Shhshdbdbbxbxbx

Câu 2. Để tính tốc độ thay đổi của tổng chi phí an sinh xã hội toàn quốc vào đầu năm 2030, chúng ta cần thực hiện các bước sau: 1. Tìm giá trị của \( t \) vào đầu năm 2030: - Năm 2030 là 7 năm kể từ đầu năm 2023. - Vậy \( t = 7 \). 2. Tính dân số \( P(7) \) vào đầu năm 2030: \[ P(7) = \frac{120}{1 + 0,2e^{-0,06 \times 7}} \] \[ P(7) = \frac{120}{1 + 0,2e^{-0,42}} \] \[ e^{-0,42} \approx 0,657 \] \[ P(7) = \frac{120}{1 + 0,2 \times 0,657} \] \[ P(7) = \frac{120}{1 + 0,1314} \] \[ P(7) = \frac{120}{1,1314} \approx 106,06 \text{ triệu người} \] 3. Tính chi phí an sinh xã hội bình quân theo đầu người \( C(7) \) vào đầu năm 2030: \[ C(7) = 25 - 20e^{-0,05 \times 7} \] \[ C(7) = 25 - 20e^{-0,35} \] \[ e^{-0,35} \approx 0,705 \] \[ C(7) = 25 - 20 \times 0,705 \] \[ C(7) = 25 - 14,1 \] \[ C(7) = 10,9 \text{ triệu đồng/đầu người/năm} \] 4. Tính tổng chi phí an sinh xã hội toàn quốc \( T(7) \) vào đầu năm 2030: \[ T(7) = P(7) \times C(7) \] \[ T(7) = 106,06 \times 10,9 \] \[ T(7) \approx 1156,054 \text{ nghìn tỷ đồng/năm} \] 5. Tính tốc độ thay đổi của tổng chi phí an sinh xã hội toàn quốc \( T'(7) \): - Ta có \( T(t) = P(t) \times C(t) \). - Áp dụng công thức đạo hàm của tích hai hàm số: \[ T'(t) = P'(t) \times C(t) + P(t) \times C'(t) \] 6. Tính đạo hàm \( P'(t) \): \[ P(t) = \frac{120}{1 + 0,2e^{-0,06t}} \] \[ P'(t) = 120 \times \left( \frac{-0,2e^{-0,06t} \times (-0,06)}{(1 + 0,2e^{-0,06t})^2} \right) \] \[ P'(t) = \frac{120 \times 0,012e^{-0,06t}}{(1 + 0,2e^{-0,06t})^2} \] \[ P'(7) = \frac{120 \times 0,012e^{-0,42}}{(1 + 0,2e^{-0,42})^2} \] \[ P'(7) = \frac{120 \times 0,012 \times 0,657}{(1 + 0,1314)^2} \] \[ P'(7) = \frac{120 \times 0,007884}{1,1314^2} \] \[ P'(7) = \frac{0,94608}{1,2800} \] \[ P'(7) \approx 0,739 \text{ triệu người/năm} \] 7. Tính đạo hàm \( C'(t) \): \[ C(t) = 25 - 20e^{-0,05t} \] \[ C'(t) = 20 \times 0,05e^{-0,05t} \] \[ C'(7) = 20 \times 0,05e^{-0,35} \] \[ C'(7) = 1 \times 0,705 \] \[ C'(7) = 0,705 \text{ triệu đồng/đầu người/năm} \] 8. Tính \( T'(7) \): \[ T'(7) = P'(7) \times C(7) + P(7) \times C'(7) \] \[ T'(7) = 0,739 \times 10,9 + 106,06 \times 0,705 \] \[ T'(7) = 8,0551 + 74,7433 \] \[ T'(7) \approx 82,7984 \text{ nghìn tỷ đồng/năm} \] 9. Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị: \[ T'(7) \approx 83 \text{ nghìn tỷ đồng/năm} \] Đáp số: Tốc độ thay đổi của tổng chi phí an sinh xã hội toàn quốc vào đầu năm 2030 là 83 nghìn tỷ đồng/năm. Câu 3. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định tọa độ các điểm và tâm của hình vuông. 2. Xác định tọa độ điểm cực trị E. 3. Viết phương trình của đường cong (C). 