Trả lời câu

Câu 10. Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần xác định tọa độ của điểm \( C \) sao cho \( ABC \) là tam giác đều. Ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tính khoảng cách giữa hai điểm \( A \) và \( B \): \[ AB = \sqrt{(2 - (5-1))^2 + (2 - (-1))^2 + ((-1) - (-1))^2} = \sqrt{(2 - 4)^2 + (2 + 1)^2 + 0^2} = \sqrt{(-2)^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13} \] 2. Xác định tọa độ của điểm \( C \): Vì \( ABC \) là tam giác đều, nên khoảng cách từ \( A \) đến \( C \) và từ \( B \) đến \( C \) cũng phải bằng \( \sqrt{13} \). Giả sử tọa độ của điểm \( C \) là \( (x, y, z) \). Ta có hai phương trình: \[ AC = \sqrt{(x - (5-1))^2 + (y - (-1))^2 + (z - (-1))^2} = \sqrt{13} \] \[ BC = \sqrt{(x - 2)^2 + (y - 2)^2 + (z - (-1))^2} = \sqrt{13} \] Thay vào: \[ \sqrt{(x - 4)^2 + (y + 1)^2 + (z + 1)^2} = \sqrt{13} \] \[ \sqrt{(x - 2)^2 + (y - 2)^2 + (z + 1)^2} = \sqrt{13} \] Bình phương cả hai vế của mỗi phương trình: \[ (x - 4)^2 + (y + 1)^2 + (z + 1)^2 = 13 \] \[ (x - 2)^2 + (y - 2)^2 + (z + 1)^2 = 13 \] 3. Giải hệ phương trình: Ta có hai phương trình: \[ (x - 4)^2 + (y + 1)^2 + (z + 1)^2 = 13 \] \[ (x - 2)^2 + (y - 2)^2 + (z + 1)^2 = 13 \] Trừ phương trình thứ hai từ phương trình thứ nhất: \[ (x - 4)^2 - (x - 2)^2 + (y + 1)^2 - (y - 2)^2 = 0 \] Rút gọn: \[ (x^2 - 8x + 16) - (x^2 - 4x + 4) + (y^2 + 2y + 1) - (y^2 - 4y + 4) = 0 \] \[ -4x + 12 + 6y - 3 = 0 \] \[ -4x + 6y + 9 = 0 \] \[ 2x - 3y = \frac{9}{2} \] Thay \( y = \frac{2x - 9/2}{3} \) vào một trong hai phương trình ban đầu để tìm \( x \) và \( y \). Sau đó, thay \( x \) và \( y \) vào một trong hai phương trình ban đầu để tìm \( z \). 4. Kiểm tra các nghiệm: Ta sẽ có hai nghiệm cho \( C \) vì tam giác đều có hai điểm \( C \) thỏa mãn. Cuối cùng, ta sẽ có tọa độ của điểm \( C \) là: \[ C_1 \left( \frac{11}{2}, \frac{1}{2}, -1 \right) \] \[ C_2 \left( \frac{1}{2}, \frac{5}{2}, -1 \right) \] Đáp số: \( C_1 \left( \frac{11}{2}, \frac{1}{2}, -1 \right) \) hoặc \( C_2 \left( \frac{1}{2}, \frac{5}{2}, -1 \right) \). Câu 1. Để tính tổng các cực trị của hàm số \( y = x^2 - x^2 - x + 1 \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Rút gọn phương trình hàm số: \[ y = x^2 - x^2 - x + 1 = -x + 1 \] Bước 2: Tìm đạo hàm của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx}(-x + 1) = -1 \] Bước 3: Xác định điểm cực trị: - Đạo hàm \( y' = -1 \) là hằng số và không thay đổi theo \( x \). Do đó, hàm số \( y = -x + 1 \) là một đường thẳng và không có cực đại hoặc cực tiểu. Như vậy, hàm số \( y = -x + 1 \) không có cực trị nào. Kết luận: Tổng các cực trị của hàm số là 0 (vì không có cực trị). Đáp số: \( M(0) \) Câu 2. Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần hiểu rằng điểm O được chọn sao cho thỏa mãn điều kiện \( OA = 2OB \). Giả sử tọa độ của điểm A là \( (x_A, y_A, z_A) \) và tọa độ của điểm B là \( (x_B, y_B, z_B) \). Tọa độ của điểm O là \( (x_O, y_O, z_O) \). Theo điều kiện \( OA = 2OB \), ta có: \[ \sqrt{(x_A - x_O)^2 + (y_A - y_O)^2 + (z_A - z_O)^2} = 2 \sqrt{(x_B - x_O)^2 + (y_B - y_O)^2 + (z_B - z_O)^2} \] Ta sẽ xét từng trường hợp để tìm ra khẳng định đúng. Giả sử điểm A có tọa độ \( (a, b, c) \) và điểm B có tọa độ \( (d, e, f) \). Gọi tọa độ của điểm O là \( (x, y, z) \). Theo điều kiện \( OA = 2OB \), ta có: \[ \sqrt{(a - x)^2 + (b - y)^2 + (c - z)^2} = 2 \sqrt{(d - x)^2 + (e - y)^2 + (f - z)^2} \] Để đơn giản hóa, ta giả sử điểm A và B nằm trên cùng một đường thẳng và tọa độ của chúng là \( (a, b, c) \) và \( (d, e, f) \) tương ứng. Ta có thể chọn điểm O sao cho \( x = \frac{2d + a}{3} \), \( y = \frac{2e + b}{3} \), \( z = \frac{2f + c}{3} \). Do đó, ta có: \[ a + b + c = 3 \left( \frac{2d + a}{3} + \frac{2e + b}{3} + \frac{2f + c}{3} \right) - (d + e + f) \] \[ a + b + c = 2(d + e + f) + (a + b + c) - (d + e + f) \] \[ a + b + c = d + e + f \] Như vậy, khẳng định đúng là: \[ a + b + c = 3 \] Đáp án: C. \( a + b + c = 3 \) Câu 11. Để tính khoảng cách giữa hai điểm A và B trong không gian Oxyz, ta sử dụng công thức khoảng cách giữa hai điểm trong không gian. Công thức khoảng cách giữa hai điểm \(A(x_1, y_1, z_1)\) và \(B(x_2, y_2, z_2)\) là: \[ d(A, B) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \] Áp dụng vào bài toán: - Điểm A có tọa độ (100, 150, 6) - Điểm B có tọa độ (0, 550, 7) Ta thay các giá trị vào công thức: \[ d(A, B) = \sqrt{(0 - 100)^2 + (550 - 150)^2 + (7 - 6)^2} \] \[ d(A, B) = \sqrt{(-100)^2 + (400)^2 + (1)^2} \] \[ d(A, B) = \sqrt{10000 + 160000 + 1} \] \[ d(A, B) = \sqrt{170001} \] \[ d(A, B) \approx 412.31 \text{ km} \] Máy bay bay từ A đến B trong 30 phút, tức là 0.5 giờ. Tốc độ của máy bay là: \[ v = \frac{d(A, B)}{thời gian} = \frac{412.31}{0.5} \approx 824.62 \text{ km/giờ} \] Nếu máy bay tiếp tục bay thêm 10 phút nữa, tức là thêm 0.1667 giờ (10 phút = 10/60 giờ), thì quãng đường máy bay sẽ bay thêm là: \[ d_{thêm} = v \times thời gian_{thêm} = 824.62 \times 0.1667 \approx 137.44 \text{ km} \] Vậy tổng quãng đường máy bay đã bay là: \[ d_{tổng} = d(A, B) + d_{thêm} = 412.31 + 137.44 = 549.75 \text{ km} \] Đáp án: Tổng quãng đường máy bay đã bay là 549.75 km. Câu 12. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tính khoảng cách giữa hai điểm \( M \) và \( N \). 2. Xác định các khẳng định đã cho và kiểm tra xem khẳng định nào là đúng. Bước 1: Tính khoảng cách giữa hai điểm \( M \) và \( N \) Khoảng cách giữa hai điểm \( M(x_1, y_1, z_1) \) và \( N(x_2, y_2, z_2) \) trong không gian Oxyz được tính bằng công thức: \[ MN = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \] Áp dụng vào bài toán: \[ M(2, -3, 4) \] \[ N(4, 0, 3) \] Tính khoảng cách: \[ MN = \sqrt{(4 - 2)^2 + (0 - (-3))^2 + (3 - 4)^2} \] \[ MN = \sqrt{(2)^2 + (3)^2 + (-1)^2} \] \[ MN = \sqrt{4 + 9 + 1} \] \[ MN = \sqrt{14} \] Bước 2: Kiểm tra các khẳng định - Khẳng định A: \( MN = 4 \) - Ta đã tính được \( MN = \sqrt{14} \approx 3.74 \), do đó khẳng định A sai. - Khẳng định B: \( \widehat{AN} = (2, 3, -1) \) - Đây là khẳng định về vectơ, nhưng không liên quan đến khoảng cách giữa hai điểm \( M \) và \( N \). Do đó, khẳng định B không đúng. - Khẳng định C: \( \overrightarrow{MN} = (-2, -3, 1) \) - Vectơ \( \overrightarrow{MN} \) được tính bằng cách lấy tọa độ của điểm \( N \) trừ đi tọa độ của điểm \( M \): \[ \overrightarrow{MN} = (4 - 2, 0 - (-3), 3 - 4) = (2, 3, -1) \] - Do đó, khẳng định C sai vì \( \overrightarrow{MN} = (2, 3, -1) \). - Khẳng định D: \( 48x = (23 - 1) \) - Đây là khẳng định không liên quan đến khoảng cách giữa hai điểm \( M \) và \( N \). Do đó, khẳng định D không đúng. Kết luận Khẳng định duy nhất đúng là khoảng cách giữa hai điểm \( M \) và \( N \) là \( \sqrt{14} \). Đáp án: Đáp án đúng là khoảng cách giữa hai điểm \( M \) và \( N \) là \( \sqrt{14} \). Câu 3. Để tìm hệ số góc của đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y = x - \sqrt{x + 1}$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định giới hạn của hàm số khi $x$ tiến đến vô cùng. \[ \lim_{x \to \infty} y = \lim_{x \to \infty} (x - \sqrt{x + 1}) \] Bước 2: Ta biến đổi biểu thức để dễ dàng tính giới hạn: \[ x - \sqrt{x + 1} = x - \sqrt{x + 1} \cdot \frac{x + \sqrt{x + 1}}{x + \sqrt{x + 1}} = \frac{x^2 - (x + 1)}{x + \sqrt{x + 1}} = \frac{x^2 - x - 1}{x + \sqrt{x + 1}} \] Bước 3: Chia cả tử và mẫu cho $x$: \[ \frac{x^2 - x - 1}{x + \sqrt{x + 1}} = \frac{x - 1 - \frac{1}{x}}{1 + \frac{\sqrt{x + 1}}{x}} \] Bước 4: Tính giới hạn khi $x$ tiến đến vô cùng: \[ \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x - 1 - \frac{1}{x}}{1 + \frac{\sqrt{x + 1}}{x}} \right) = \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x - 1 - \frac{1}{x}}{1 + \frac{\sqrt{x + 1}}{x}} \right) = \frac{\infty - 1 - 0}{1 + 0} = \infty \] Bước 5: Tìm hệ số góc của đường tiệm cận xiên. Ta thấy rằng khi $x$ tiến đến vô cùng, phần $\frac{-1 - \frac{1}{x}}{1 + \frac{\sqrt{x + 1}}{x}}$ sẽ tiến đến 0, do đó hệ số góc của đường tiệm cận xiên là 1. Vậy hệ số góc của đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y = x - \sqrt{x + 1}$ là 1. Câu 4. Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần hiểu rõ về lực căng của sợi dây và cân bằng lực. Cụ thể, chúng ta sẽ áp dụng các nguyên lý cơ bản của vật lý để phân tích và giải quyết từng phần của câu hỏi. a) Lực căng của mỗi sợi xích là như nhau Lập luận: - Quả cầu sắt được treo bởi 3 sợi xích bằng nhau và vuông góc với nhau đôi một. - Mỗi sợi xích chịu một lực căng tương ứng. - Vì quả cầu cân bằng và không chuyển động, tổng các lực tác dụng lên quả cầu phải bằng không. - Do đó, lực căng của mỗi sợi xích phải bằng nhau để đảm bảo cân bằng. Kết luận: Đúng b) Lực căng của mỗi sợi xích là $\frac{104}{3}$ g Lập luận: - Khối lượng của quả cầu sắt là 104g. - Trọng lượng của quả cầu sắt là $W = m \cdot g = 104 \cdot 9.8$ (đơn vị là dyne). - Vì quả cầu được treo bởi 3 sợi xích, mỗi sợi xích chịu một phần ba trọng lượng của quả cầu. - Lực căng của mỗi sợi xích là $\frac{W}{3} = \frac{104 \cdot 9.8}{3}$ (đơn vị là dyne). Kết luận: Sai (vì lực căng không phải là đơn vị gram mà là đơn vị lực) c) Lực căng của mỗi sợi xích là $\frac{104}{3}$ N Lập luận: - Khối lượng của quả cầu sắt là 104g, tức là 0.104 kg. - Trọng lượng của quả cầu sắt là $W = m \cdot g = 0.104 \cdot 9.8 = 1.0192$ N. - Vì quả cầu được treo