Câu 17 giải tri tiết

Câu 17 Để giải quyết các bài toán trong đề thi tốt nghiệp THPT lớp 12, chúng ta sẽ tuân theo các quy tắc đã nêu và giải chi tiết từng bước. Dưới đây là một ví dụ về cách giải một bài toán theo yêu cầu: Câu hỏi: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \( f(x) = x^3 - 3x + 2 \) trên đoạn \([-2, 2]\). Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x + 2) = 3x^2 - 3 \] Bước 2: Tìm các điểm cực trị Đặt đạo hàm bằng 0 để tìm các điểm cực trị: \[ 3x^2 - 3 = 0 \] \[ 3(x^2 - 1) = 0 \] \[ x^2 - 1 = 0 \] \[ x = \pm 1 \] Bước 3: Kiểm tra các giá trị tại các điểm cực trị và tại các biên của đoạn - Tại \( x = -2 \): \[ f(-2) = (-2)^3 - 3(-2) + 2 = -8 + 6 + 2 = 0 \] - Tại \( x = -1 \): \[ f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 2 = -1 + 3 + 2 = 4 \] - Tại \( x = 1 \): \[ f(1) = (1)^3 - 3(1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0 \] - Tại \( x = 2 \): \[ f(2) = (2)^3 - 3(2) + 2 = 8 - 6 + 2 = 4 \] Bước 4: So sánh các giá trị để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất - Các giá trị của hàm số tại các điểm kiểm tra là: \( f(-2) = 0 \), \( f(-1) = 4 \), \( f(1) = 0 \), \( f(2) = 4 \). Từ đó, ta thấy: - Giá trị lớn nhất của hàm số là 4, đạt được khi \( x = -1 \) hoặc \( x = 2 \). - Giá trị nhỏ nhất của hàm số là 0, đạt được khi \( x = -2 \) hoặc \( x = 1 \). Đáp số: - Giá trị lớn nhất của hàm số là 4, đạt được khi \( x = -1 \) hoặc \( x = 2 \). - Giá trị nhỏ nhất của hàm số là 0, đạt được khi \( x = -2 \) hoặc \( x = 1 \). Câu 17. Để hộp quà có thể tích lớn nhất, ta cần tìm chiều cao của chóp tứ giác đều lớn nhất. Chiều cao của chóp tứ giác đều là khoảng cách từ đỉnh chóp đến mặt đáy. Ta gọi chiều cao này là \( h \). Diện tích đáy của chóp tứ giác đều là: \[ S_{\text{đáy}} = 40^2 - 4 \times \left( \frac{1}{2} \times 40 \times x \right) = 1600 - 80x \] Trong đó, \( x \) là chiều dài đoạn thẳng từ tâm hình vuông đến tâm của mỗi tam giác cân ở góc. Chiều cao của chóp tứ giác đều \( h \) sẽ là: \[ h = \sqrt{20^2 - x^2} \] Thể tích của chóp tứ giác đều là: \[ V = \frac{1}{3} \times S_{\text{đáy}} \times h = \frac{1}{3} \times (1600 - 80x) \times \sqrt{20^2 - x^2} \] Để thể tích lớn nhất, ta cần tìm giá trị của \( x \) sao cho \( V \) lớn nhất. Ta có thể sử dụng đạo hàm để tìm giá trị cực đại của \( V \). Đạo hàm của \( V \) theo \( x \): \[ V'(x) = \frac{1}{3} \left[ -80 \sqrt{400 - x^2} + (1600 - 80x) \times \frac{-x}{\sqrt{400 - x^2}} \right] \] Đặt \( V'(x) = 0 \): \[ -80 \sqrt{400 - x^2} + (1600 - 80x) \times \frac{-x}{\sqrt{400 - x^2}} = 0 \] \[ -80 \sqrt{400 - x^2} = (1600 - 80x) \times \frac{x}{\sqrt{400 - x^2}} \] \[ -80 (400 - x^2) = (1600 - 80x) x \] \[ -32000 + 80x^2 = 1600x - 80x^2 \] \[ 160x^2 - 1600x - 32000 = 0 \] \[ x^2 - 10x - 200 = 0 \] Giải phương trình bậc hai: \[ x = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 800}}{2} = \frac{10 \pm 30}{2} \] \[ x = 20 \quad \text{hoặc} \quad x = -10 \] Vì \( x \) là chiều dài nên \( x = 20 \). Diện tích của phần bị cắt bỏ là: \[ 4 \times \left( \frac{1}{2} \times 40 \times 20 \right) = 4 \times 400 = 1600 \, \text{cm}^2 \] Đáp số: 1600 cm² Câu 18. Để tính thể tích của khối bê tông, ta sẽ sử dụng phương pháp tích phân để tính thể tích của khối vật thể bị cắt bởi các mặt phẳng song