\mathbb{R}$, ta sẽ kiểm tra tính chất của mỗi hàm số. A. $y = x^4 + x$ - Ta có $y' = 4x^3 + 1$. - Để hàm số đồng biến, ta cần $y' > 0$, tức là $4x^3 + 1 > 0$. - Điều này không đúng với mọi $x \in \mathbb{R}$ vì khi $x < -\frac{1}{\sqrt[3]{4}}$, ta có $4x^3 + 1 < 0$. - Do đó, hàm số này không đồng biến trên $\mathbb{R}$. B. $y = x^4 - x$ - Ta có $y' = 4x^3 - 1$. - Để hàm số đồng biến, ta cần $y' > 0$, tức là $4x^3 - 1 > 0$. - Điều này không đúng với mọi $x \in \mathbb{R}$ vì khi $x < \frac{1}{\sqrt[3]{4}}$, ta có $4x^3 - 1 < 0$. - Do đó, hàm số này không đồng biến trên $\mathbb{R}$. C. $y = (x-1)^{2m+8}$ - Ta có $y' = (2m+8)(x-1)^{2m+7}$. - Để hàm số đồng biến, ta cần $y' > 0$, tức là $(2m+8)(x-1)^{2m+7} > 0$. - Vì $2m+8$ là số dương và $(x-1)^{2m+7}$ có thể âm hoặc dương tùy thuộc vào giá trị của $x$, nên hàm số này không đồng biến trên $\mathbb{R}$. D. $y = (x-1)^{2019}$ - Ta có $y' = 2019(x-1)^{2018}$. - Để hàm số đồng biến, ta cần $y' > 0$, tức là $2019(x-1)^{2018} > 0$. - Vì $2019$ là số dương và $(x-1)^{2018}$ luôn dương trừ khi $x = 1$, nên hàm số này đồng biến trên $\mathbb{R}$ ngoại trừ điểm $x = 1$. Tuy nhiên, vì yêu cầu là đồng biến trên toàn bộ $\mathbb{R}$, ta thấy rằng hàm số $y = (x-1)^{2019}$ vẫn đồng biến trên $\mathbb{R}$ ngoại trừ điểm $x = 1$, nhưng nó vẫn là lựa chọn tốt nhất trong các đáp án đã cho. Vậy đáp án đúng là: $\textcircled D)~y=(x-1)^{2019}$. Câu 35. Để xác định tính chất biến thiên của hàm số $y = f(x)$ dựa vào đạo hàm $f'(x) = (x + 1)^2(1 - x)(x + 3)$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm các điểm cực trị: Ta giải phương trình $f'(x) = 0$: \[ (x + 1)^2(1 - x)(x + 3) = 0 \] Điều này cho ta các nghiệm: \[ x = -1, \quad x = 1, \quad x = -3 \] 2. Xác định dấu của đạo hàm trên các khoảng: Ta xét dấu của $f'(x)$ trên các khoảng được xác định bởi các điểm cực trị $x = -3$, $x = -1$, và $x = 1$. - Trên khoảng $(-\infty, -3)$: Chọn $x = -4$, ta có: \[ f'(-4) = (-4 + 1)^2(1 - (-4))(-4 + 3) = (-3)^2 \cdot 5 \cdot (-1) = 9 \cdot 5 \cdot (-1) < 0 \] Vậy $f'(x) < 0$ trên khoảng $(-\infty, -3)$, hàm số nghịch biến. - Trên khoảng $(-3, -1)$: Chọn $x = -2$, ta có: \[ f'(-2) = (-2 + 1)^2(1 - (-2))(-2 + 3) = (-1)^2 \cdot 3 \cdot 1 = 1 \cdot 3 \cdot 1 > 0 \] Vậy $f'(x) > 0$ trên khoảng $(-3, -1)$, hàm số đồng biến. - Trên khoảng $(-1, 1)$: Chọn $x = 0$, ta có: \[ f'(0) = (0 + 1)^2(1 - 0)(0 + 3) = 1^2 \cdot 1 \cdot 3 = 1 \cdot 1 \cdot 3 > 0 \] Vậy $f'(x) > 0$ trên khoảng $(-1, 1)$, hàm số đồng biến. - Trên khoảng $(1, +\infty)$: Chọn $x = 2$, ta có: \[ f'(2) = (2 + 1)^2(1 - 2)(2 + 3) = 3^2 \cdot (-1) \cdot 5 = 9 \cdot (-1) \cdot 5 < 0 \] Vậy $f'(x) < 0$ trên khoảng $(1, +\infty)$, hàm số nghịch biến. 3. Kết luận: - Hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-\infty, -3)$ và $(1, +\infty)$. - Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-3, -1)$ và $(-1, 1)$. Do đó, mệnh đề đúng là: A. Hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-3, -1)$ và $(1, +\infty)$. Đáp án: A. Câu 36. Để xác định tính chất đồng biến hoặc nghịch biến của hàm số $y = x - 2\sqrt{x}$, ta sẽ tính đạo hàm của hàm số này. Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số. \[ y' = \left( x - 2\sqrt{x} \right)' = 1 - 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot x^{-\frac{1}{2}} = 1 - \frac{1}{\sqrt{x}} \] Bước 2: Xác định dấu của đạo hàm. \[ y' = 1 - \frac{1}{\sqrt{x}} \] - Khi $x > 1$, ta có $\sqrt{x} > 1$, do đó $\frac{1}{\sqrt{x}} < 1$. Vậy $y' = 1 - \frac{1}{\sqrt{x}} > 0$. Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng $(1; +\infty)$. - Khi $0 < x < 1$, ta có $\sqrt{x} < 1$, do đó $\frac{1}{\sqrt{x}} > 1$. Vậy $y' = 1 - \frac{1}{\sqrt{x}} < 0$. Suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng $(0; 1)$. Bước 3: Kiểm tra các mệnh đề: A. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(1; +\infty)$: Sai vì đã chứng minh hàm số đồng biến trên khoảng $(1; +\infty)$. B. Hàm số đồng biến trên khoảng $(2; +\infty)$: Đúng vì $(2; +\infty)$ nằm trong khoảng $(1; +\infty)$ mà hàm số đồng biến. C. Hàm số đồng biến trên khoảng $(0; +\infty)$: Sai vì hàm số nghịch biến trên khoảng $(0; 1)$ và đồng biến trên khoảng $(1; +\infty)$. D. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty; 1)$: Sai vì hàm số chỉ xác định trên khoảng $(0; +\infty)$. Vậy mệnh đề đúng là: B. Hàm số đồng biến trên khoảng $(2; +\infty)$. Câu 37. Để xác định khoảng đồng biến của hàm số $y = \sqrt{1 - x^2}$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định miền xác định của hàm số: Hàm số $y = \sqrt{1 - x^2}$ có nghĩa là $1 - x^2 \geq 0$. Giải bất phương trình này: \[ 1 - x^2 \geq 0 \implies x^2 \leq 1 \implies -1 \leq x \leq 1 \] Vậy miền xác định của hàm số là $[-1, 1]$. 2. Tìm đạo hàm của hàm số: Ta tính đạo hàm của $y = \sqrt{1 - x^2}$: \[ y' = \frac{d}{dx}(\sqrt{1 - x^2}) = \frac{1}{2\sqrt{1 - x^2}} \cdot (-2x) = \frac{-x}{\sqrt{1 - x^2}} \] 3. Xác định dấu của đạo hàm: Để hàm số đồng biến, đạo hàm phải lớn hơn hoặc bằng 0: \[ y' > 0 \implies \frac{-x}{\sqrt{1 - x^2}} > 0 \] Điều này xảy ra khi $-x > 0$, tức là $x < 0$. 4. Xác định khoảng đồng biến: Kết hợp với miền xác định $[-1, 1]$, ta thấy rằng hàm số đồng biến trên khoảng $(-1, 0)$. Do đó, hàm số $y = \sqrt{1 - x^2}$ đồng biến trên khoảng $(-1, 0)$. Đáp án đúng là: $\textcircled{A.}~(-1;0).$ Kết luận: Đáp án đúng là $\textcircled{A.}~(-1;0).$ Câu 38. Để xác định khoảng đồng biến của hàm số $y = f(x^2)$, ta cần tìm đạo hàm của nó và xác định dấu của đạo hàm đó. Bước 1: Tìm đạo hàm của $y = f(x^2)$ Theo công thức đạo hàm của hàm hợp, ta có: \[ y' = f'(x^2) \cdot 2x \] Bước 2: Thay $f'(x)$ vào biểu thức đạo hàm Biết rằng $f'(x) = x^2(x-9)(x-4)^2$, ta thay vào: \[ y' = [x^2(x-9)(x-4)^2]_{x=x^2} \cdot 2x \] \[ y' = [(x^2)^2(x^2-9)((x^2-4)^2)] \cdot 2x \] \[ y' = x^4(x^2-9)(x^2-4)^2 \cdot 2x \] \[ y' = 2x^5(x^2-9)(x^2-4)^2 \] Bước 3: Xác định dấu của đạo hàm $y'$ Ta cần tìm các điểm mà đạo hàm bằng 0: \[ 2x^5(x^2-9)(x^2-4)^2 = 0 \] Phương trình này có các nghiệm: \[ x = 0, \quad x = \pm 3, \quad x = \pm 2 \] Bước 4: Xét dấu của đạo hàm trong các khoảng giữa các nghiệm - Khi $x < -3$: $2x^5 < 0$, $(x^2-9) > 0$, $(x^2-4)^2 > 0$. Vậy $y' < 0$. - Khi $-3 < x < -2$: $2x^5 < 0$, $(x^2-9) < 0$, $(x^2-4)^2 > 0$. Vậy $y' > 0$. - Khi $-2 < x < 0$: $2x^5 < 0$, $(x^2-9) < 0$, $(x^2-4)^2 > 0$. Vậy $y' < 0$. - Khi $0 < x < 2$: $2x^5 > 0$, $(x^2-9) < 0$, $(x^2-4)^2 > 0$. Vậy $y' < 0$. - Khi $2 < x < 3$: $2x^5 > 0$, $(x^2-9) < 0$, $(x^2-4)^2 > 0$. Vậy $y' < 0$. - Khi $x > 3$: $2x^5 > 0$, $(x^2-9) > 0$, $(x^2-4)^2 > 0$. Vậy $y' > 0$. Bước 5: Kết luận khoảng đồng biến Hàm số $y = f(x^2)$ đồng biến trên các khoảng: \[ (-3, -2) \quad \text{và} \quad (3, +\infty) \] Do đó, đáp án đúng là: \[ D.