gaiir câu 11 $y=\frac{2x+1}{x-1}$ có đồ thị (C), điểm $C(-2;5)$ và đường thẳng $d:~y=x+m.$,Câu 11: Cho hàm số,Đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A và B. Tất cả các giá trị thực của tham số,m để tam giác ABC đều là,$A.~m=1$ và $m=-5.$ $B.~m
e\frac32.$,$C.~m=3.$ $D.~m=5.$

Question

Timi · Accepted Answer

Câu 11:
Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần tìm các giá trị của tham số $ m $ sao cho tam giác $ ABC $ là tam giác đều, trong đó $ C $ là giao điểm của đường thẳng $ d $ và trục hoành.

1. Tìm tọa độ giao điểm $ C $ của đường thẳng $ d $ với trục hoành:
   - Đường thẳng $ d $ có phương trình $ y = mx + 3 $.
   - Giao điểm $ C $ với trục hoành có tọa độ $ (x_C, 0) $. Thay $ y = 0 $ vào phương trình của đường thẳng:
     $$
     0 = mx_C + 3 \implies x_C = -\frac{3}{m}
     $$
   - Vậy tọa độ của điểm $ C $ là $ \left( -\frac{3}{m}, 0 \right) $.

2. Tìm tọa độ giao điểm $ A $ và $ B $ của đường thẳng $ d $ với đồ thị $ (C) $:
   - Đồ thị $ (C) $ có phương trình $ y = x^3 - 3x $.
   - Để tìm giao điểm, thay $ y = mx + 3 $ vào phương trình của $ (C) $:
     $$
     mx + 3 = x^3 - 3x \implies x^3 - (m+3)x - 3 = 0
     $$
   - Gọi $ x_1 $ và $ x_2 $ là các nghiệm của phương trình trên, tương ứng với tọa độ $ x $-tọa độ của điểm $ A $ và $ B $.

3. Điều kiện để tam giác $ ABC $ là tam giác đều:
   - Trong tam giác đều, tất cả các cạnh đều bằng nhau và các góc đều bằng $ 60^\circ $.
   - Ta cần tính khoảng cách giữa các điểm $ A $, $ B $, và $ C $ và đảm bảo rằng chúng tạo thành tam giác đều.

4. Kiểm tra các đáp án:
   - Đáp án A: $ m = 1 $ và $ m = -5 $:
     - Thử $ m = 1 $:
       $$
       x^3 - 4x - 3 = 0
       $$
       Phương trình này có ba nghiệm thực, nhưng không chắc chắn rằng chúng tạo thành tam giác đều.
     - Thử $ m = -5 $:
       $$
       x^3 + 2x - 3 = 0
       $$
       Phương trình này cũng có ba nghiệm thực, nhưng không chắc chắn rằng chúng tạo thành tam giác đều.

- Đáp án B: $ m \neq \frac{3}{2} $:
     - Điều này không cung cấp thông tin cụ thể về giá trị của $ m $ để tam giác $ ABC $ là tam giác đều.

- Đáp án C: $ m = 3 $:
     - Thử $ m = 3 $:
       $$
       x^3 - 6x - 3 = 0
       $$
       Phương trình này có ba nghiệm thực, nhưng không chắc chắn rằng chúng tạo thành tam giác đều.

- Đáp án D: $ m = 5 $:
     - Thử $ m = 5 $:
       $$
       x^3 - 8x - 3 = 0
       $$
       Phương trình này có ba nghiệm thực, nhưng không chắc chắn rằng chúng tạo thành tam giác đều.

Sau khi kiểm tra các đáp án, chúng ta thấy rằng không có đáp án nào cung cấp đủ thông tin để đảm bảo rằng tam giác $ ABC $ là tam giác đều. Tuy nhiên, dựa trên các lựa chọn đã cho, chúng ta có thể chọn đáp án $ C $ vì nó là một trong những giá trị cụ thể được đề xuất.

Đáp án: $ C.~m=3 $