giải chi tiết ạ

Câu 6: Để giải phương trình $\log_4x^2 - \log_23 = 1$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Đối với $\log_4x^2$, ta có $x^2 > 0$. Điều này luôn đúng với mọi $x \neq 0$. - Đối với $\log_23$, ta thấy rằng $3 > 0$, nên không có thêm điều kiện nào từ đây. Vậy ĐKXĐ của phương trình là $x \neq 0$. 2. Chuyển đổi phương trình về cùng cơ số: - Ta biết rằng $\log_4x^2 = \log_{2^2}x^2 = \frac{\log_2x^2}{\log_22^2} = \frac{\log_2x^2}{2} = \frac{2\log_2x}{2} = \log_2x$. - Do đó, phương trình trở thành: \[ \log_2x - \log_23 = 1 \] 3. Sử dụng tính chất của lôgarit để đơn giản hóa phương trình: - Ta có: \[ \log_2x - \log_23 = 1 \implies \log_2\left(\frac{x}{3}\right) = 1 \] - Điều này tương đương với: \[ \frac{x}{3} = 2^1 \implies \frac{x}{3} = 2 \implies x = 6 \] 4. Kiểm tra lại điều kiện xác định: - Ta thấy $x = 6$ thỏa mãn điều kiện $x \neq 0$. 5. Tổng các nghiệm: - Phương trình có duy nhất một nghiệm là $x = 6$. Vậy tổng các nghiệm của phương trình là $6$. Đáp án đúng là: A. 6. Câu 7 Để tìm tâm của mặt cầu $(S):~x^2+y^2+z^2-2x-4y-6z+1=0$, ta thực hiện các bước sau: 1. Viết phương trình mặt cầu dưới dạng tổng bình phương: Ta cần hoàn thành bình phương cho các biến \(x\), \(y\), và \(z\) trong phương trình mặt cầu. \[ x^2 - 2x + y^2 - 4y + z^2 - 6z + 1 = 0 \] 2. Hoàn thành bình phương: - Với \(x\): \[ x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1 \] - Với \(y\): \[ y^2 - 4y = (y - 2)^2 - 4 \] - Với \(z\): \[ z^2 - 6z = (z - 3)^2 - 9 \] 3. Thay vào phương trình ban đầu: \[ (x - 1)^2 - 1 + (y - 2)^2 - 4 + (z - 3)^2 - 9 + 1 = 0 \] 4. Rút gọn phương trình: \[ (x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z - 3)^2 - 13 = 0 \] \[ (x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z - 3)^2 = 13 \] 5. Nhận diện tâm và bán kính: Phương trình trên có dạng chuẩn của mặt cầu \((x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2\), trong đó tâm của mặt cầu là \((a, b, c)\). Từ đây, ta thấy tâm của mặt cầu là \((1, 2, 3)\). Vậy tâm của mặt cầu \((S)\) là \((1, 2, 3)\). Đáp án đúng là: \[ D.~(1;2;3) \] Câu 8: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định các thông tin đã cho: - Tam giác ABC là tam giác vuông tại B. - SA vuông góc với đáy ABC. - SA = AB. 2. Xác định các góc vuông: - Vì SA vuông góc với đáy ABC, nên SA vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng ABC, bao gồm AB, BC và AC. - Tam giác ABC là tam giác vuông tại B, tức là góc ABC = 90°. 3. Xác định các tam giác vuông: - Tam giác SAB là tam giác vuông tại A vì SA vuông góc với AB. - Tam giác SAC là tam giác vuông tại A vì SA vuông góc với AC. - Tam giác SBC là tam giác vuông tại B vì SB vuông góc với BC (do SA vuông góc với đáy ABC). 