Cho các số thực a,b,c đôi một phân biệt và thoả mãn $a^2\left(b+c\right)=b^2\left(c+a\right)=2012$. Tính giá trị của M = $c^2\left(a+b\right)$

Ta có: \[ a^2(b + c) = b^2(c + a) = 2012 \] Nhân cả hai vế của mỗi phương trình với \(a\) và \(b\) tương ứng, ta có: \[ a^3(b + c) = 2012a \] \[ b^3(c + a) = 2012b \] Bây giờ, ta trừ hai phương trình này: \[ a^3(b + c) - b^3(c + a) = 2012a - 2012b \] Phân tích và biến đổi: \[ a^3b + a^3c - b^3c - b^3a = 2012(a - b) \] \[ a^3b - b^3a + a^3c - b^3c = 2012(a - b) \] \[ ab(a^2 - b^2) + c(a^3 - b^3) = 2012(a - b) \] Áp dụng hằng đẳng thức \(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\) và \(a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)\): \[ ab(a - b)(a + b) + c(a - b)(a^2 + ab + b^2) = 2012(a - b) \] Chia cả hai vế cho \(a - b\) (vì \(a \neq b\)): \[ ab(a + b) + c(a^2 + ab + b^2) = 2012 \] Bây giờ, ta sẽ tính \(M = c^2(a + b)\). Ta nhân cả hai vế của \(a^2(b + c) = 2012\) với \(c\): \[ a^2c(b + c) = 2012c \] Tương tự, nhân cả hai vế của \(b^2(c + a) = 2012\) với \(c\): \[ b^2c(c + a) = 2012c \] Bây giờ, ta cộng hai phương trình này lại: \[ a^2c(b + c) + b^2c(c + a) = 2012c + 2012c \] \[ a^2cb + a^2c^2 + b^2c^2 + b^2ca = 4024c \] Nhóm lại các hạng tử: \[ a^2cb + b^2ca + a^2c^2 + b^2c^2 = 4024c \] \[ ac(a + b) + c^2(a^2 + b^2) = 4024c \] Chia cả hai vế cho \(c\) (vì \(c \neq 0\)): \[ a(a + b) + c(a^2 + b^2) = 4024 \] Do đó: \[ c^2(a + b) = 2012 \] Vậy giá trị của \(M\) là: \[ M = 2012 \] Đáp số: \(M = 2012\)