~(-\infty;-3)\cup(0;3). \] Tuy nhiên, trong các khoảng đã cho, chỉ có khoảng $(3; +\infty)$ nằm trong các khoảng đồng biến đã xác định. Vì vậy, đáp án chính xác là: \[ \textcircled B.~(3;+\infty). \] Câu 39. Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần hiểu rằng hàm số $y = f(x)$ có đạo hàn dương ($f'(x) > 0$) trên khoảng $(0, +\infty)$, điều này có nghĩa là hàm số là hàm tăng trên khoảng đó. Do đó, nếu $x_1 < x_2$, thì $f(x_1) < f(x_2)$. Bây giờ, chúng ta sẽ kiểm tra từng khẳng định: 1. Khẳng định A: $f(2) + f(4) = 6$. - Ta biết $f(2) = 3$. Vì hàm số là hàm tăng, nên $f(4) > f(2) = 3$. Do đó, $f(4) > 3$. Suy ra $f(2) + f(4) > 3 + 3 = 6$. Vậy khẳng định này không thể xảy ra. 2. Khẳng định B: $f(1) = 4$. - Vì hàm số là hàm tăng, nên $f(1) < f(2) = 3$. Vậy khẳng định này không thể xảy ra. 3. Khẳng định C: $f(2017) > f(2018)$. - Vì hàm số là hàm tăng, nên $f(2017) < f(2018)$. Vậy khẳng định này không thể xảy ra. 4. Khẳng định D: $f(3) + f(4) > 6$. - Ta biết $f(2) = 3$. Vì hàm số là hàm tăng, nên $f(3) > f(2) = 3$ và $f(4) > f(2) = 3$. Do đó, $f(3) + f(4) > 3 + 3 = 6$. Vậy khẳng định này có thể xảy ra. Kết luận: Khẳng định có thể xảy ra là $\textcircled{D}~f(3) + f(4) > 6$. Câu 40. Để xác định tính chất biến thiên của hàm số $y=\frac{x+1}{\sqrt{x^2-x+1}}$, ta sẽ tính đạo hàm của hàm số này. Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số $y=\frac{x+1}{\sqrt{x^2-x+1}}$. Áp dụng công thức đạo hàm của thương hai hàm số: \[ y' = \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \] Trong đó: - \( u = x + 1 \) - \( v = \sqrt{x^2 - x + 1} \) Tính đạo hàm của \( u \) và \( v \): - \( u' = 1 \) - \( v' = \frac{d}{dx} \left( \sqrt{x^2 - x + 1} \right) = \frac{1}{2\sqrt{x^2 - x + 1}} \cdot (2x - 1) = \frac{2x - 1}{2\sqrt{x^2 - x + 1}} \) Thay vào công thức đạo hàm của thương: \[ y' = \frac{(1) \cdot \sqrt{x^2 - x + 1} - (x + 1) \cdot \frac{2x - 1}{2\sqrt{x^2 - x + 1}}}{(\sqrt{x^2 - x + 1})^2} \] \[ y' = \frac{\sqrt{x^2 - x + 1} - \frac{(x + 1)(2x - 1)}{2\sqrt{x^2 - x + 1}}}{x^2 - x + 1} \] \[ y' = \frac{2(x^2 - x + 1) - (x + 1)(2x - 1)}{2(x^2 - x + 1)\sqrt{x^2 - x + 1}} \] \[ y' = \frac{2x^2 - 2x + 2 - (2x^2 - x + 2x - 1)}{2(x^2 - x + 1)\sqrt{x^2 - x + 1}} \] \[ y' = \frac{2x^2 - 2x + 2 - 2x^2 + x - 2x + 1}{2(x^2 - x + 1)\sqrt{x^2 - x + 1}} \] \[ y' = \frac{-3x + 3}{2(x^2 - x + 1)\sqrt{x^2 - x + 1}} \] \[ y' = \frac{-3(x - 1)}{2(x^2 - x + 1)\sqrt{x^2 - x + 1}} \] Bước 2: Xác định dấu của đạo hàm \( y' \). Ta thấy rằng: - \( x^2 - x + 1 > 0 \) với mọi \( x \) vì \( x^2 - x + 1 = (x - \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4} > 0 \). - \( \sqrt{x^2 - x + 1} > 0 \) với mọi \( x \). Do đó, dấu của \( y' \) phụ thuộc vào dấu của \( -3(x - 1) \): - \( y' > 0 \) khi \( x < 1 \) - \( y' < 0 \) khi \( x > 1 \) Bước 3: Kết luận về tính chất biến thiên của hàm số. - Hàm số đồng biến trên khoảng \( (-\infty, 1) \). - Hàm số nghịch biến trên khoảng \( (1, +\infty) \). Vậy đáp án đúng là: D. Hàm số nghịch biến trên khoảng \( (-\infty, 1) \), đồng biến trên khoảng \( (1, +\infty) \). Câu 41. Để xác định tính chất đồng biến hoặc nghịch biến của hàm số trên các khoảng đã cho, ta dựa vào đồ thị của hàm số. A. Hàm số đồng biến trên khoảng $(1;3)$: - Trên đoạn từ $x=1$ đến $x=3$, đồ thị hàm số tăng dần, tức là khi $x$ tăng thì $y$ cũng tăng. Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng $(1;3)$. B. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(6;+\infty)$: - Trên đoạn từ $x=6$ đến vô cùng, đồ thị hàm số giảm dần, tức là khi $x$ tăng thì $y$ giảm. Do đó, hàm số nghịch biến trên khoảng $(6;+\infty)$. C. Hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty;3)$: - Trên đoạn từ $-\infty$ đến $x=3$, đồ thị hàm số không liên tục tăng dần trên toàn bộ khoảng này. Đặc biệt, từ $x=-\infty$ đến $x=1$, đồ thị hàm số giảm dần. Do đó, khẳng định này sai. D. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(3;6)$: - Trên đoạn từ $x=3$ đến $x=6$, đồ thị hàm số giảm dần, tức là khi $x$ tăng thì $y$ giảm. Do đó, hàm số nghịch biến trên khoảng $(3;6)$. Từ các phân tích trên, ta thấy rằng khẳng định đúng là: - A. Hàm số đồng biến trên khoảng $(1;3)$. - B. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(6;+\infty)$. - D. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(3;6)$. Nhưng trong các lựa chọn, chỉ có một khẳng định đúng duy nhất. Do đó, khẳng định đúng là: Đáp án: D. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(3;6)$. Câu 42. Dựa vào bảng biến thiên của hàm số $y = f(x)$, ta có thể phân tích các tính chất của hàm số như sau: 1. Tập xác định: Hàm số được xác định trên toàn bộ tập số thực $\mathbb{R}$. 2. Sự đồng biến và nghịch biến: - Hàm số đồng biến trên khoảng $(0; +\infty)$. - Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty; 0)$. 3. Cực đại và cực tiểu: - Hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x = 0$ với giá trị cực tiểu là $f(0) = -2$. - Hàm số không có cực đại. 4. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất: - Hàm số không có giá trị lớn nhất vì khi $x \to +\infty$, $y \to +\infty$. - Giá trị nhỏ nhất của hàm số là $-2$, đạt được khi $x = 0$. Bây giờ, ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề để xác định mệnh đề nào là sai: 1. Hàm số đồng biến trên khoảng $(0; +\infty)$: - Đúng, vì theo bảng biến thiên, hàm số tăng từ $-\infty$ đến $+\infty$ khi $x$ từ $0$ đến $+\infty$. 2. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty; 0)$: - Đúng, vì theo bảng biến thiên, hàm số giảm từ $+\infty$ đến $-\infty$ khi $x$ từ $-\infty$ đến $0$. 3. Hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x = 0$ với giá trị cực tiểu là $-2$: - Đúng, vì theo bảng biến thiên, hàm số đạt giá trị nhỏ nhất là $-2$ tại điểm $x = 0$. 4. Hàm số không có giá trị lớn nhất: - Đúng, vì khi $x \to +\infty$, giá trị của hàm số không bị giới hạn trên. 5. Hàm số có giá trị nhỏ nhất là $-2$: - Đúng, vì giá trị nhỏ nhất của hàm số là $-2$, đạt được khi $x = 0$. Như vậy, tất cả các mệnh đề đều đúng. Do đó, không có mệnh đề nào trong các mệnh đề đã cho là sai. Đáp án: Không có mệnh đề sai.