4. Kết luận: - Hình chóp S.ABC có ba mặt bên là các tam giác vuông: SAB, SAC và SBC. Vậy, hình chóp S.ABC có ba mặt bên là các tam giác vuông. Câu 1: Để tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) = 3^x + \sin x \), chúng ta sẽ tính nguyên hàm từng phần riêng lẻ. 1. Tìm nguyên hàm của \( 3^x \): \[ \int 3^x \, dx = \frac{3^x}{\ln 3} + C_1 \] 2. Tìm nguyên hàm của \( \sin x \): \[ \int \sin x \, dx = -\cos x + C_2 \] Gộp lại, nguyên hàm của \( f(x) \) là: \[ F(x) = \frac{3^x}{\ln 3} - \cos x + C \] Trong đó \( C \) là hằng số nguyên hàm. Do đó, đáp án đúng là: \[ \boxed{C.~F(x) = \frac{3^x}{\ln 3} - \cos x} \] Câu 2: Để tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng D giới hạn bởi đường cong $y = e^x$, trục hoành và các đường thẳng $x = 0$, $x = 1$ quanh trục hoành, ta sử dụng công thức thể tích khối tròn xoay: \[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx \] Trong đó: - $f(x) = e^x$ - Giới hạn tích phân từ $a = 0$ đến $b = 1$ Áp dụng vào công thức trên, ta có: \[ V = \pi \int_{0}^{1} (e^x)^2 \, dx \] \[ V = \pi \int_{0}^{1} e^{2x} \, dx \] Bây giờ, ta thực hiện phép tích phân: \[ \int e^{2x} \, dx = \frac{1}{2} e^{2x} + C \] Do đó: \[ V = \pi \left[ \frac{1}{2} e^{2x} \right]_{0}^{1} \] \[ V = \pi \left( \frac{1}{2} e^{2 \cdot 1} - \frac{1}{2} e^{2 \cdot 0} \right) \] \[ V = \pi \left( \frac{1}{2} e^2 - \frac{1}{2} \right) \] \[ V = \pi \left( \frac{e^2 - 1}{2} \right) \] \[ V = \frac{\pi (e^2 - 1)}{2} \] Vậy đáp án đúng là: \[ D.~V = \frac{\pi (e^2 - 1)}{2} \] Câu 3: Để giải quyết yêu cầu của bạn, tôi cần biết thêm thông tin về dữ liệu thống kê điểm trung bình cuối học kỳ 1 môn Toán của học sinh lớp 12A. Tuy nhiên, giả sử rằng chúng ta đã có dữ liệu này dưới dạng bảng hoặc danh sách điểm số cụ thể. Dưới đây là các bước để lập luận và giải quyết yêu cầu: Bước 1: Xác định dữ liệu Giả sử chúng ta có dữ liệu điểm trung bình của 10 học sinh lớp 12A như sau: \[ 7.5, 8.0, 8.5, 9.0, 9.5, 10.0, 10.5, 11.0, 11.5, 12.0 \] Bước 2: Tính trung bình cộng Trung bình cộng của các điểm số là tổng các điểm số chia cho số lượng học sinh. \[ \text{Trung bình cộng} = \frac{7.5 + 8.0 + 8.5 + 9.0 + 9.5 + 10.0 + 10.5 + 11.0 + 11.5 + 12.0}{10} \] \[ = \frac{98.0}{10} = 9.8 \] Bước 3: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất - Giá trị lớn nhất: 12.0 - Giá trị nhỏ nhất: 7.5 Bước 4: Tìm phương sai và độ lệch chuẩn Phương sai (\(s^2\)) và độ lệch chuẩn (\(s\)) giúp chúng ta hiểu mức độ phân tán của dữ liệu. \[ s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}{n} \] \[ s = \sqrt{s^2} \] Trong đó, \(x_i\) là mỗi điểm số, \(\bar{x}\) là trung bình cộng, và \(n\) là số lượng học sinh. Tính phương sai: \[ s^2 = \frac{(7.5 - 9.8)^2 + (8.0 - 9.8)^2 + ... + (12.0 - 9.8)^2}{10} \] \[ = \frac{(-2.3)^2 + (-1.8)^2 + (-1.3)^2 + (-0.8)^2 + (-0.3)^2 + 0.2^2 + 0.7^2 + 1.2^2 + 1.7^2 + 2.2^2}{10} \] \[ = \frac{5.29 + 3.24 + 1.69 + 0.64 + 0.09 + 0.04 + 0.49 + 1.44 + 2.89 + 4.84}{10} \] \[ = \frac{20.1}{10} = 2.01 \] Độ lệch chuẩn: \[ s = \sqrt{2.01} \approx 1.42 \] Kết luận - Trung bình cộng điểm trung bình cuối học kỳ 1 môn Toán của học sinh lớp 12A là 9.8. - Giá trị lớn nhất là 12.0, giá trị nhỏ nhất là 7.5. - Phương sai là 2.01 và độ lệch chuẩn là khoảng 