Tìm m để: a) đồng biến trên khoảng có độ dài bằng 4 b) nghịch biến trên khoảng (0;3) c) nghịch biến trên khoảng (-$\infty$; 1)

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng đạo hàm để xác định tính chất đồng biến và nghịch biến của hàm số. Hàm số đã cho là: \[ y = -\frac{1}{3}x^3 + (m-1)x^2 + (m+3)x - 4 \] Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số: \[ y' = -x^2 + 2(m-1)x + (m+3) \] Bước 2: Xác định điều kiện để hàm số đồng biến hoặc nghịch biến. a) Đồng biến trên khoảng có độ dài bằng 4 Hàm số đồng biến khi đạo hàm \( y' > 0 \). Ta cần tìm \( m \) sao cho \( y' > 0 \) trên một khoảng có độ dài bằng 4. Đạo hàm \( y' = -x^2 + 2(m-1)x + (m+3) \) là một parabol mở xuống (vì hệ số của \( x^2 \) là âm). Để hàm số đồng biến trên một khoảng có độ dài bằng 4, ta cần tìm \( m \) sao cho \( y' > 0 \) trên khoảng đó. Ta giải phương trình \( y' = 0 \): \[ -x^2 + 2(m-1)x + (m+3) = 0 \] Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Ở đây, \( a = -1 \), \( b = 2(m-1) \), \( c = m+3 \). \[ x = \frac{-2(m-1) \pm \sqrt{[2(m-1)]^2 - 4(-1)(m+3)}}{2(-1)} \] \[ x = \frac{-2(m-1) \pm \sqrt{4(m-1)^2 + 4(m+3)}}{-2} \] \[ x = \frac{-2(m-1) \pm \sqrt{4[(m-1)^2 + (m+3)]}}{-2} \] \[ x = \frac{-2(m-1) \pm 2\sqrt{(m-1)^2 + (m+3)}}{-2} \] \[ x = (m-1) \mp \sqrt{(m-1)^2 + (m+3)} \] Khoảng giữa hai nghiệm này phải có độ dài bằng 4: \[ \left| (m-1) + \sqrt{(m-1)^2 + (m+3)} - [(m-1) - \sqrt{(m-1)^2 + (m+3)}] \right| = 4 \] \[ 2\sqrt{(m-1)^2 + (m+3)} = 4 \] \[ \sqrt{(m-1)^2 + (m+3)} = 2 \] \[ (m-1)^2 + (m+3) = 4 \] \[ m^2 - 2m + 1 + m + 3 = 4 \] \[ m^2 - m + 4 = 4 \] \[ m^2 - m = 0 \] \[ m(m-1) = 0 \] Vậy \( m = 0 \) hoặc \( m = 1 \). b) Nghịch biến trên khoảng (0;3) Hàm số nghịch biến khi đạo hàm \( y' < 0 \). Ta cần tìm \( m \) sao cho \( y' < 0 \) trên khoảng (0;3). Ta giải bất phương trình \( y' < 0 \): \[ -x^2 + 2(m-1)x + (m+3) < 0 \] Để hàm số nghịch biến trên khoảng (0;3), ta cần \( y'(0) < 0 \) và \( y'(3) < 0 \). Tính \( y'(0) \): \[ y'(0) = m + 3 \] \[ m + 3 < 0 \] \[ m < -3 \] Tính \( y'(3) \): \[ y'(3) = -9 + 6(m-1) + (m+3) \] \[ y'(3) = -9 + 6m - 6 + m + 3 \] \[ y'(3) = 7m - 12 \] \[ 7m - 12 < 0 \] \[ 7m < 12 \] \[ m < \frac{12}{7} \] Vậy \( m < -3 \). c) Nghịch biến trên khoảng (-∞; 1) Hàm số nghịch biến khi đạo hàm \( y' < 0 \). Ta cần tìm \( m \) sao cho \( y' < 0 \) trên khoảng (-∞; 1). Ta giải bất phương trình \( y' < 0 \): \[ -x^2 + 2(m-1)x + (m+3) < 0 \] Để hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞; 1), ta cần \( y'(1) < 0 \). Tính \( y'(1) \): \[ y'(1) = -1 + 2(m-1) + (m+3) \] \[ y'(1) = -1 + 2m - 2 + m + 3 \] \[ y'(1) = 3m \] \[ 3m < 0 \] \[ m < 0 \] Vậy \( m < 0 \). Đáp số: a) \( m = 0 \) hoặc \( m = 1 \) b) \( m < -3 \) c) \( m < 0 \)