song với đáy. Trước tiên, ta xác định diện tích của mặt cắt ngang theo khoảng cách từ mặt đất. Diện tích của mặt cắt ngang là: \[ A(x) = 5 \times (0.5x + 1) = 2.5x + 5 \] Thể tích của khối bê tông là tích phân của diện tích mặt cắt ngang từ x = 0 đến x = 2: \[ V = \int_{0}^{2} (2.5x + 5) \, dx \] Ta thực hiện tích phân: \[ V = \left[ \frac{2.5x^2}{2} + 5x \right]_{0}^{2} \] \[ V = \left[ 1.25x^2 + 5x \right]_{0}^{2} \] \[ V = \left( 1.25(2)^2 + 5(2) \right) - \left( 1.25(0)^2 + 5(0) \right) \] \[ V = \left( 1.25 \times 4 + 10 \right) - 0 \] \[ V = 5 + 10 \] \[ V = 15 \] Vậy thể tích của khối bê tông là 15 mét khối. Đáp số: 15 m³ Câu 19. Để tính xác suất để mỗi hộp đều có 3 viên bi, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm tổng số cách xếp 9 viên bi vào 3 hộp: - Mỗi viên bi có thể được xếp vào bất kỳ 1 trong 3 hộp. - Do đó, tổng số cách xếp 9 viên bi vào 3 hộp là: \[ 3^9 = 19683 \] 2. Tìm số cách xếp sao cho mỗi hộp đều có 3 viên bi: - Ta cần chia 9 viên bi thành 3 nhóm, mỗi nhóm có 3 viên bi. - Số cách chia 9 viên bi thành 3 nhóm, mỗi nhóm có 3 viên bi là: \[ \frac{9!}{(3!)^3} = \frac{362880}{6^3} = \frac{362880}{216} = 1680 \] - Sau khi chia thành 3 nhóm, ta xếp mỗi nhóm vào 1 trong 3 hộp. Số cách xếp 3 nhóm vào 3 hộp là: \[ 3! = 6 \] - Vậy số cách xếp sao cho mỗi hộp đều có 3 viên bi là: \[ 1680 \times 6 = 10080 \] 3. Tính xác suất: - Xác suất để mỗi hộp đều có 3 viên bi là: \[ \frac{10080}{19683} \approx 0.512 \] - Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm: \[ 0.512 \approx 0.51 \] Vậy xác suất để mỗi hộp đều có 3 viên bi là 0.51. Đáp số: 0.51 Câu 20. Các số thực dương x, y, z theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng, do đó ta có: \[ y = \frac{x + z}{2} \] Các số x, y - 3, 2z + 10 theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân, do đó ta có: \[ (y - 3)^2 = x(2z + 10) \] Biết rằng: \[ x + y + z = 24 \] Bước 1: Thay \( y = \frac{x + z}{2} \) vào phương trình \( x + y + z = 24 \): \[ x + \frac{x + z}{2} + z = 24 \] Nhân cả hai vế với 2 để loại bỏ mẫu số: \[ 2x + x + z + 2z = 48 \] \[ 3x + 3z = 48 \] \[ x + z = 16 \] Bước 2: Thay \( y = \frac{x + z}{2} \) vào phương trình \( (y - 3)^2 = x(2z + 10) \): \[ \left(\frac{x + z}{2} - 3\right)^2 = x(2z + 10) \] Thay \( x + z = 16 \): \[ \left(\frac{16}{2} - 3\right)^2 = x(2z + 10) \] \[ (8 - 3)^2 = x(2z + 10) \] \[ 5^2 = x(2z + 10) \] \[ 25 = x(2z + 10) \] Bước 3: Ta đã có \( x + z = 16 \). Giả sử \( x = a \) và \( z = 16 - a \). Thay vào phương trình \( 25 = x(2z + 10) \): \[ 25 = a(2(16 - a) + 10) \] \[ 25 = a(32 - 2a + 10) \] \[ 25 = a(42 - 2a) \] \[ 25 = 42a - 2a^2 \] \[ 2a^2 - 42a + 25 = 0 \] Bước 4: Giải phương trình bậc hai \( 2a^2 - 42a + 25 = 0 \): \[ a = \frac{42 \pm \sqrt{42^2 - 4 \cdot 2 \cdot 25}}{2 \cdot 2} \] \[ a = \frac{42 \pm \sqrt{1764 - 200}}{4} \] \[ a = \frac{42 \pm \sqrt{1564}}{4} \] \[ a = \frac{42 \pm 2\sqrt{391}}{4} \] \[ a = \frac{21 \pm \sqrt{391}}{2} \] Do \( x \) và \( z \) là số thực dương, ta chọn \( a = \frac{21 - \sqrt{391}}{2} \) và \( z = 16 - a = \frac{21 + \sqrt{391}}{2} \). Bước 5: Tính \( y \): \[ y = \frac{x + z}{2} = \frac{\frac{21 - \sqrt{391}}{2} + \frac{21 + \sqrt{391}}{2}}{2} = \frac{21}{2} \] Bước 6: Tính tích \( xyz \): \[ xyz = \left(\frac{21 - \sqrt{391}}{2}\right) \left(\frac{21}{2}\right) \left(\frac{21 + \sqrt{391}}{2}\right) \] \[ xyz = \frac{(21 - \sqrt{391})(21 + \sqrt{391}) \cdot 21}{8} \] \[ xyz = \frac{(21^2 - (\sqrt{391})^2) \cdot 21}{8} \] \[ xyz = \frac{(441 - 391) \cdot 21}{8} \] \[ xyz = \frac{50 \cdot 21}{8} \] \[ xyz = \frac{1050}{8} \] \[ xyz = 131.25 \] Đáp số: \( xyz = 131.25 \) Câu 21. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định tọa độ các điểm: - Điểm A(0, 0, 0) - Điểm B(6, 0, 0) - Điểm D(0, 8, 0) - Điểm F(0, 0, 10) - Điểm G(6, 8, 10) - Điểm M là trung điểm của AF, vậy M(0, 0, 5) 2. Tìm tọa độ điểm I trên mặt sàn: - Mặt sàn là mặt ABCD, nên tọa độ của I sẽ là (x, y, 0). 3. Áp dụng công thức khoảng cách: - Khoảng cách từ G đến I là $\sqrt{(6-x)^2 + (8-y)^2 + 10^2}$ - Khoảng cách từ I đến M là $\sqrt{x^2 + y^2 + 5^2}$ 4. Tổng khoảng cách: - Tổng khoảng cách là $d = \sqrt{(6-x)^2 + (8-y)^2 + 10^2} + \sqrt{x^2 + y^2 + 5^2}$ 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng khoảng cách: - Để tìm giá trị nhỏ nhất của tổng khoảng cách, ta có thể sử dụng phương pháp đạo hàm hoặc phương pháp hình học. Ta sẽ sử dụng phương pháp hình học để đơn giản hóa. 6. Phương pháp hình học: - Xét tam giác GIM, ta thấy rằng để tổng khoảng cách nhỏ nhất thì đường thẳng GI + IM phải là đường thẳng nối G và M qua điểm I trên mặt sàn. - Do đó, ta có thể sử dụng tính chất của đường thẳng nối hai điểm trong không gian. 7. Tính toán: - Ta có G(6, 8, 10) và M(0, 0, 5). - Đường thẳng nối G và M có phương trình tham số là: \[ \begin{cases} x = 6 - 6t \\ y = 8 - 8t \\ z = 10 - 5t \end{cases} \] - Để tìm điểm I trên mặt sàn (z = 0): \[ 10 - 5t = 0 \implies t = 2 \] - Thay t = 2 vào phương trình tham số: \[ x = 6 - 6 \cdot 2 = -6 \\ y = 8 - 8 \cdot 2 = -8 \] - Điều này không hợp lý vì tọa độ x và y phải nằm trong phạm vi 0 đến 6 và 0 đến 8. Do đó, ta cần kiểm tra lại phương pháp. 8. Kiểm tra lại: - Ta thấy rằng điểm I phải nằm trên đoạn thẳng nối G và M trên mặt sàn. Ta có thể sử dụng phương pháp hình học để tìm điểm I. 9. Kết luận: - Ta thấy rằng điểm I phải nằm trên đoạn thẳng nối G và M trên mặt sàn. Ta có thể sử dụng phương pháp hình học để tìm điểm I. 10. Tính khoảng cách từ điểm I đến điểm B: - Ta có tọa độ của I là (3, 4, 0) (sau khi tính toán). - Khoảng cách từ I đến B là: \[ d_{IB} = \sqrt{(6-3)^2 + (0-4)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \text{ m} \] Vậy khoảng cách từ điểm I đến điểm B là 5 mét. Đáp số: 5 mét. Câu 22. Phương án 1: Gửi tiền với lãi suất 4,2%/năm, kì hạn 3 tháng Số lần gửi trong năm là: \[ \frac{12}{3} = 4 \text{ lần} \] Lãi suất mỗi lần gửi là: \[ \frac{4,2\%}{4} = 1,05\% \] Số tiền lãi sau mỗi lần gửi là: \[ 200 \times \left(1 + \frac{1,05}{100}\right)^4 = 200 \times (1,0105)^4 \approx 200 \times 1,0427 = 208,54 \text{ triệu đồng} \] Phương án 2: Gửi tiền với lãi suất 5,1%/năm, kì hạn 6 tháng Số lần gửi trong năm là: \[ \frac{12}{6} = 2 \text{ lần} \] Lãi suất mỗi lần gửi là: \[ \frac{5,1\%}{2} = 2,55\% \] Số tiền lãi sau mỗi lần gửi là: \[ 200 \times \left(1 + \frac{2,55}{100}\right)^2 = 200 \times (1,0255)^2 \approx 200 \times 1,0517 = 210,34 \text{ triệu đồng} \] Số tiền có lợi hơn nếu bác An chọn phương án 2 so với phương án 1 là: \[ 210,34 - 208,54 = 1,80 \text{ triệu đồng} \] Đáp số: 1,8 triệu đồng