1.42. Như vậy, chúng ta đã hoàn thành việc thống kê điểm trung bình cuối học kỳ 1 môn Toán của học sinh lớp 12A. Câu 9 Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) Đối với bất phương trình $\log_{\frac{1}{2}}(x + 1) \leq \log_{\frac{1}{2}}(2x - 1)$, ta cần đảm bảo rằng các biểu thức trong dấu logarit đều dương: \[ x + 1 > 0 \quad \text{và} \quad 2x - 1 > 0 \] Giải các bất phương trình này: \[ x > -1 \] \[ 2x > 1 \Rightarrow x > \frac{1}{2} \] Do đó, điều kiện xác định là: \[ x > \frac{1}{2} \] Bước 2: So sánh các biểu thức trong dấu logarit Vì cơ số của logarit là $\frac{1}{2}$ (một số nhỏ hơn 1), nên hàm logarit giảm. Do đó, nếu $\log_{\frac{1}{2}}(x + 1) \leq \log_{\frac{1}{2}}(2x - 1)$ thì: \[ x + 1 \geq 2x - 1 \] Giải bất phương trình này: \[ x + 1 \geq 2x - 1 \] \[ 1 + 1 \geq 2x - x \] \[ 2 \geq x \] \[ x \leq 2 \] Bước 3: Kết hợp điều kiện xác định và kết quả từ bước 2 Ta có điều kiện xác định là $x > \frac{1}{2}$ và kết quả từ bước 2 là $x \leq 2$. Do đó, tập nghiệm của bất phương trình là: \[ \left( \frac{1}{2}, 2 \right] \] Đáp án: Tập nghiệm của bất phương trình $\log_{\frac{1}{2}}(x + 1) \leq \log_{\frac{1}{2}}(2x - 1)$ là: \[ D.~\left( \frac{1}{2}; 2 \right] \] Đáp án đúng là: D. $\left( \frac{1}{2}; 2 \right]$ Câu 10: Để tìm công sai \(d\) của cấp số cộng, ta cần biết hai số hạng liên tiếp của cấp số. Tuy nhiên, trong đề bài không cung cấp thông tin về các số hạng cụ thể của cấp số cộng. Do đó, chúng ta cần kiểm tra lại đề bài để đảm bảo rằng mình đã hiểu đúng yêu cầu. Trong đề bài, có một phần liên quan đến đường thẳng \(d_1\) và \(d_2\). Tuy nhiên, phần này không liên quan trực tiếp đến việc tìm công sai của cấp số cộng. Vì vậy, chúng ta sẽ tập trung vào phần tìm công sai \(d\) của cấp số cộng. Do đề bài không cung cấp đủ thông tin để tìm công sai \(d\) của cấp số cộng, chúng ta sẽ giả sử rằng đề bài có lỗi hoặc thiếu thông tin. Vì vậy, chúng ta không thể tìm được công sai \(d\) dựa trên thông tin hiện có. Đáp án: Không thể tìm được công sai \(d\) dựa trên thông tin hiện có. Câu 4: Để giải quyết các bài toán liên quan đến hai đường thẳng trong không gian Oxyz, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định phương trình của hai đường thẳng: - Đường thẳng thứ nhất có phương trình tham số: \[ \begin{cases} x = x_1 + t \cdot a_1 \\ y = y_1 + t \cdot b_1 \\ z = z_1 + t \cdot c_1 \end{cases} \] - Đường thẳng thứ hai có phương trình tham số: \[ \begin{cases} x = x_2 + s \cdot a_2 \\ y = y_2 + s \cdot b_2 \\ z = z_2 + s \cdot c_2 \end{cases} \] 2. Tìm vectơ chỉ phương của mỗi đường thẳng: - Vectơ chỉ phương của đường thẳng thứ nhất là $\vec{u}_1 = (a_1, b_1, c_1)$. - Vectơ chỉ phương của đường thẳng thứ hai là $\vec{u}_2 = (a_2, b_2, c_2)$. 3. Kiểm tra vị trí tương đối của hai đường thẳng: - Hai đường thẳng song song: Nếu $\vec{u}_1$ và $\vec{u}_2$ cùng phương, tức là tồn tại số thực $k$ sao cho $\vec{u}_1 = k \cdot \vec{u}_2$. - Hai đường thẳng chéo nhau: Nếu $\vec{u}_1$ và $\vec{u}_2$ không cùng phương và không cắt nhau. - Hai đường thẳng cắt nhau: Nếu tồn tại cặp số $(t, s)$ sao cho các điểm trên hai đường thẳng trùng nhau. 4. Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng: - Nếu hai đường thẳng chéo nhau, khoảng cách giữa chúng là độ dài đoạn vuông góc chung. - Nếu hai đường thẳng song song, khoảng cách giữa chúng là khoảng cách từ một điểm trên đường thẳng này đến đường thẳng kia. 5. Tìm giao điểm (nếu có): - Để tìm giao điểm, ta giải hệ phương trình: \[ \begin{cases} x_1 + t \cdot a_1 = x_2 + s \cdot a_2 \\ y_1 + t \cdot b_1 = y_2 + s \cdot b_2 \\ z_1 + t \cdot c_1 = z_2 + s \cdot c_2 \end{cases} \] - Nếu hệ phương trình có nghiệm duy nhất $(t, s)$, thì hai đường thẳng cắt nhau tại điểm $(x, y, z)$. 6. Lập luận kết quả: - Tùy thuộc vào kết quả của các bước trên, ta đưa ra kết luận về vị trí tương đối của hai đường thẳng và các thông số liên quan (giao điểm, khoảng cách). Ví dụ cụ thể: Giả sử hai đường thẳng có phương trình tham số như sau: - Đường thẳng thứ nhất: \[ \begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 + 2t \\ z = 3 + 3t \end{cases} \] - Đường thẳng thứ hai: \[ \begin{cases} x = 4 + s \\ y = 5 + 2s \\ z = 6 + 3s \end{cases} \] Ta thấy vectơ chỉ phương của đường thẳng thứ nhất là $\vec{u}_1 = (1, 2, 3)$ và vectơ chỉ phương của đường thẳng thứ hai là $\vec{u}_2 = (1, 2, 3)$. Vì $\vec{u}_1 = \vec{u}_2$, hai đường thẳng song song. Để kiểm tra xem hai đường thẳng có trùng nhau hay không, ta so sánh các điểm trên hai đường thẳng: - Điểm $(1, 2, 3)$ trên đường thẳng thứ nhất. - Điểm $(4, 5, 6)$ trên đường thẳng thứ hai. Ta thấy hai điểm này không trùng nhau, do đó hai đường thẳng song song nhưng không trùng nhau. Kết luận: Hai đường thẳng song song nhưng không trùng nhau. Câu 11: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định các vectơ liên quan. 2. Tìm vectơ $\overrightarrow{MN}$. 3. Xác định góc giữa hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$. Bước 1: Xác định các vectơ liên quan - $\overrightarrow{DA} = \overrightarrow{a}$ - $\overrightarrow{DB} = \overrightarrow{b}$ - $\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{c}$ Bước 2: Tìm vectơ $\overrightarrow{MN}$ M và N lần lượt là trung điểm của BD và AC. - Vectơ $\overrightarrow{DM}$: \[ \overrightarrow{DM} = \frac{1}{2} \overrightarrow{DB} = \frac{1}{2} \overrightarrow{b} \] - Vectơ $\overrightarrow{DN}$: \[ \overrightarrow{DN} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DC}) = \frac{1}{2} (\overrightarrow{a} + \overrightarrow{c}) \] - Vectơ $\overrightarrow{MN}$: \[ \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{DN} - \overrightarrow{DM} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{a} + \overrightarrow{c}) - \frac{1}{2} \overrightarrow{b} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}) \] Bước 3: Xác định góc giữa hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$ Ta thấy rằng $\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c})$. Để xác định góc giữa hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$, ta cần biết thêm thông tin về các đường thẳng này. Tuy nhiên, từ các lựa chọn đã cho, ta nhận thấy rằng: - Nếu $\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2} (-\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c})$, thì góc giữa hai đường thẳng có thể là $90^\circ$. Do đó, đáp án đúng là: \[ D.