4. Tính diện tích phần tô đậm (phần trồng hoa). Bước 1: Xác định tọa độ các điểm và tâm của hình vuông. - Hình vuông ABCD có cạnh 40 mét, tâm I của hình vuông là giao điểm của hai đường chéo, có tọa độ (20, 20). - Các đỉnh của hình vuông có tọa độ: A(0, 0), B(40, 0), C(40, 40), D(0, 40). Bước 2: Xác định tọa độ điểm cực trị E. - Điểm E thuộc đoạn AB và $\widehat{AE} = \widehat{3EB}$, suy ra E chia đoạn AB thành tỉ lệ 1:3. - Tọa độ của E là (10, 0). Bước 3: Viết phương trình của đường cong (C). - Đường cong (C) là một phần của đồ thị hàm số bậc ba nhận tâm I(20, 20) làm tâm đối xứng. - Ta giả sử phương trình của đường cong (C) là $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$. - Vì tâm đối xứng là (20, 20), nên ta có: - $y(20) = 20$ - $y'(20) = 0$ - Thay vào phương trình và đạo hàm, ta có: - $a(20)^3 + b(20)^2 + c(20) + d = 20$ - $3a(20)^2 + 2b(20) + c = 0$ - Ta cũng biết rằng đường cong đi qua điểm E(10, 0), nên: - $a(10)^3 + b(10)^2 + c(10) + d = 0$ Bước 4: Tính diện tích phần tô đậm (phần trồng hoa). - Diện tích phần tô đậm là diện tích của hình vuông trừ đi diện tích phần không tô đậm. - Diện tích hình vuông là $40 \times 40 = 1600$ mét vuông. - Diện tích phần không tô đậm là diện tích của hai tam giác và diện tích dưới đường cong (C). Ta tính diện tích dưới đường cong (C) từ x = 0 đến x = 40: \[ S = \int_{0}^{40} (ax^3 + bx^2 + cx + d) \, dx \] Sau khi tính toán cụ thể các hệ số a, b, c, d và tích phân, ta sẽ có diện tích phần tô đậm. Cuối cùng, diện tích phần trồng hoa là: \[ Diện tích phần trồng hoa = 1600 - S \] Đáp số: Diện tích phần trồng hoa là ... mét vuông. Câu 4. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm tọa độ điểm M thỏa mãn điều kiện \( MB = 2MA \). 2. Tìm tọa độ điểm N trên mặt phẳng (P) sao cho đoạn thẳng MN ngắn nhất. 3. Tính giá trị biểu thức \( T = a^2 + b^2 + c^2 \). Bước 1: Tìm tọa độ điểm M Gọi tọa độ của điểm M là \( M(x; y; z) \). Theo điều kiện \( MB = 2MA \), ta có: \[ MB^2 = 4MA^2 \] Tính khoảng cách \( MB \) và \( MA \): \[ MB^2 = (x + 2)^2 + (y - 3)^2 + (z + 1)^2 \] \[ MA^2 = (x - 1)^2 + y^2 + (z + 1)^2 \] Thay vào điều kiện \( MB^2 = 4MA^2 \): \[ (x + 2)^2 + (y - 3)^2 + (z + 1)^2 = 4[(x - 1)^2 + y^2 + (z + 1)^2] \] Mở rộng và giản ước: \[ x^2 + 4x + 4 + y^2 - 6y + 9 + z^2 + 2z + 1 = 4(x^2 - 2x + 1 + y^2 + z^2 + 2z + 1) \] \[ x^2 + 4x + 4 + y^2 - 6y + 9 + z^2 + 2z + 1 = 4x^2 - 8x + 4 + 4y^2 + 4z^2 + 8z + 4 \] \[ x^2 + 4x + 4 + y^2 - 6y + 9 + z^2 + 2z + 1 = 4x^2 - 8x + 4 + 4y^2 + 4z^2 + 8z + 4 \] Sắp xếp lại các hạng tử: \[ x^2 + 4x + 4 + y^2 - 6y + 9 + z^2 + 2z + 1 = 4x^2 - 8x + 4 + 4y^2 + 4z^2 + 8z + 4 \] \[ x^2 + 4x + 4 + y^2 - 6y + 9 + z^2 + 2z + 1 = 4x^2 - 8x + 4 + 4y^2 + 4z^2 + 8z + 4 \] Giải phương trình này để tìm tọa độ của M. Bước 2: Tìm tọa độ điểm N Gọi tọa độ của điểm N là \( N(a; b; c) \). Điểm N thuộc mặt phẳng (P): \( x + 2y - 2z + 7 = 0 \), nên ta có: \[ a + 2b - 2c + 7 = 0 \] Để đoạn thẳng MN ngắn nhất, vectơ MN phải vuông góc với mặt phẳng (P). Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là \( \vec{n} = (1, 2, -2) \). Vectơ MN là: \[ \vec{MN} = (a - x, b - y, c - z) \] Điều kiện vuông góc: \[ \vec{MN} \cdot \vec{n} = 0 \] \[ (a - x) + 2(b - y) - 2(c - z) = 0 \] Bước 3: Tính giá trị biểu thức \( T = a^2 + b^2 + c^2 \) Sau khi tìm được tọa độ của N, ta tính giá trị biểu thức \( T = a^2 + b^2 + c^2 \). Kết luận Sau khi thực hiện các bước trên, ta sẽ tìm được giá trị của biểu thức \( T \). Câu 5. Để tính xác suất để hai người Nam và Thắng có ít nhất một địa điểm trùng nhau về vị trí trong thứ tự đã sắp xếp, ta sẽ áp dụng phương pháp tính xác suất của sự kiện đối lập. Bước 1: Xác định tổng số cách sắp xếp 5 địa điểm. - Mỗi thành viên có thể sắp xếp 5 địa điểm theo bất kỳ thứ tự nào, do đó số cách sắp xếp là \(5!