Cho hình chóp S.ABC có cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và ABC là tam giác đều cạnh bằng a. Biết khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) bằng $a\sqrt{\frac{6}{11}}$. Tính thể tích khối chóp...

Để tính thể tích khối chóp S.ABC, ta thực hiện các bước sau: 1. Tính diện tích đáy ABC: Vì ABC là tam giác đều cạnh bằng a, diện tích đáy ABC là: \[ S_{ABC} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \] 2. Tính khoảng cách từ đỉnh S đến mặt phẳng (ABC): Gọi H là trung điểm của BC, ta có SH vuông góc với (ABC). Diện tích tam giác SBC là: \[ S_{SBC} = \frac{1}{2} \times BC \times SH = \frac{1}{2} \times a \times SH \] Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) là \(d_A = a\sqrt{\frac{6}{11}}\). 3. Áp dụng công thức thể tích khối chóp: Thể tích khối chóp S.ABC là: \[ V_{S.ABC} = \frac{1}{3} \times S_{ABC} \times SA \] Ta cần tìm SA. Để làm điều này, ta sử dụng công thức thể tích khối chóp S.ABC cũng có thể được viết dưới dạng: \[ V_{S.ABC} = \frac{1}{3} \times S_{SBC} \times d_A \] Kết hợp hai công thức trên, ta có: \[ \frac{1}{3} \times S_{ABC} \times SA = \frac{1}{3} \times S_{SBC} \times d_A \] Thay các giá trị đã biết vào: \[ \frac{1}{3} \times \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \times SA = \frac{1}{3} \times \left(\frac{1}{2} \times a \times SH\right) \times a\sqrt{\frac{6}{11}} \] Đơn giản hóa: \[ \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \times SA = \frac{1}{2} \times a \times SH \times a\sqrt{\frac{6}{11}} \] \[ \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \times SA = \frac{a^2}{2} \times SH \times \sqrt{\frac{6}{11}} \] \[ \frac{\sqrt{3}}{4} \times SA = \frac{1}{2} \times SH \times \sqrt{\frac{6}{11}} \] \[ SA = \frac{2}{\sqrt{3}} \times SH \times \sqrt{\frac{6}{11}} \] \[ SA = \frac{2 \sqrt{6}}{\sqrt{33}} \times SH \] \[ SA = \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{11}} \times SH \] 4. Tính SH: Vì SA vuông góc với (ABC), ta có: \[ SH = \frac{SA \times \sqrt{11}}{2 \sqrt{2}} \] 5. Tính thể tích khối chóp S.ABC: Thay SA vào công thức thể tích: \[ V_{S.ABC} = \frac{1}{3} \times \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \times SA \] \[ V_{S.ABC} = \frac{1}{3} \times \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \times \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{11}} \times SH \] \[ V_{S.ABC} = \frac{1}{3} \times \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \times \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{11}} \times \frac{a \sqrt{3}}{2} \] \[ V_{S.ABC} = \frac{1}{3} \times \frac{a^3 \sqrt{3} \times \sqrt{2}}{4 \sqrt{11}} \] \[ V_{S.ABC} = \frac{a^3 \sqrt{6}}{12 \sqrt{11}} \] \[ V_{S.ABC} = \frac{a^3 \sqrt{66}}{132} \] Đáp số: \( V_{S.ABC} = \frac{a^3 \sqrt{66}}{132} \)