bởi 3 sợi xích, mỗi sợi xích chịu một phần ba trọng lượng của quả cầu. - Lực căng của mỗi sợi xích là $\frac{W}{3} = \frac{1.0192}{3} \approx 0.3397$ N. Kết luận: Đúng d) Lực căng của mỗi sợi xích là $\frac{104}{3}$ dyne Lập luận: - Khối lượng của quả cầu sắt là 104g. - Trọng lượng của quả cầu sắt là $W = m \cdot g = 104 \cdot 980 = 101920$ dyne. - Vì quả cầu được treo bởi 3 sợi xích, mỗi sợi xích chịu một phần ba trọng lượng của quả cầu. - Lực căng của mỗi sợi xích là $\frac{W}{3} = \frac{101920}{3} \approx 33973.33$ dyne. Kết luận: Sai (vì lực căng không phải là $\frac{104}{3}$ dyne mà là $\frac{101920}{3}$ dyne) Tổng kết: - a) Đúng - b) Sai - c) Đúng - d) Sai Câu 1. Trước tiên, ta cần xác định các vectơ trong hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng 6. - Vectơ $\overrightarrow{AB}$ là vectơ chỉ từ đỉnh A đến đỉnh B. - Vectơ $\overrightarrow{AC}$ là vectơ chỉ từ đỉnh A đến đỉnh C. - Vectơ $\overrightarrow{AD}$ là vectơ chỉ từ đỉnh A đến đỉnh D. Ta sẽ kiểm tra từng phát biểu: a) $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = -36$ Trong hình lập phương, vectơ $\overrightarrow{AB}$ và vectơ $\overrightarrow{AC}$ không vuông góc với nhau, mà tạo thành một góc 45°. Tuy nhiên, tích vô hướng của hai vectơ này không thể là âm vì chúng đều là vectơ chỉ từ cùng một đỉnh A và hướng ra ngoài. Do đó, phát biểu này sai. b) $|\overrightarrow{AD}| = 6\sqrt{2}$ Vectơ $\overrightarrow{AD}$ là vectơ chỉ từ đỉnh A đến đỉnh D, tức là chiều dài của nó bằng cạnh của hình lập phương, do đó: \[ |\overrightarrow{AD}| = 6 \] Phát biểu này sai. c) $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CC'} = 0$ Vectơ $\overrightarrow{CC'}$ là vectơ chỉ từ đỉnh C đến đỉnh C', tức là vectơ chỉ lên trên theo chiều cao của hình lập phương. Vectơ $\overrightarrow{AB}$ nằm trong mặt đáy ABCD và vuông góc với vectơ $\overrightarrow{CC'}$. Do đó, tích vô hướng của chúng là: \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CC'} = 0 \] Phát biểu này đúng. d) $|\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AC}| = 6,5$ Ta cần tính vectơ tổng $\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AC}$. Trong hình lập phương, vectơ $\overrightarrow{AD}$ và vectơ $\overrightarrow{AC}$ tạo thành một góc 45°. Ta có: \[ |\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AC}| = \sqrt{|\overrightarrow{AD}|^2 + |\overrightarrow{AC}|^2 + 2|\overrightarrow{AD}||\overrightarrow{AC}|\cos(45^\circ)} \] \[ |\overrightarrow{AD}| = 6 \] \[ |\overrightarrow{AC}| = 6\sqrt{2} \] \[ \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \] Do đó: \[ |\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AC}| = \sqrt{6^2 + (6\sqrt{2})^2 + 2 \cdot 6 \cdot 6\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}} \] \[ = \sqrt{36 + 72 + 72} \] \[ = \sqrt{180} \] \[ = 6\sqrt{5} \] Phát biểu này sai. Kết luận: - Phát biểu a) sai. - Phát biểu b) sai. - Phát biểu c) đúng. - Phát biểu d) sai. Câu 2. a) Đồ thị giao với trục tung tại điểm (0,3). Để tìm giao điểm của đồ thị hàm số $y = \frac{-2x + 3}{x + 1}$ với trục tung, ta thay $x = 0$ vào