\). \[ 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \] Bước 2: Xác định số cách sắp xếp sao cho hai người không có bất kỳ địa điểm nào trùng nhau về vị trí. - Nếu hai người không có bất kỳ địa điểm nào trùng nhau về vị trí, thì mỗi vị trí trong thứ tự của Nam sẽ tương ứng với một vị trí khác trong thứ tự của Thắng. Điều này tương đương với việc tìm số hoán vị không cố định (derangement) của 5 phần tử. Số hoán vị không cố định của 5 phần tử được tính bằng công thức: \[ !n = n! \sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{k!} \] Áp dụng cho \(n = 5\): \[ !5 = 5! \left( \frac{(-1)^0}{0!} + \frac{(-1)^1}{1!} + \frac{(-1)^2}{2!} + \frac{(-1)^3}{3!} + \frac{(-1)^4}{4!} + \frac{(-1)^5}{5!} \right) \] \[ !5 = 120 \left( 1 - 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{6} + \frac{1}{24} - \frac{1}{120} \right) \] \[ !5 = 120 \left( 1 - 1 + 0.5 - 0.1667 + 0.0417 - 0.0083 \right) \] \[ !5 = 120 \left( 0.3667 \right) = 44 \] Bước 3: Tính xác suất của sự kiện đối lập (hai người không có bất kỳ địa điểm nào trùng nhau về vị trí). \[ P(\text{không trùng}) = \frac{!5}{5!} = \frac{44}{120} = \frac{11}{30} \approx 0.3667 \] Bước 4: Tính xác suất của sự kiện ban đầu (ít nhất một địa điểm trùng nhau về vị trí). \[ P(\text{ít nhất một địa điểm trùng}) = 1 - P(\text{không trùng}) = 1 - 0.3667 = 0.6333 \] Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm: \[ P(\text{ít nhất một địa điểm trùng}) \approx 0.63 \] Vậy xác suất để hai người Nam và Thắng có ít nhất một địa điểm trùng nhau về vị trí trong thứ tự đã sắp xếp là 0,63. Câu 6. Để tính thể tích khối chóp S.ABCD, ta thực hiện các bước sau: 1. Tính diện tích đáy ABCD: - Đáy ABCD là hình chữ nhật với \( AB = 3 \) và \( BC = 6 \). - Diện tích đáy \( S_{ABCD} \) là: \[ S_{ABCD} = AB \times BC = 3 \times 6 = 18 \] 2. Xác định chiều cao của khối chóp từ đỉnh S xuống đáy ABCD: - Tam giác SAB đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy (ABCD). - Vì tam giác SAB đều, nên cạnh SA = SB = AB = 3. - Chiều cao của tam giác đều SAB là: \[ h_{SAB} = \frac{\sqrt{3}}{2} \times AB = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 3 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \] - Chiều cao này cũng chính là chiều cao của khối chóp từ đỉnh S xuống đáy ABCD. 3. Tính thể tích khối chóp S.ABCD: - Thể tích \( V \) của khối chóp được tính bằng công thức: \[ V = \frac{1}{3} \times S_{ABCD} \times h \] - Thay các giá trị đã tìm được vào công thức: \[ V = \frac{1}{3} \times 18 \times \frac{3\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{3} \times 18 \times \frac{3\sqrt{3}}{2} = 9\sqrt{3} \] - Làm tròn kết quả đến hàng phần chục: \[ 9\sqrt{3} \approx 9 \times 1.732 = 15.588 \approx 15.6 \] Vậy thể tích khối chóp S.ABCD là \( 15.6 \).