Kẹkdndndbdjfjfjjf

Câu 13.20. Để giải quyết các mệnh đề trên, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng mệnh đề một. Mệnh đề a) $f(0) = \frac{-2(0)^2 + 0 + 1}{0 + 1} = \frac{1}{1} = 1$ $f(1) = \frac{-2(1)^2 + 1 + 1}{1 + 1} = \frac{-2 + 1 + 1}{2} = \frac{0}{2} = 0$ Vậy mệnh đề a) là đúng. Mệnh đề b) Tính đạo hàm của hàm số $f(x) = \frac{-2x^2 + x + 1}{x + 1}$: $f'(x) = \frac{(-4x + 1)(x + 1) - (-2x^2 + x + 1)}{(x + 1)^2}$ $f'(x) = \frac{-4x^2 - 4x + x + 1 + 2x^2 - x - 1}{(x + 1)^2}$ $f'(x) = \frac{-2x^2 - 4x}{(x + 1)^2}$ $f'(x) = \frac{-2x(x + 2)}{(x + 1)^2}$ Vậy mệnh đề b) là sai vì đạo hàm thực sự là $f'(x) = \frac{-2x(x + 2)}{(x + 1)^2}$. Mệnh đề c) Phương trình $f'(x) = 0$: $\frac{-2x(x + 2)}{(x + 1)^2} = 0$ $-2x(x + 2) = 0$ $x = 0$ hoặc $x = -2$ Vậy mệnh đề c) là đúng. Mệnh đề d) Giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)$ trên đoạn $[-\frac{1}{2}; 2]$: Đầu tiên, tính giá trị của hàm số tại các điểm biên và điểm cực trị trong đoạn: $f(-\frac{1}{2}) = \frac{-2(-\frac{1}{2})^2 + (-\frac{1}{2}) + 1}{-\frac{1}{2} + 1} = \frac{-2(\frac{1}{4}) - \frac{1}{2} + 1}{\frac{1}{2}} = \frac{-\frac{1}{2} - \frac{1}{2} + 1}{\frac{1}{2}} = \frac{0}{\frac{1}{2}} = 0$ $f(2) = \frac{-2(2)^2 + 2 + 1}{2 + 1} = \frac{-8 + 2 + 1}{3} = \frac{-5}{3} = -\frac{5}{3}$ $f(0) = 1$ (đã tính ở mệnh đề a)) Do đó, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $[-\frac{1}{2}; 2]$ là $-\frac{5}{3}$. Vậy mệnh đề d) là đúng. Kết luận: - Mệnh đề a) là đúng. - Mệnh đề b) là sai. - Mệnh đề c) là đúng. - Mệnh đề d) là đúng. Câu 13.21. Để xét tính đúng sai của các mệnh đề liên quan đến hàm số \( f(x) = xe^2 \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định miền xác định của hàm số: Hàm số \( f(x) = xe^2 \) là một hàm đa thức, do đó nó xác định trên toàn bộ tập số thực \(\mathbb{R}\). 2. Tính đạo hàm của hàm số: Ta có: \[ f'(x) = e^2 \] Vì \( e^2 \) là hằng số dương, nên đạo hàm \( f'(x) \) luôn dương trên toàn bộ miền xác định của hàm số. 3. Xét tính đơn điệu của hàm số: - Vì \( f'(x) = e^2 > 0 \) cho mọi \( x \in \mathbb{R} \), hàm số \( f(x) = xe^2 \) là hàm số đồng biến trên toàn bộ miền xác định của nó. 4. Xét giới hạn của hàm số: - Giới hạn khi \( x \to +\infty \): \[ \lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} xe^2 = +\infty \] - Giới hạn khi \( x \to -\infty \): \[ \lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} xe^2 = -\infty \] 5. Xét giá trị cực đại và cực tiểu của hàm số: - Vì đạo hàm \( f'(x) = e^2 \) không thay đổi dấu, hàm số \( f(x) = xe^2 \) không có điểm cực đại hoặc cực tiểu. 6. Xét giao điểm của hàm số với trục tọa độ: - Giao điểm với trục \( Oy \) (khi \( x = 0 \)): \[ f(0) = 0 \cdot e^2 = 0 \] Vậy hàm số đi qua điểm \( (0, 0) \). 7. Xét tính chẵn lẻ của hàm số: - Ta có: \[ f(-x) = (-x)e^2 = -xe^2 = -f(x) \] Do đó, hàm số \( f(x) = xe^2 \) là hàm số lẻ. Kết luận: - Hàm số \( f(x) = xe^2 \) xác định trên toàn bộ tập số thực \(\mathbb{R}\). - Hàm số đồng biến trên toàn bộ miền xác định của nó. - Giới hạn khi \( x \to +\infty \) là \( +\infty \) và khi \( x \to -\infty \) là \( -\infty \). - Hàm số không có điểm cực đại hoặc cực tiểu. - Hàm số đi qua gốc tọa độ \( (0, 0) \). - Hàm số là hàm số lẻ. Như vậy, các mệnh đề về tính chất của hàm số \( f(x) = xe^2 \) đã được kiểm tra và xác nhận.