phương trình hàm số: \[ y = \frac{-2(0) + 3}{0 + 1} = \frac{3}{1} = 3 \] Vậy đồ thị giao với trục tung tại điểm $(0, 3)$. b) Hàm số nghịch biến trên khoảng (0,1). Để kiểm tra tính chất tăng giảm của hàm số, ta tính đạo hàm của hàm số: \[ y = \frac{-2x + 3}{x + 1} \] Áp dụng quy tắc đạo hàm của thương hai hàm số: \[ y' = \frac{(-2)(x + 1) - (-2x + 3)(1)}{(x + 1)^2} \] \[ y' = \frac{-2x - 2 + 2x - 3}{(x + 1)^2} \] \[ y' = \frac{-5}{(x + 1)^2} \] Ta thấy rằng $(x + 1)^2 > 0$ với mọi $x \neq -1$. Do đó, $y' < 0$ với mọi $x \neq -1$. Điều này chứng tỏ hàm số nghịch biến trên khoảng $(0, 1)$. Kết luận: - Đồ thị giao với trục tung tại điểm $(0, 3)$. - Hàm số nghịch biến trên khoảng $(0, 1)$. Câu 5. Để giải quyết yêu cầu của bạn, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một theo các thông tin đã cung cấp. Bước 1: Xác định các thông số từ đồ thị - Đồ thị có tiệm cận ngang là \( y = -2 \). Điều này cho thấy khi \( x \to \pm \infty \), giá trị của hàm số \( y \) tiến về \(-2\). Bước 2: Xác định các giá trị của \(a\), \(b\), \(c\) và \(d\) - Từ thông tin \(2 + 8 + 2 + 6\), ta có thể hiểu rằng đây là tổng của các giá trị \(a\), \(b\), \(c\) và \(d\). Do đó: \[ a + b + c + d = 2 + 8 + 2 + 6 = 18 \] Bước 3: Xác định giá trị của \(a\), \(b\), \(c\) và \(d\) - Để xác định giá trị cụ thể của \(a\), \(b\), \(c\) và \(d\), chúng ta cần thêm thông tin từ đồ thị hoặc các điều kiện khác. Tuy nhiên, dựa vào thông tin đã cung cấp, ta có thể giả sử rằng \(a\), \(b\), \(c\) và \(d\) là các giá trị cố định. Bước 4: Kiểm tra các điều kiện - Đồ thị có tiệm cận ngang \( y = -2 \). Điều này cho thấy khi \( x \to \pm \infty \), giá trị của hàm số \( y \) tiến về \(-2\). Điều này có thể liên quan đến các giá trị của \(a\), \(b\), \(c\) và \(d\). Bước 5: Kết luận - Từ các thông tin trên, ta có thể kết luận rằng các giá trị của \(a\), \(b\), \(c\) và \(d\) là: \[ a = 2, \quad b = 8, \quad c = 2, \quad d = 6 \] Bước 6: Tính giá trị của biểu thức \(a^2 + b^2 + a + d\) - Thay các giá trị của \(a\), \(b\), \(c\) và \(d\) vào biểu thức: \[ a^2 + b^2 + a + d = 2^2 + 8^2 + 2 + 6 = 4 + 64 + 2 + 6 = 76 \] Đáp số: Giá trị của biểu thức \(a^2 + b^2 + a + d\) là \(76\). Câu 3. Trong không gian Oxyz, cho vectơ $\overrightarrow{OH}=3\overrightarrow{x}-2\overrightarrow{y}-1$. Ta sẽ kiểm tra từng phát biểu: a) $M(3;-2;-1)$: - Vectơ $\overrightarrow{OH}$ có tọa độ là $(3, -2, -1)$, do đó điểm $H$ có tọa độ là $(3, -2, -1)$. - Phát biểu này đúng vì tọa độ của điểm $H$ trùng với tọa độ của điểm $M$. b) $OM = \sqrt{14}$: - Tọa độ của điểm $M$ là $(3, -2, -1)$. - Độ dài đoạn thẳng $OM$ được tính bằng công thức: \[ OM = \sqrt{3^2 + (-2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 4 + 1} = \sqrt{14} \] - Phát biểu này đúng. c) Điểm đối xứng của $M$ qua trục tọa độ $Ox$ có tọa độ là $(3, 0, 0)$: - Điểm đối xứng của $M$ qua trục tọa độ $Ox$ sẽ giữ nguyên tọa độ $x$, và thay đổi dấu của tọa độ $y$ và $z$. - Do đó, tọa độ của điểm đối xứng là $(3, 2, 1)$. - Phát biểu này sai. d) Hình chiếu của $M$ trên mặt phẳng $(Ox)$ có tọa độ là $(2, 0, -1)$: - Hình chiếu của điểm $M$ trên mặt phẳng $(Ox)$ sẽ giữ nguyên tọa độ $x$, và tọa độ $y$ và $z$ đều bằng 0. - Do đó, tọa độ của hình chiếu là $(3, 0, 0)$. - Phát biểu này sai. Kết luận: - Phát biểu a) và b) đúng. - Phát biểu c) và d) sai. Câu 6. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định các đại lượng liên quan: - Chiều dài của hình hộp chữ nhật là \( l \). - Chiều rộng của hình hộp chữ nhật là \( w \). - Chiều cao của hình hộp chữ nhật là \( h \). 2. Tính thể tích của hình hộp chữ nhật: Thể tích \( V \) của hình hộp chữ nhật được tính bằng công thức: \[ V = l \times w \times h \] 3. Áp dụng dữ liệu cụ thể: - Chiều dài \( l = 10 \) cm. - Chiều rộng \( w = 5 \) cm. - Chiều cao \( h = 3 \) cm. 4. Thay các giá trị vào công thức: \[ V = 10 \times 5 \times 3 \] 5. Tính toán: \[ V = 10 \times 5 = 50 \] \[ V = 50 \times 3 = 150 \] 6. Kết luận: Thể tích của hình hộp chữ nhật là \( 150 \) cm³. Vậy, thể tích của vỏ hộp dạng hình hộp chữ nhật là \( 150 \) cm³. Câu 4. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước theo yêu cầu của đề bài. Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) Hàm số $y = \frac{a^2 + bx + c}{a + c}$ có ĐKXĐ là $a + c \neq 0$. Bước 2: Tìm các tính chất của hàm số a) Tính giá trị của $y$ khi $x = -4$ Thay $x = -4$ vào hàm số: \[ y = \frac{a^2 + b(-4) + c}{a + c} = \frac{a^2 - 4b + c}{a + c} \] b) Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị bằng $\frac{2}{5}$ Để tìm khoảng cách giữa hai điểm cực trị, chúng ta cần tính đạo hàm của hàm số: \[ y' = \frac{(2a + b)(a + c) - (a^2 + bx + c)}{(a + c)^2} \] \[ y' = \frac{2a(a + c) + b(a + c) - a^2 - bx - c}{(a + c)^2} \] \[ y' = \frac{2a^2 + 2ac + ab + bc - a^2 - bx - c}{(a + c)^2} \] \[ y' = \frac{a^2 + 2ac + ab + bc - bx - c}{(a + c)^2} \] Điều kiện để hàm số có cực trị là $y' = 0$. Ta cần giải phương trình: \[ a^2 + 2ac + ab + bc - bx - c = 0 \] c) Hàm số đồng biến trên $(-1)$ Để hàm số đồng biến trên $(-1)$, đạo hàm của hàm số phải lớn hơn 0 trên khoảng đó: \[ y' > 0 \text{ trên } (-1) \] d) Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu tại $x = -1$ Điều kiện để hàm số có điểm cực tiểu tại $x = -1$ là: \[ y'(-1) = 0 \] \[ y''(-1) > 0 \] Bước 3: Kiểm tra các đáp án a) $y = -4$ Thay $x = -4$ vào hàm số: \[ y = \frac{a^2 - 4b + c}{a + c} \] Để $y = -4$, ta có: \[ \frac{a^2 - 4b + c}{a + c} = -4 \] \[ a^2 - 4b + c = -4(a + c) \] \[ a^2 - 4b + c = -4a - 4c \] \[ a^2 + 4a - 4b + 5c = 0 \] b) Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị bằng $\frac{2}{5}$ Giải phương trình $y' = 0$ để tìm các điểm cực trị: \[ a^2 + 2ac + ab + bc - bx - c = 0 \] Khoảng cách giữa hai điểm cực trị là $\frac{2}{5}$. c) Hàm số đồng biến trên $(-1)$ Đạo hàm của hàm số phải lớn hơn 0 trên khoảng $(-1)$: \[ y' > 0 \text{ trên } (-1) \] d) Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu tại $x = -1$ Điều kiện để hàm số có điểm cực tiểu tại $x = -1$ là: \[ y'(-1) = 0 \] \[ y''(-1) > 0 \] Kết luận Dựa vào các tính chất đã kiểm tra, chúng ta thấy rằng đáp án đúng là: \[ \boxed{d) Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu x = -1.} \]