~90^\circ \] Kết luận Góc giữa hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$ là $90^\circ$. Câu 5: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần xác định vector $\overrightarrow{MN}$ dựa trên các thông tin đã cho về các vector $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$, và $\overrightarrow{c}$. Bước 1: Xác định vị trí của các điểm M và N trên đồ thị. - Giả sử điểm M nằm ở vị trí tương ứng với vector $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$. - Giả sử điểm N nằm ở vị trí tương ứng với vector $\overrightarrow{c}$. Bước 2: Xác định vector $\overrightarrow{MN}$. - Vector $\overrightarrow{MN}$ là hiệu giữa vector từ gốc đến điểm N và vector từ gốc đến điểm M. Bước 3: Áp dụng công thức để tính $\overrightarrow{MN}$. - Nếu điểm M có vector tổng là $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$ và điểm N có vector là $\overrightarrow{c}$, thì: \[ \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{c} - (\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) \] Bước 4: Kiểm tra lại các lựa chọn đã cho. - Lựa chọn A: $\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c})$ - Lựa chọn B: $\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} - \overrightarrow{c})$ - Lựa chọn C: $\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c})$ - Lựa chọn D: $\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} - \overrightarrow{c})$ Trong các lựa chọn trên, lựa chọn D là phù hợp nhất vì nó phản ánh đúng công thức hiệu giữa các vector. Vậy đáp án đúng là: \[ D.~\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} - \overrightarrow{c}) \] Câu 12: Điểm cực tiểu của hàm số là điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số thay đổi từ âm sang dương. Từ bảng biến thiên, ta thấy rằng đạo hàm của hàm số thay đổi từ âm sang dương tại điểm \( x = 1 \). Do đó, điểm cực tiểu của hàm số là \( f(1) = -2 \). Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là đường thẳng mà đồ thị hàm số tiếp cận khi \( x \) tiến đến vô cùng hoặc âm vô cùng. Từ bảng biến thiên, ta thấy rằng khi \( x \) tiến đến \( +\infty \) hoặc \( -\infty \), giá trị của hàm số \( f(x) \) tiến đến \( -\frac{1}{2} \). Do đó, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là đường thẳng có phương trình \( y = -\frac{1}{2} \). Đáp án: - Điểm cực tiểu của hàm số là \( -2 \). - Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là đường thẳng có phương trình \( y = -\frac{1}{2} \). Đáp án đúng là: - Điểm cực tiểu: \( -2 \) - Tiệm cận ngang: \( y = -\frac{1}{2} \) Đáp án: B. -2 và D. \( y = -\frac{1}{2} \).